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Teorema di Cauchy. Tetraedro di Cauchy e j con j = x, y, z n = n j e j n n y x z t y y t y x t y z t x x t x z t x y t z z t z x t z y y x z AxAx AyAy.

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Presentazione sul tema: "Teorema di Cauchy. Tetraedro di Cauchy e j con j = x, y, z n = n j e j n n y x z t y y t y x t y z t x x t x z t x y t z z t z x t z y y x z AxAx AyAy."— Transcript della presentazione:

1 Teorema di Cauchy

2 Tetraedro di Cauchy e j con j = x, y, z n = n j e j n n y x z t y y t y x t y z t x x t x z t x y t z z t z x t z y y x z AxAx AyAy AzAz P k = t k j e j con k e j = x, y, z n = t n j e j ezez eyey exex

3 Dal teorema del trasporto e dal principio di conservazione della massa risulta: Dal principio di bilancio della quantità di moto risulta: con l = x, y, z, n (1) L'equazione (1), omettendo il pedice c, può essere scritta anche nella forma seguente: (2)

4 Il valore del primo integrale nell'equazione (2) è pari a: Calcolo dei valori dei due integrali dell'equazione (2) dove con [( )]* si intende il valore della funzione integranda calcolata in un punto X ; con v ( ) il volume del dominio Sviluppando il secondo integrale delleq. (2) per l = x, y, z, n si ottiene:

5 Il valore della somma dei 4 integrali a secondo membro è pari a: dove con l * si intende il valore del generico sforzo calcolato in un punto X l con A ( ) l'area della generica faccia del tetraedro di giacitura l Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si può desumere un relazione tra le aree delle 4 facce del tetraedro

6 P x y z exex eyey ezez AxAx AyAy AzAz n -n z -n x -n y A (A x,A y,A z ) A (A y,A z,P) = -n x A (A x,A y,A z ) A (A x,A z,P) = -n y A (A x,A y,A z ) A (A x,A y,P) = -n z A (A x,A y,A z )

7 Il valore della somma: può essere calcolato nel modo seguente:

8 In conclusione, la relazione integrale: è riconducibile a: Dividendo la (3) per la quantità non nulla A (A x A y A z ), si ottiene: (3) Questo risultato è vero per ogni condizione di equilibrio dinamico del tetraedro, nonché per qualunque dimensione del tetraedro stesso. (4)

9 La relazione (4), quindi, sussiste anche considerando il tetraedro infinitesimo che risulta dal far tendere i punti Per un tetraedro infinitesimo però risulta che: V ( ) è una quantità infinitesima del terzo ordine A (A x A y A z ) è una quantità infinitesima del secondo ordine Quindi il rapporto V ( ) / A (A x A y A z ) è una quantità infinitesima Nella relazione (4) quando il tetraedro si riduce ad un elemento materiale nel punto P il primo termine essendo infinitesimo è trascurabile rispetto al secondo termine

10 Da quanto sino a qui determinato ne consegue che (Teorema di Cauchy) In ogni punto di un sistema materiale continuo e in qualsiasi condizione di equilibrio dinamico risulta soddisfatta la seguente relazione Si noti che nella relazione non compare il simbolo * poiché i valori degli sforzi sono riferiti univocamente alla posizione geometrica del generico punto P Il teorema afferma quindi che in un punto di un sistema materiale, il valore dello sforzo relativo a una generica giacitura n è univocamente determinato tramite una combinazione lineare del valore degli sforzi relativi a tre giaciture linearmente indipendenti.


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