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Il Piano cartesiano e la retta realizzato dagli studenti della 2ª B Aielli Luca Pasquini Daniele Rosato Anna.

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Presentazione sul tema: "Il Piano cartesiano e la retta realizzato dagli studenti della 2ª B Aielli Luca Pasquini Daniele Rosato Anna."— Transcript della presentazione:

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2 Il Piano cartesiano e la retta realizzato dagli studenti della 2ª B Aielli Luca Pasquini Daniele Rosato Anna

3 Le coordinate di un punto Le coordinate servono per determinare un punto allinterno di un piano. La prima coordinata si riferisce allasse delle ascisse e la seconda allasse delle ordinate.

4 Esistono due forme generiche per rappresentare lequazione della retta: Forma implicita Forma esplicita dove: il coefficiente angolare termine noto

5 Il coefficiente angolare Indica linclinazione della retta rispetto allasse X; se è positivo linclinazione sarà di 90° Avendo due punti può essere calcolato attraverso la seguente formula: avendo lequazione della retta (in forma esplicita) si calcola facendo il rapporto tra a e b

6 Il termine noto Viene indicato con la lettera q e indica il punto dintersezione con lasse delle ordinate.

7 Come si rappresenta una retta?

8 Avendo due o più punti: Si disegnano allinterno del piano e si traccia la retta passante per essi. Esempio: A (3;5) B (1;2)

9 Avendo lequazione della retta: Si dà un valore a una delle due incognite e si trova il valore dellaltra incognita risolvendo lequazione. Questa operazione va svolta almeno 2 volte. I dati si riportano in tabella Esempio: se x vale 1 se x vale 2

10 Avendo lequazione della retta in forma esplicita: Si trova il punto dintersezione con lasse y (che è il valore della q). Il secondo punto si trova utilizzando il coefficiente angolare m, infatti il denominatore di esso indica lo spostamento in orizzontale partendo dal punto (o;q), mentre il numeratore indica lo spostamento in verticale. Infine si unicono i due punti e si trova la retta.

11 Esempio: il numero -b ci dice lo spostamento in verticale partendo dal punto (0;-c/a) e il numero a lo spostamento in orizzontale partendo sempre dal punto (0;-c/a). Rappresentiamo ora ci spostiamo di 3 in verticale e 2 in orizzontale partendo dal punto d'intersezione con l'asse y che sarà 1/2

12 Come si rappresenta una retta parallela agli assi ? Sappiamo che quando un retta è parallela allasse x lequazione è by+c=0 e quando una retta è parallela allasse y lequazione è ax+c=0. quindi se una retta sarà parallela allasse x si ricava y e si uniscono tutti i punti che hanno quella y, e viceversa se una retta è parallela allasse y si ricava x e si uniscono tutti i punti che hanno quella x.

13 Determinare una retta sapendo che è parallela a una data e noto un punto Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Quindi Sfruttando questo concetto sapendo il coefficiente angolare della prima retta è uguale a quello della seconda, ricavo tramite fomula inversa il termine noto y=mx+q q=y p -mx Questo non vale per le rette parallele allasse delle ordinate. Se la retta è parallela allasse y basta scrivere x=x p q=yp-mx p

14 Determinare una retta sapendo che è perpendicolare a una data e noto un punto Quando due rette sono perpendicolari il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1, da questo deriva che un coefficiente angolare è il reciproco opposto dellaltro. Quindi se Dopo aver ricavato il secondo coefficiente angolare trovo il termine noto tramite formula inversa. Il teorema non si può applicare nelle rette parallele agli assi.

15 Come si trova lequazione di una retta avendo 2 punti ? Si utilizza la formula per ricavare il coefficiente angolare. Successivamente si ricava q tramite formula inversa ( q=mx a -y a o q=mx b -y b ) ottenendo così lequazione della retta. Se la retta è parallela allasse y x = xa oppure x = xb

16 Come si calcola il punto medio di un segmento ? Conoscendo i due estremi di un segmento: per calcolare il punto medio si utilizzano 2 differenti formule la prima per ricavare lascissa del punto medio : la seconda per ricavare lordinata del punto medio :

17 Come si determina lestremo di un segmento noto il punto medio e laltro estremo ? Si utilizza la formula inversa del punto medio

18 Come si determina la distanza di una retta da un punto ? La prima cosa da sapere è che la distanza è sempre perpendicolare alla retta. Prendiamo per esempio la retta e il punto P (4;6)

19 tracciamo le parallele agli assi fino ad incontrare la nostra retta in due punti, che andiamo a chiamare A e B. il punto A ha la stessa ordinata di P (6) e il punto B ha la stessa ascissa di P (4). Calcoliamo le coordinate mancanti sostituendo nell'equazione della retta. quindi

20 y = -4/3x+10/3 quindi yB = -4/3xB+10/3 yB = (-4/3)*4+10/3 yB = -16/3+10/3 yB = -6/3 yB = -2 quindi A ha coordinate (-2;6) e B (4;-2) troviamo la lunghezza AP: 4-(-2)=4+2=6 troviamo la lunghezza BP:6-(-2)=6+2=8 consideriamo il triangolo rettangolo ABP dove PH è l'altezza, che troviamo con la formula inversa per trovare l'area: A = (b*h)/2 h = (2A)/b A è l' area e b la base.

21 Ricaviamo la base del triangolo ( l'ipotenusa AB) AP^2+BP^2= 6^2+8^2= 36+64= 100= 10 Ricaviamo l' area utilizzando i cateti. A=(6*8)/2=48/2=24 utilizziamo la formula inversa per ricavare l'altezza. h=(2A)/b PH=(2*24)/10=48/10=4,8 quindi la distanza del nostro punto P dalla retta è 4,8. Tutto questo può essere però riassunto in una semplice formula, che è la seguente: d=|ax0+by0+c| a^2+b^2

22 svolgiamo l'esercizio precedente utilizzando questa formula. Per prima cosa ci scriviamo l' equazione della retta in forma implicita. -4/3x-y+10/3=0 Sostituiamo nella formula a, b, c, della retta ed x p e y p del punto P. (-4/3)*4-(1*6)+10/3 = -4/3^2+(-1)^2 -16/3-6+10/3 = 16/9+1 24/3 = 25/9 8*3/5= 24/5 =4,8 questo è un metodo più veloce da applicare per trovare la distanza di un punto da una retta.

23 Come si determina il punto dintersezione di due rette? Il punto dintersezione di due rette si ottiene mettendo a sistema le due rette. Esistono 4 metodi per risolvere un sistema: metodo di sostituzione metodo di confronto metodo di riduzione metodo di Cramer


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