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Matematica per economisti Beatrice Venturi 1 Facoltà di Economia Equazioni differenziali Lineari ed Applicazioni Economiche LEZIONE 2 prof. Beatrice Venturi.

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1 matematica per economisti Beatrice Venturi 1 Facoltà di Economia Equazioni differenziali Lineari ed Applicazioni Economiche LEZIONE 2 prof. Beatrice Venturi

2 matematica per economisti Beatrice Venturi 2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI APPLICAZIONI ECONOMICHE

3 3 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma: La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente :

4 matematica per economisti Beatrice Venturi 4 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Esempi

5 matematica per economisti Beatrice Venturi 5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI y-xy=0 y(0)=1 Consideriamo il seguente problema a valori iniziali:

6 matematica per economisti Beatrice Venturi 6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI §[Plot]

7 matematica per economisti Beatrice Venturi 7 Diapositiva sommario §ESEMPIO ECONOMICO Modello di crescita di Domar

8 matematica per economisti Beatrice Venturi 8 Diapositiva sommario §dove la propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo

9 matematica per economisti Beatrice Venturi 9 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI §Equazioni differenziali lineari: omogenee a coefficienti non costanti §Esempio

10 matematica per economisti Beatrice Venturi 10 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI

11 matematica per economisti Beatrice Venturi 11 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Abbiamo ottenuto lintegrale generale associato allequazione omogenea (1).

12 matematica per economisti Beatrice Venturi 12 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti non costanti

13 matematica per economisti Beatrice Venturi 13 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Moltiplichiamo entrambi i termini per:

14 matematica per economisti Beatrice Venturi 14 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI

15 matematica per economisti Beatrice Venturi 15 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI INTEGRALE GENERALE DELLA (2)

16 matematica per economisti Beatrice Venturi 16 IL PROBLEMA DI CAUCHY Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare che soddisfi n equazioni iniziali del tipo :

17 matematica per economisti Beatrice Venturi 17 sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy.

18 matematica per economisti Beatrice Venturi 18 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE §Questo tipo di equazioni possono essere classificate in: omogenee; lineari non omogenee (1° e 2° caso);

19 matematica per economisti Beatrice Venturi 19 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti costanti lequazione omogenea ad essa associata è

20 matematica per economisti Beatrice Venturi 20 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Ipotizziamo la soluzione di questa del tipo

21 matematica per economisti Beatrice Venturi 21 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE sostituendo lespressione in parentesi prende il nome di polinomio caratteristico

22 matematica per economisti Beatrice Venturi 22 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Caso a) se le radici sono distinte lintegrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie.

23 matematica per economisti Beatrice Venturi 23 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Caso b) se le radici sono coincidenti lintegrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie

24 matematica per economisti Beatrice Venturi 24 Caso c) se le radici, sono complesse coniugate lintegrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove la forma reale si ricava utilizzando il teorema di Eulero EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

25 matematica per economisti Beatrice Venturi 25 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE §Esempi Integrale generale della omogenea

26 matematica per economisti Beatrice Venturi 26 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

27 matematica per economisti Beatrice Venturi 27 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

28 matematica per economisti Beatrice Venturi 28 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE §Da cui lintegrale particolare e quello generale

29 matematica per economisti Beatrice Venturi 29 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Problema di Cauchy

30 matematica per economisti Beatrice Venturi 30 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE x(t)=

31 matematica per economisti Beatrice Venturi 31 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

32 matematica per economisti Beatrice Venturi 32 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

33 matematica per economisti Beatrice Venturi 33 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

34 matematica per economisti Beatrice Venturi 34 BIBLIOGRAFIA M. KLINE : Storia del pensiero matematico. DIRKSJ.STRUIK : Matematica : un profilo storico. COURANT/ROBBINS : Che cosè la matematica. BENCINI/GERONIMO : Il pensiero matematico. DODERO/BARONCINI : Itinerari di matematica. Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica.


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