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Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado Chiudi.

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Presentazione sul tema: "Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado Chiudi."— Transcript della presentazione:

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3 Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni 2° grado Chiudi

4 Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B A B ore Temp Esempi Continua Sommario

5 Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche. Si può farne il grafico sul piano cartesiano : Sommario

6 Funzione y = ax² + bx + c Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² Disegniamo una parabola generica : Possiamo notare un punto significativo detto vertice E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria. Vertice Asse simmetria Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi (Clicca qui) Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx Vediamo come agisce b sul grafico(Clicca qui) Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c Vediamo come agisce c sul grafico.(Clicca qui) Sommario

7 y = ax² a=1/4 a=1/2 a=1 a=2 a=4 a=8 a= -1/4 a= -1/2 a= -1 a= -2 a= -4 a= -8 Funzione y=….. Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia Se a>0 la concavità è rivolta verso l alto, se a < 0 la concavità è verso il basso. Sommario

8 y = x² + bx Facciamo variare b osservando grafico e vertice b= - 4 ;V(2,-4) b=-3;V(3/2,-9/4) b= - 2;V(1,-2) b=-1;V(1/2,-1/4) b= 0;V(0,0) b= 1;V(-1/2,-1/4) b= 2;V(1,-2) b= 3;V(-3/2,-9/4) Vertice Dato che abbiamo posto a = 1 al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …..) Funzione y = … Sommario

9 y= x² - 2x + c c = - 3 c = - 2 c = - 1 c = 0 c = 1 c = 2 C Il parametro c mi dà l ordinata del punto di incontro della parabola con lasse y. Se c non compare la parabola passa per lorigine. Funzione y=…. Sommario

10 Prendiamo il sistema : Risolviamolo graficamente Punti di incontro : A( -1, 0)B( 3, 0) AB Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x –3 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta con x= - 1, ed x=3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l asse x. Continua Sommario

11 Consideriamo ora il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e lasse x non hanno punti in comune. Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x + 2 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso non è soddisfatta da alcun valore di x. L equazione è impossibile. Continua Sommario

12 Consideriamo infine il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l asse x si toccano e quindi hanno un punto in comune. A( 1, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x + 1 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L equazione ha una soluzione x=1 Continua Sommario

13 Ma per risolvere unequazione del tipo ax² + bx + c = 0 dobbiamo far tutti questi disegnini ? Noooo !!!! Cè una formula un po complicata : Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nellequazione. Come facciamo a sapere se lequazione ha 2, 1, o nessuna soluzione ? Nella formula cè lespressione b²- 4ac sotto radice quadrata, questa espressione viene detta discriminante ed indicata con (delta). Se b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni. (La parabola taglia lasse x) Se b²- 4ac=0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione. (La parabola tocca lasse x) Se b²- 4ac<0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non avrò alcuna soluzione. (La parabola non tocca, né taglia lasse x) EsempiSommario

14 Esempi 2 Soluzioni 2 Soluzioni 1 Soluzione Nessuna Soluzione Grafico Sommario

15 Introduzione Disequazioni 1° grado Disequazioni 2° grado Sommario

16 Definizione Una disequazione è disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una quantità incognita. Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che sostituiti allincognita, verificano la disuguaglianza. A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti. Tali intervalli possono essere : Limitati,Illimitati Aperti,Chiusi Come per le equazioni si parla di grado. Il grado di una disequazione è lesponente maggiore con cui compare lincognita. a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito a seconda che comprendano o no gli estremi Disequazioni Sommario

17 Disequazioni 1º grado Si presentano sotto questa forma : Risoluzione con metodo grafico Grafico Disequazioni Sommario

18 Disequazioni 2º grado Si presentano sotto questa forma : L espressione ax² + bx + c labbiamo già incontrata. y = ax² + bx + c è una parabola ax² + bx + c = 0 è unequazione di 2° grado Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l equazione che la parabola associate. Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso lalto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo. Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante. Continua Sommario

19 In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo : 1) Si risolve lequazione associata 2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata 3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione Considerando l espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0, la seconda con a < 0. Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando lequazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Supposto a <0 vediamo cosa succede quando lequazione ax² + bx + c = 0 ha: Una soluzioneNessuna soluzione Due soluzioniUna soluzioneNessuna soluzione Disequazioni Sommario

20 Ipotesi : a>0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto taglia lasse x in due punti Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c <= 0 Scelta Sommario

21 Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto tocca lasse x in un punto Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c <= 0 Scelta Sommario

22 Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto E tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > =0 ax² + bx + c <= 0 Scelta Sommario

23 Ipotesi : a 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso taglia lasse x in due punti Soluzioni per ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0 Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati ax² + bx + c < =0 ax² + bx + c >= 0 Scelta Sommario

24 Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso tocca lasse x in un punto Soluzioni per ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < =0 Scelta Sommario

25 Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso E tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < =0 Scelta Sommario


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