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Integrale indefinito Parte introduttiva.

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Presentazione sul tema: "Integrale indefinito Parte introduttiva."โ€” Transcript della presentazione:

1 Integrale indefinito Parte introduttiva

2 Integrale indefinito โ€“ I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo definito derivata di f(x) in ๐’™ ๐ŸŽ il limite, se esiste, del rapporto incrementale per โˆ†๐‘ฅ o โ„Ž che tende a zero. โˆ†๐‘“ โˆ†๐‘ฅ = ๐‘“ ๐‘ฅ 0 +โ„Ž โˆ’๐‘“( ๐‘ฅ 0 ) โ„Ž ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฅ 0 = ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ฅ 0 = lim โ„Žโ†’0 โˆ†๐‘“ โˆ†๐‘ฅ

3 Integrale indefinito โ€“ I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo costruito una funzione che associa ad ogni ๐’™ ๐ŸŽ , se esiste, la derivata di f(x) nel punto ๐’™ ๐ŸŽ . Tale funzione lโ€™abbiamo chiamata funzione derivata o semplicemente derivata di f(x). E lโ€™abbiamo indicata con ๐’‡โ€ฒ(๐’™) o anche ๐’… ๐’…๐’™ ๐’‡(๐’™) ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ฅ : ๐‘ฅโ†’ lim โ„Žโ†’0 ๐‘“ ๐‘ฅ+โ„Ž โˆ’๐‘“(๐‘ฅ) โ„Ž Sfruttando la definizione di derivata e i teoremi abbiamo imparato a calcolare le derivate di funzione Osserviamo per concludere: A partire da ๐‘‘๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ) , moltiplicando per dx, ricaviamo ๐‘‘๐‘“ ๐‘ฅ =๐‘“โ€ฒ(๐‘ฅ)โˆ™๐‘‘๐‘ฅ. Questa quantitร  si chiama differenziale

4 Integrale indefinito โ€“ I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Dato il grafico della funzione f(x), vogliamo cercare un possibile grafico della funzione F(x) tale che ๐‘‘๐น(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ =๐‘“(๐‘ฅ) 1) Indichiamo i punti nei quali la f(x) incontra lโ€™asse x. Ovvero i punti in cui f(x)=0. Poichรฉ f(x) รจ la derivata di F(x), i punti trovati saranno i punti stazionari di F(x). 2) Individuiamo gli intervalli in cui f(x) รจ positiva e f(x) รจ negativa . 3) In tali intervalli la F(x) sarร  crescente (se f(x) รจ positiva) e decrescente (se f(x) negativa). 4) Con ulteriori considerazioni possiamo arrivare a ยซdisegnareยป il grafico probabile di F(x).

5 Integrale indefinito โ€“ I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Ripercorriamo quanto fatto e osserviamo che possiamo avere infinite funzioni F(x), ovvero infinite funzioni la cui derivata coincide con f(x)

6 Prime definizioni e teoremi
Integrale indefinito โ€“ I parte Prime definizioni e teoremi Prime definizioni e teoremi Definizione Si dice che la funzione F(x) รจ primitiva della di f(x) in un intervallo [a,b]se F(x) รจ derivabile in ogni suo punto e risulta ๐‘‘๐น(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ =๐‘“(๐‘ฅ). Esempio F(x)=sinx รจ la primitiva di f(x)=cosx; ma anche F(x)=sinx+5 รจ primitiva di f(x). Come osservato nel caso dellโ€™integrazione grafica: se una funzione f(x) ha una primitiva F(x) in [a,b] allora ne ha infinite. Teorema Se F(x) รจ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.

7 Prime definizioni e teoremi: dimostriamo
Integrale indefinito โ€“ I parte Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Prime definizioni e teoremi Teorema: Se F(x) รจ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante. Dimostrazione Tutte (ovvero: se F(x) รจ primitiva allora F(x)+C รจ primitiva) ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ [๐น ๐‘ฅ +๐ถ]= ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐น ๐‘ฅ + ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐ถ=๐‘“ (๐‘ฅ) Consideriamo F(x)+C e deriviamo Per definizione di primitiva Sole (ovvero: Se F(x) รจ primitiva e G(x) รจ un'altra primitiva di f(x) in [a,b] allora รจ della forma F(x)+C) F(x) รจ primitiva e per definizione Fโ€™(x)=f(x), consideriamo una seconda primitiva G(x) Per definizione di primitiva: G(x) รจ derivabile in [a,b] e Gโ€™(x)=f(x) Dunque Gโ€™(x)=f(x)=Fโ€™(x) โ†’ Gโ€™(x)=Fโ€™(x) in [a,b]. Per un corollario al teorema di Lagrange ricaviamo che G(x)=F(x)+C se f(x) e g(x) continue e derivabili in [a,b] e fโ€™(x)=gโ€™(x) per ogni x, allora f(x)=g(x)+costante CVD

