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Integrale indefinito Parte introduttiva. Cosa ricordare: Integrale indefinito – I parte Sulle derivate:

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Presentazione sul tema: "Integrale indefinito Parte introduttiva. Cosa ricordare: Integrale indefinito – I parte Sulle derivate:"— Transcript della presentazione:

1 Integrale indefinito Parte introduttiva

2 Cosa ricordare: Integrale indefinito – I parte Sulle derivate:

3 Cosa ricordare: Integrale indefinito – I parte Sulle derivate: Sfruttando la definizione di derivata e i teoremi abbiamo imparato a calcolare le derivate di funzione

4 Integrazione grafica Integrale indefinito – I parte Integrazione grafica 1) Indichiamo i punti nei quali la f(x) incontra l’asse x. Ovvero i punti in cui f(x)=0. Poiché f(x) è la derivata di F(x), i punti trovati saranno i punti stazionari di F(x). 2) Individuiamo gli intervalli in cui f(x) è positiva e f(x) è negativa. 3) In tali intervalli la F(x) sarà crescente (se f(x) è positiva) e decrescente (se f(x) negativa). 4) Con ulteriori considerazioni possiamo arrivare a «disegnare» il grafico probabile di F(x).

5 Integrazione grafica Integrale indefinito – I parte Integrazione grafica Ripercorriamo quanto fatto e osserviamo che possiamo avere infinite funzioni F(x), ovvero infinite funzioni la cui derivata coincide con f(x)

6 Prime definizioni e teoremi Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Esempio F(x)=sinx è la primitiva di f(x)=cosx; ma anche F(x)=sinx+5 è primitiva di f(x). Come osservato nel caso dell’integrazione grafica: se una funzione f(x) ha una primitiva F(x) in [a,b] allora ne ha infinite. Teorema Se F(x) è una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.

7 Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Teorema: Se F(x) è una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante. Dimostrazione Tutte (ovvero: se F(x) è primitiva allora F(x)+C è primitiva ) Consideriamo F(x)+C e deriviamo Per definizione di primitiva Sole (ovvero: Se F(x) è primitiva e G(x) è un'altra primitiva di f(x) in [a,b] allora è della forma F(x)+C) F(x) è primitiva e per definizione F’(x)=f(x), consideriamo una seconda primitiva G(x) Per definizione di primitiva: G(x) è derivabile in [a,b] e G’(x)=f(x) Per un corollario al teorema di Lagrange ricaviamo che G(x)=F(x)+C CVD se f(x) e g(x) continue e derivabili in [a,b] e f’(x)=g’(x) per ogni x, allora f(x)=g(x)+costante

8 Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Definizione L’insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con

9 Antiderivata Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Teorema L’integrazione è l’operazione inversa della derivazione.

10 Antiderivata Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Il teorema spiega perché in molti testi (specie anglosassoni) si parla di antiderivata e non di integrale indefinito. Esiste un teorema che garantisce l’esistenza di una primitiva (senza però dirci come trovarla)? La risposta è SI Non dimostriamo ora questo teorema. Teorema Se f(x) è continua in [a,b] allora è integrabile.

11 Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi E’ possibile anche indebolire la richiesta: f(x) limitata e monotona in [a;b] allora è integrabile in [a;b] f(x) limitata con un numero finito o numerabile di discontinuità in [a;b] allora è integrabile [a;b] Tutto questo lo si giustifica ripensando al legame tra integrale indefinito e definito Un teorema che garantisca esistenza primitiva Osserviamo: La continuità non è condizione sufficiente per la derivabilità (r icordiamo che una funzione f(x) continua non è detto che sia derivabile, esempio classico f(x)=|x| in x=0 è continua ma non derivabile). La continuità in [a;b] è condizione sufficiente per l’integrabilità


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