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MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE. Definizione Si dice che un punto x 0, interno allintervallo, è un punto di massimo relativo per la funzione f(x) se.

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1 MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE

2 Definizione Si dice che un punto x 0, interno allintervallo, è un punto di massimo relativo per la funzione f(x) se esiste un intorno completo del punto x 0, per ogni x del quale risulti:

3 Si dice che un punto x 0, interno allintervallo, è un punto di minimo relativo per la funzione f(x) se esiste un intorno completo del punto x 0 per ogni x del quale risulti:

4 Si parla di massimo relativo proprio se: f(x)f(x 0 ).

5 I punti di massimo o minimo relativi si chiamano anche estremanti relativi di una funzione oppure punti di estremo relativi per la funzione f(x). Una funzione può assumere massimi e minimi relativi soltanto nei punti interni allintervallo

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7 Il massimo assoluto di una funzione continua nellintervallo è il più grande fra i valori che essa assume nei punti di massimo relativo e i valori che essa assume negli estremi dellintervallo. Analogamente si procede per i punti di minimo assoluto.

8 Massimi e minimi relativi di una funzione derivabile Teorema Se x 0 è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione y = f(x) e in tale punto la funzione f(x) è derivabile risulta:

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10 Geometricamente questo teorema è evidente, perché è intuitivo che in un punto di massimo o di minimo relativo la tangente alla curva y = f(x) (se esiste) risulta parallela allasse delle ascisse. Per la validità del teorema è essenziale che si tratti di un massimo o di un minimo relativo, interno allintervallo La condizione è necessaria ma non sufficiente.

11 Cioè può non valere linverso del teorema, ossia la derivata può essere nulla senza che in quel punto la funzione sia massima o minima. Esempio: y=(x-1) 3 +2 y=3(x-1) 2 La derivata si annulla per x = 1 ma in tale punto la curva non ha né massimo né minimo perchè non esiste un intorno completo del punto per cui risulti f(x) f(1).

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13 Condizioni sufficienti per lesistenza di estremi relativi Primo criterio Teorema Sia y = f(x) una funzione continua e derivabile in un intorno H del punto x 0.

14 1) Se, nellintorno H, risulta: Allora x 0 è un punto di minimo relativo (proprio) per la funzione.

15 2) Se, nellintorno H, risulta: Allora x 0 è un punto di massimo relativo (proprio) per la funzione.

16 3) Se la derivata non cambia segno attraversando x 0, allora questo punto non è un estremante.

17 Secondo criterio Teorema Sia f(x) una funzione definita in un intervallo e ivi ammetta derivate prima, seconda, terza continue. Sia x 0 un punto interno ad

18 1) Nelle ipotesi: Allora il punto x 0 è un punto di massimo relativo

19 2) Nelle ipotesi: Allora il punto x 0 è un punto di minimo relativo

20 3) Nelle ipotesi: Allora il punto x 0 non è né un punto di massimo relativo né di minimo

21 Nellipotesi che la derivata terza sia uguale a zero, occorre determinare le derivate successive, fino ad arrivare ad una derivata, in x 0,diversa da zero. Se questultima è di ordine pari, si ha in x 0 un massimo se tale derivata, calcolata in x 0, è negativa oppure un minimo se essa è positiva. Se, invece, è di ordine dispari, x 0 non è né punto di massimo né punto di minimo.

22 Concavità e convessità di una curva Si dice che la funzione y = f(x) è convessa (volge la concavità verso lalto) nel punto x 0 se esiste un intorno I di x 0 in cui il grafico della funzione non è mai al di sotto della retta tangente alla curva nel punto x 0.

23 Si dice che la funzione y = f(x) è concava (volge la concavità verso il basso) nel punto x 0 se esiste un intorno I di x 0 in cui il grafico della funzione non è mai al di sopra della retta tangente in x 0 alla curva.

