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Alcune Applicazioni della Matematica Stefano Serra Capizzano

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Presentazione sul tema: "Alcune Applicazioni della Matematica Stefano Serra Capizzano"— Transcript della presentazione:

1 Alcune Applicazioni della Matematica Stefano Serra Capizzano

2 La matematica a Como Algebra Informatica Teorica Analisi Informatica Geometria Analisi Numerica Calcolo Scientifico Fisica Matematica Modellistica Fisica Economia Matematica Statistica

3 Sfuocamento di un segnale T Impulso Funzione di sfuocamento Segnale veroSegnale sfuocato T (segnale vero) = segnale sfuocato

4 Formulazione algebrica La funzione di sfuocamento T è unapplicazione lineare! Siano f il vettore contenente i campionamenti del segnale vero g il vettore contenente i campionamenti del segnale sfuocato T la matrice costruita a partire dallo sfuocamento di un impulso Il vettore g è ottenuto mediante g = T*f La matrice T dellesempio è

5 Una PSF più realistica T Impulso Segnale veroSegnale sfuocato T Funzione di sfuocamento

6 Operatore di sfuocamento La matrice che opera lo sfuocamento è Notazione stencil: [0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.12, 0.17, 0.2, 0.17, 0.12, 0.05, 0.03, 0.02, 0.01]

7 Prodotto matrice-vettore (n-1 somme + n prodotti ) x n = 2n 2 -n operazioni

8 Casi speciali ma importanti … In molte applicazioni: TAC Immagini astronomiche Simulazioni numeriche la matrice T ha una struttura ben definita: Circolanti Toeplitz … La struttura deve essere sfruttata per definire algoritmi più veloci!

9 Matrici Circolanti F e G matrici di Fourier prodotto matrice- vettore in cmlog 2 m operazioni Divide et impera z:=Gx, d:=Ft, Prodotto matrice-vettore con circolanti in 3cmlog 2 m operazioni

10 Matrici di Toeplitz Elementi costanti lungo le diagonali. Ricostruzione di segnali matrici di Toeplitz Prodotto matrice-vettore Esempio: Soluzione: si utilizza C! Circolante spazza -tura

11 Sfuocamento di unimmagine T Impulso (stella) Funzione di sfuocamento Immagine veraImmagine sfuocata

12 Ricostruzione di Immagini … T(Immagine vera) = Immagine sfuocata T T -1 Imaging Astronomico Imaging Medico Militari Criminologia Applicazioni

13 Il ruolo di un piccolo rumore … (Immagine vera) = Immagine sfuocata + rumore = Immagine osservata T + µ Problema: µ (il rumore) è piccolo ma T -1 (µ) è grande. T -1 regolarizzazione Soluzione: regolarizzazione (Tikhonov, Wavelets,...).

14 Regolarizzazione Iterativa Il problema può essere formalizzato dal sistema lineare dove g rappresenta limmagine osservata, f quella originale e A loperatore di sfuocamento. Un metodo iterativo costruisce una successione di approssimazioni f 0, f 1, f 2, … tale che Poiché f = A -1 g è inutilizzabile a causa del rumore bisogna arrestare il metodo iterativo dopo pochi passi senza raggiungere la convergenza.

15 Errore di Ricostruzione Lerrore di ricostruzione e la differenza fra limmagine vera e quella calcolata. Un metodo iterativo nei primi passi lavora dove vive limmagine e lerrore di ricostruzione si riduce, poi passa a lavorare dove vive il rumore e lerrore di ricostruzione cresce.

16 Immagini ricostruite Immagine vera Sfuocamento di un punto Immagine sfuocata + rumore = 1% 5 iterazioni15 iterazioni50 iterazioni RicostruzioneRicostruzione

17 Altri Esempi … Immagini Vere Immagini OsservateImmagini Ricostruite

18 Ricerche veloci su Internet … lesempio di Google

19 I criteri della ricerca Criteri di base: Non fa distinzione fra maiuscole e minuscole Ignora gli accenti e le parole comuni (e, per, …) Ricerca tutti i termini richiesti Ordinamento dei risultati: Non si limita al numero di occorrenze dei termini ricercati Esamina tutti gli aspetti del contenuto della pagina e delle pagine ad essa correlate Assegna una priorità in base alla vicinanza dei termini ricercati PageRank: importanza e qualità di una pagina nel Web

20 Il Ranking delle Pagine Web: I ω {1,..., N=10 10 }, ω indicizza le pagine I(ω) = importanza della pagina ω a)I(ω) cresce se cè un link (una connessione) da α a ω b)I(ω) cresce di più se I(α) è alto c)I(ω) cresce di meno se α ha molti link ω α Web

21 Il Ranking delle Pagine Web: II I(ω) = = [I(1), I(2), …, I(N)] A = [A(ω, α)], A(ω, α) = autovettore rispetto allautovalore 1 di A 0 Def.: x autovettore relativo allautovalore λ se Ax=λx, x0.

22 Un Esempio ABDC Web CNum. Iter.ABCD

23 Web e Algebra Lineare Numerica Un problema di Algebra Lineare Numerica di dimensione … (ed in continua crescita!). Relazioni con lelegante Teoria delle Matrici non negative di Perron e Frobenius. Tecniche di estrapolazione vettoriale, partizionamento a blocchi (ricerche di struttura).

24 Quale Matematica? Matematica pura? Matematica applicata? Il confine tra ciò che è profondo e ciò che è superficiale è più significativo del confine (del tutto arbitrario) tra Matematica pura e Matematica applicata. La Matematica applicata non esiste … esistono invece le applicazioni della Matematica (parafrasando Pasteur sulla scienza).


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