8 Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale
Integrale indefinito โ€“ I parte Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Prime definizioni e teoremi Il teorema visto: ยซSe F(x) รจ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.ยป Ha una interpretazione grafica tutte le primitive di una funzione f(x) corrispondono ad una famiglia di curve che si ottengono lโ€™una dallโ€™altra per traslazione, mediante ๐‘ฃ , lungo lโ€™asse y. Definizione Lโ€™insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ Osserviamo: il simbolo corrisponde ad una S allungata f(x) รจ detta funzione integranda dx indica la variabile rispetto alla quale faremo lโ€™integrazione lโ€™operatore integrale รจ formato dai due simboli ๐‘‘๐‘ฅ combinati insieme. E leggeremo "integrale di ____ in di x" Inoltre: dalla definizione: ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ ad una funzione f(x) associa una famiglia di funzioni F(x)+C. Poichรฉ opera/agisce su un insieme (quello delle funzioni) lo chiameremo operatore (anche la derivata รจ un operatore che agisce sull'insieme delle funzioni).

9 Integrale indefinito โ€“ I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Teorema Lโ€™integrazione รจ lโ€™operazione inversa della derivazione. Dimostrazione: dobbiamo dimostrare A) ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ=๐‘“(๐‘ฅ) e B) ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ =๐‘“(๐‘ฅ) A) ๐’… ๐’…๐’™ ๐’‡(๐’™) ๐’…๐’™=๐’‡(๐’™) Dalla definizione di derivata ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ), sostituiamo nell'espressione ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ= ๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ Dalla definizione di integrale indefinito dobbiamo cercare la famiglia di primitive di ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ฅ ovvero f(x) (omettiamo la costante additiva) CVD (A) B) ๐’… ๐’…๐’™ ๐’‡(๐’™) ๐’…๐’™ =๐’‡(๐’™) Dalla definizione di integrale indefinito ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ=F(x)+C , sostituiamo in ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅย  ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ F(x)+C = ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ F(x) .. Dalla definizione di primitiva ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ F(x) =๐‘“ ๐‘ฅ CVD (B)

10 Integrale indefinito โ€“ I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Il teorema spiega perchรฉ in molti testi (specie anglosassoni) si parla di antiderivata e non di integrale indefinito. ? Domandiamoci: Si puรฒ sempre trovare una primitiva per f(x)? La risposta รจ NO Attenzione occorrerร  distinguere due casi: - esistono casi di funzioni che non hanno una primitiva - esistono casi di funzioni che ammettono una primitiva ma non รจ possibile trovarne l'equazione (o meglio l'espressione analitica). Ad esempio ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘’ โˆ’ ๐‘ฅ 2 2 ? Esiste un teorema che garantisce lโ€™esistenza di una primitiva (senza perรฒ dirci come trovarla)? La risposta รจ SI Teorema Se f(x) รจ continua in [a,b] allora รจ integrabile. Non dimostriamo ora questo teorema.

11 Un teorema che garantisca esistenza primitiva
Integrale indefinito โ€“ I parte Un teorema che garantisca esistenza primitiva Prime definizioni e teoremi Osserviamo: La continuitร  non รจ condizione sufficiente per la derivabilitร  (ricordiamo che una funzione f(x) continua non รจ detto che sia derivabile, esempio classico f(x)=|x| in x=0 รจ continua ma non derivabile). La continuitร  in [a;b] รจ condizione sufficiente per lโ€™integrabilitร  Eโ€™ possibile anche indebolire la richiesta: f(x) limitata e monotona in [a;b] allora รจ integrabile in [a;b] f(x) limitata con un numero finito o numerabile di discontinuitร  in [a;b] allora รจ integrabile [a;b] Tutto questo lo si giustifica ripensando al legame tra integrale indefinito e definito


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