24 Si dice che nel punto di ascissa x 0 la curva ha un punto di flesso se in tale punto essa attraversa la tangente. Cioè nellintorno sinistro di x 0 la curva si trova al di sotto della retta tangente e nellintorno destro si trova al di sopra della tangente o viceversa.

25 Secondo la posizione che assume la tangente rispetto al sistema cartesiano si parla di: flesso ascendente con tangente orizzontale flesso discendente con tangente orizzontale flesso ascendente con tangente obliqua flesso discendente con tangente obliqua flessi a tangente verticale (punti di non derivabilità)

26 Teorema Sia y = f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia continua in I. Se è >0 per ogni x appartenente a I allora la funzione è, in I, concava verso lalto. Se è < 0 per ogni x appartenente a I, allora la funzione è, in I, concava verso il basso.

27 Metodo per determinare i punti di flesso Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo I tale che: 1) f(x) sia due volte derivabile con derivata seconda continua sia in un intorno destro che sinistro di un punto x 0 interno ad I; 2) f(x 0 ) = 0 3) f(x) assuma nellintorno sinistro valori opposti a quelli che assume in un intorno destro

28 Allora x = x 0 è un punto di flesso In particolare se allora x 0 è un punto di flesso a tangente obliqua. Se allora x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale

29 Il punto di flesso si dice ascendente se la concavità della curva è volta verso il basso alla sinistra di x 0 e volta verso lalto alla destra di x 0. Cioè la derivata seconda passa da valori negativi (per x x 0 ). In caso contrario il flesso è discendente.

30 Esempi Determina i punti di flesso delle seguenti funzioni

31 Massimi minimi e flessi Data una funzione y = f(x) derivabile nellintervallo I e se in x 0 appartenente ad I risulta: f(x 0 )=0 e f(x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo f(x 0 )=0 e f(x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo f(x 0 )=f(x 0 )=0 e f(x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale f(x 0 )=f(x 0 )=0 e f(x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale

32 Generalizzando alle derivate n-esima Se nel punto x 0 appartenente ad I sono verificate le seguenti condizioni: f(x 0 )=f(x 0 )=….=f n-1 (x 0 )=0 e si avrà uno dei seguenti casi: 1) se n è pari, il punto x 0 è un punto di massimo o di minimo relativo a seconda che risulti f n (x 0 )<0 o f n (x 0 )>0 2) se n è dispari, il punto x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente o discendente a seconda che risulti f n (x 0 ) 0

33 Se nel punto x 0 appartenente ad I sono verificate le seguenti condizioni: f(x 0 )=….=f n-1 (x 0 )=0 e si avrà uno dei seguenti casi: 1) se n è pari e f n (x 0 )>0 la funzione è convessa in x 0 2) se n è pari e f n (x 0 )<0 la funzione è concava in x 0

34 3) se n è dispari e f n (x 0 )>0, il punto x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua 4) se n è dispari e f n (x 0 )<0, allora il punto x 0 è un punto di flesso a tangente obliqua discendente

35 Esercizio

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37 Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato Teorema di WEIERSTRASS Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, fra i valori assunti da f(x) ne esiste sempre uno massimo e uno minimo. Da questo teorema si deduce che: una funzione continua f(x), definita in un intervallo chiuso e limitato [a, b], è limitata in [a, b].

38 Un caso particolare di questo teorema è il seguente: Se la funzione f(x) è crescente (decrescente) in [a,b], essa raggiunge il massimo (minimo) nell'estremo destro b, mentre raggiunge il minimo (massimo) nell'estremo sinistro a. Le ipotesi enunciate nel teorema di WEIERSTRASS, cioè che [a, b] sia chiuso e limitato e che f(x) sia continua, sono essenziali. Infatti, se viene meno una di queste ipotesi, il teorema può non essere vero.

