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DISEQUAZIONI Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili Disequazioni con valori assoluti.

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1 DISEQUAZIONI Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili Disequazioni con valori assoluti Disequazioni irrazionali Classe III a.s. 2012/2013 Prof.ssa Rita Schettino

2 PREMESSA Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina Non ripetiamo i concetti di base e loperatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina prof.ssa R. Schettino2 Disequazioni

3 Segno di un trinomio di 2° grado Studiare il segno di un trinomio significa determinare quali valori di, sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività) prof.ssa R. Schettino3 Disequazioni

4 Segno di un trinomio di 2° grado Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di determinare i valori reali di x per cui: a)Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado) b)Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado) c)Il trinomio sia negativo (disequazione di 2° grado) N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può richiedersi anche o il cui significato è noto. prof.ssa R. Schettino4 Disequazioni

5 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Forma normale : con a > 0 Si risolvono seguendo due passi: a)Risoluzione dellequazione associata b)Determinazione degli intervalli delle soluzioni prof.ssa R. Schettino5 Disequazioni

6 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole: Lequazione associata può ammettere 1)Due soluzioni reali e distinte x 1 x 2 2)Due soluzioni reali e coincidenti x 1 = x 2 3)Soluzioni non reali (o complesse) x 1, x 2 C prof.ssa R. Schettino6 Disequazioni

7 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO a>0 >0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse <0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO prof.ssa R. Schettino7 Soluzioni: valori esterni allintervallo delle radici x 1 e x 2 Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x 1 Soluzioni: tutti i numeri reali Soluzioni: valori interni allintervallo delle radici x 1 e x 2 Nessuna soluzione Disequazioni

8 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Le regole precedenti valgono nel caso a>0 Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente Oppure si determinano comunque le radici dellequazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono allincontrario delle precedenti prof.ssa R. Schettino8 Disequazioni

9 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO a<0 >0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse <0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse Soluzioni: valori interni allintervallo delle radici: x 1

10 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE LINTERVALLO DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE Bisogna guardare sia il segno del primo coefficiente (a) sia il segno del trinomio Bisogna guardare la natura delle radici della equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni prof.ssa R. Schettino10

11 DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Le regole precedenti si possono riassumere così: Dopo aver determinato le radici dellequazione associata si ha: Se le radici sono distinte Se le radici sono coincidenti Se le radici sono complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO prof.ssa R. Schettino11 Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni Discordanza tra a e il segno : valori interni Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x 1 Discordanza tra a e il segno: mai verificato Concordanza tra a e il segno: sempre verificato Discordanza tra a e il segno: mai verificato Disequazioni

12 DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado. Es. prof.ssa R. Schettino12 Disequazioni Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte

13 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a.) a se a 0 vale a dire: è il numero a = stesso se questo è 0, è il - a se a < 0 suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0. Ricordiamo inoltre che e che prof.ssa R. Schettino13 Disequazioni

14 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Poiché in unequazione o disequazione non si conosce il valore dellincognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dellargomento contenente lincognita? Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti allinterno dellesercizio) Es. prof.ssa R. Schettino14 Disequazioni

15 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI I termini allinterno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es., sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi. Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: luna se 5x+6 0, laltra se 5x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così comè, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché largomento è negativo. prof.ssa R. Schettino15 Disequazioni

16 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo. Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dellargomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha: prof.ssa R. Schettino Disequazioni

17 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Quindi si risolvono in questo esempio tre casi: Nellintervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni Nellintervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno Nellintervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il loro segno prof.ssa R. Schettino17 Disequazioni

18 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es. N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI prof.ssa R. Schettino18 Disequazioni

19 1. Si pongono tutti gli argomenti dei v. a Si rappresentano gli intervalli ottenuti sulla retta reale, indicando con linea continua le soluzioni e con linea discontinua le parti rimanenti 3. Si procede con il primo caso relativo al primo intervallo sulla retta, sciogliendo i v. a. a seconda del loro segno (con il medesimo segno se la linea è continua, con il segno cambiato se la linea è discontinua) 4. Si arriva quindi ad una equazione o disequazione senza v. a. che si risolve secondo le regole consuete ottenendo le soluzioni prof.ssa R. Schettino19 RIASSUMIAMO Disequazioni

20 5. Queste soluzioni ottenute al punto 4 vanno intersecate con lintervallo che si sta considerando nel presente 1° caso e così termina la risoluzione del 1° caso 6. Si passa poi al 2° caso considerando il 2° intervallo della retta fatta al punto 2 e si sciolgono i v. a. tenendo presenti le linee continue (stesso segno) e quelle discontinue (segno opposto), ottenendo una seconda equazione o disequazione 7. Le soluzioni del punto 6 si intersecano con lintervallo che si sta considerando e così via fino allesaurimento degli intervalli della retta del punto 2 8. Le soluzioni dellequazione o disequazione data sono lUNIONE delle soluzioni ottenute nei punti precedenti prof.ssa R. Schettino20 Disequazioni

21 ULTERIORI CONSIDERAZIONI Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni ( perché é un sistema?) Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo e unire le soluzioni delle due disequazioni Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi prof.ssa R. Schettino21 Disequazioni

22 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Una disequazione si dice IRRAZIONALE se lincognita compare nel radicando di un radicale È quindi del tipo Può anche contenere più di un radicale, può anche avere un numero reale al 2° membro Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali: prof.ssa R. Schettino22 Disequazioni

23 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con indice dispari (le più semplici) Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n (indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve lultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari, con lelevamento a potenza Ricordiamo che Vale a dire che, con lelevamento a potenza pari, si conserva il verso della disequazione solo se le basi sono positive prof.ssa R. Schettino23 Disequazioni

24 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Molto diversa è la procedura per le disequazioni se lindice è pari Cominciamo col tipo È equivalente al sistema Esaminiamo il sistema: per lesistenza del radicale (Dominio) perché, dovendo essere maggiore del radicale(positivo), deve essere anchesso positivo elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti) Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI prof.ssa R. Schettino24 Disequazioni

25 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Esaminiamo il tipo È equivalente allunione dei due sistemi Esaminiamo il 1° : per lesistenza del radicale (Dominio) perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione, minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data prof.ssa R. Schettino25 Disequazioni

26 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anchessa positiva Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI prof.ssa R. Schettino26 Disequazioni

27 ESEMPI È di indice dispari (si elevano i due membri alla terza potenza) È di indice dispari e contiene una disequazione fratta È dello steso tipo del primo esempio È dello stesso tipo del secondo esempio È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo È di indice pari ed è del tipo Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dallelevamento alla seconda dei due membri prof.ssa R. Schettino27 Disequazioni

28 CONCLUSIONI Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro prof.ssa R. Schettino28 Disequazioni


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