39 ESEMPI

40 La funzione è continua in R (insieme illimitato). Tale funzione è dotata di un massimo ma non di un minimo.

41 Conseguenza dei teorema di WEIERSTRASS è il seguente: Teorema dei valori intermedi (DARBOUX BOLZANO) Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], assume almeno una volta, qualunque valore compreso tra f(a) e f(b).

42 In particolare, applicando questo teorema all'intervallo che ha come estremi i due punti in cui f(x) assume, rispettivamente, il suo massimo e il suo minimo in [a, b], si può enunciare il seguente corollario: C1.Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] assume, almeno una volta, qualunque valore compreso fra il suo minimo e il suo massimo.

43 Teorema dell esistenza degli zeri Se una funzione f (x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e se, agli estremi dell'intervallo, assume valori di segno opposto, allora essa si annulla almeno in un punto interno all'intervallo, cioè esiste un punto c, interno ad [a, b], tale che: f(c)= 0, con: a

44 Una funzione y = f(x) continua in un intervallo chiuso [a, b] nel quale sia crescente (decrescente), definisce una funzione inversa x = f --1 (y) che è continua e crescente (decrescente) nellintervallo [m, M], dove m ed M sono, rispettivamente il minimo e il massimo della funzione f in [a b].

45 Teorema di ROLLE Sia f(x) una funzione definita nell'intervallo chiuso[a, b] che abbia le seguenti proprietà: 1) sia continua in [a, b]; 2) sia derivabile in (a, b); 3) assuma valori uguali negli estremi dell'intervallo, cioè: f(a) = f(b). In tale ipotesi, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a, b] nel quale si annulla la derivata della funzione, cioè risulta: f( c ) = 0, a < c < b.

46 Esempi e controesempi

47 La funzione è continua e derivabile per ogni x, f(-1)=f(0)=0 allora si può applicare Rolle.

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49 La funzione non è continua nellintervallo, quindi non si può applicare Rolle.

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51 La funzione è continua ma non derivabile in tutti i punti interni, infatti per x=2 derivata destra e sinistra sono diverse

52 Determina i parametri a e b in modo che la funzione sotto riportata verifichi le ipotesi del teorema di Rolle.

53 Teorema di LAGRANGE Se f(x) è una funzione continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile internamente ad esso, allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] tale che risulti:

54 Conseguenze del teorema di LAGRANGE Corollario 1 Se la derivata prima di una funzione è nulla in tutti i punti di un intervallo (a,b) allora la funzione è costante.

55 Corollario 2 Due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un intervallo (a,b) che abbiano derivate uguali in tutti i punti dellintervallo, differiscono per una costante.

56 Corollario 3 Se in un intervallo (a,b) la derivata f(x) di una funzione f(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in Se la derivata f(x) è sempre negativa, la funzione è decrescente. Tali intervalli sono detti di monotonia. Il corollario 3 non è invertibile.

57 Teorema di CAUCHY Teorema di CAUCHY Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabili internamente ad esso, e se la derivata g(x) non si annulla mai, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b], tale che sia:

58 Teorema (detto Regola di DE L'HOSPITAL) Siano f (x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a, tranne, al più il punto stesso. Se valgono le seguenti ipotesi: 1) f (x) e g(x) sono continue in x = a e f (a) =g(a) =0; 2) f(x) e g(x) sono derivabili in Ho = H {a}; 3) g'(x) è diversa da zero in H O allora esiste anche e risulta:

59 4) esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate allora esiste anche e risulta:

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61 Ossia esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è uguale al limite del rapporto delle derivate.

62 Teorema (detto Regola di DE L'HOSPITAL) Siano f (x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a, tranne, al più il punto stesso. Se valgono le seguenti ipotesi: 1) f (x) e g(x) sono infinite per x tendente ad a 2) f(x) e g(x) sono derivabili in Ho = H {a}; 3) g'(x) è diversa da zero in H O

63 4) esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate allora esiste anche e risulta:

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65 Ossia esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è uguale al limite del rapporto delle derivate.


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