La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Renè Descartes (1596-1650) Geometrie (1637) Lobiettivo di Cartesio era quello di trovare un linguaggio matematico per descrivere il mondo fisico.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Renè Descartes (1596-1650) Geometrie (1637) Lobiettivo di Cartesio era quello di trovare un linguaggio matematico per descrivere il mondo fisico."— Transcript della presentazione:

1

2 Renè Descartes ( ) Geometrie (1637)

3 Lobiettivo di Cartesio era quello di trovare un linguaggio matematico per descrivere il mondo fisico

4 Perché Cartesio matematizza la visione del mondo?

5 Laritmetica e lalgebra possono essere applicate anche alla geometria

6 Nelle Geometrie (1637) Cartesio affermava che tutti i problemi della geometria si possono ricondurre ad unespressione

7 Tentava di ricostruire la matematica su premesse algebriche e non geometriche

8 Dovendosi ora risolvere un qualunque problema si introducono delle denominazioni per tutte le linee che appaiono necessarie alla costruzione. Successivamente dalla reciproca dipendenza di queste linee si ha unequazione. Occorre trovare tante equazioni quante sono le linee incognite

9 Data una ellisse, la sua conica focale è una iperbole (e viceversa) giacente in un piano perpendicolare a quello della conica data, e avente vertici e fuochi rispettivamente coincidenti con i fuochi e i vertici di questa. Sullargomento delle coniche focali è incentrato un teorema di Apollonio, che, nel libro I della sua opera, afferma: il luogo geometrico dei vertici dei coni rotondi che hanno una medesima ellisse come sezione, è liperbole focale dellellisse. Inoltre, se su uno dei rami o su rami diversi delliperbole focale si prendono due punti fissi e distinti A e B, e sulla ellisse un punto variabile P, è facilmente dimostrabile come le distanze PA e PB abbiano sempre differenza o somma costante.

10

11 Problema delle costruzioni indeterminate I luoghi geometrici

12 Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da cui si possono tracciare rette che intersecano le rette date n modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza retta costruita. Se le rette fissate sono quattro allora il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un rapporto dato con il rettangolo costruito dalle altre due. SE LE RETTE SONO TRE O QUATTRO IL LUOGO GEOMETRICO GENERATO E` UNA SEZIONE DI CONO

13 CR. CQ = k CP 2

14 Fissate tre rette due parallele L 1,L 2 ed una perpendicolare L 3 Il luogo geometrico è determinato da tutti i punti P d 1 d 2 = ad 3 EQUAZIONE CARTESIANA ay = x 2 – 2ax

15 Dati: H appartiene a L 2 K appartiene a L 1 (x=2a) M appartiene a y=o L 2 =y; L 3 =x ; L 1 :x=4 PH=d 1 ;PK=d 2 PM=d 3 Richiesta: d 1 d 2 =ad 3 Dimostrazione: d 1 =d(P;H)=IxI d 2 =d(P;K)=Ix-4I a) y=1\2x*x-2x d 3 =d(P;M)=IyI b) y=-1\2x*x+2x d 1 *d 2 =2d 3 IxI*Ix-4I=2IyI

16 Dato un piano cartesiano x;y si fissino tre rette chiamate L 1, L 2 e L 3 in modo che: L 1 : y=0; L 2 // L 1 ; L 3 : X=0. Il luogo geometrico e determinato da tutti i punti P che verificano: d 1 * d 3 =a * d 2

17 DIMOSTRAZIONE _____ d 1 = d P L 1 = x di P _____ d 2 = d P L 2 = x di L 2 – x di P _____ d 3 = d P L 3 = y di P d 1 * d 3 = a * d 2 | x | * | y | = a * | 2a-x | x * y = a * (2a – x) Da questa equazione si ottiene la funzione omografica di un iperbole con asintoti X = 0 e y = a: y = ax - 2 a 2 x

18 Costruzione di una curva di secondo grado I punti della curva sono ottenuti: intersezione tra GL e KN Rotazione antioraria di GL GA= a; KL= b; NL= c costanti

19 Lequazione cartesiana della curva si ottiene ponendo : AB= x, CB=y GA= a; KL= b; NL= c Dai triangoli simili NKL, CBK si ha: NL:KL = CB:BK BK= b·y /c BL= BK- KL BL= b·y /c -b AL= AB +BL AL= x + b·y /c -b Dai triangoli simili AGL, CBL si ha: BC:BL = AG:AL BC·AL = BL·AG Dallultima uguaglianza, sostituendo: y(x + b·y /c -b) = (b·y /c -b )a

20 Gli inviluppi INVILUPPI

21 PARABOLA Il vertice H di una squadra FHt è vincolato a percorrere una retta r; il lato HF della squadra è costretto a passare per il punto fisso F (esterno ad r). Quando H si muove, l'altro lato t della squadra inviluppa una parabola avente F come fuoco ed r come tangente nel proprio vertice. Metodo della PODARIA

22 Sia r una retta assegnata ed F un punto esterno ad essa. H sia un punto della retta r ed h la perpendicolare ad FH in H. Dimostriamo che h inviluppa una parabola. Sia G il simmetrico di F rispetto ad H e sia GP perpendicolare a r. Si ha PF=PG. Ma LG=VF (per la congruenza dei triangoli FVH e HLG) e quindi in ogni posizione la distanza di G da r è costante e G giace sulla retta d parallela a r a distanza uguale a quella di F da r. Allora P è equidistante da F e dalla retta d e quindi appartiene alla parabola di fuoco F e direttrice d. Inoltre, essendo uguali gli angoli FPH e HPG, h è tangente alla parabola in P.

23 Data la funzione y = - x, rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il codominio su un asse r'(origine O'; r ed r' complanari); ogni punto del dominio viene congiunto con il corrispondente nel codominio. Le rette congiungenti formano un inviluppo. Quando r ed r' sono parallele, i segmenti XY si incontrano in un punto (degenerazione della curva inviluppo), altrimenti inviluppano una parabola. Cambiando la posizione della retta r' è possibile osservare come varia la forma dell'inviluppo.

24 Siano x ed y due rette incidenti, O ed O due punti fissati ad ugual distanza da A (origini dei sistemi di riferimento sulla rette x e y) ed OX e OY due segmenti di ugual lunghezza (X e Y punti corrispondenti nella y = - x). Sia h lasse del segmento XY (il punto medio H di XY giace sempre su OO: per la dimostrazione condurre da X e Y le parallele a OO e applicare il teorema di Talete) e k lasse del segmento OO e sia F il loro punto di intersezione. Sia X il simmetrico di X rispetto ad O. Si ha : FY=FX=FX, i triangoli FOX e FOX sono uguali ed FO è perpendicolare ad AO in O. La posizione di F quindi non varia e la retta passante per X e Y inviluppa una parabola (parabola inviluppo: metodo della podaria). Cambiando il sistema di riferimento sulla retta y', (nuova origine O"), osserviamo che la trasformazione che fa corrispondere al triangolo OAO il triangolo OAO" è una omologia affine di asse x, pertanto i segmenti XY inviluppano ancora una parabola

25 OA e OB sono due aste di ugual lunghezza nei cui estremi A e B sono incernierati i punti medi delle aste PC e PD (di ugual lunghezza). Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza di centro M passante per O. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla circonferenza di centro O e raggio, inviluppa una parabola.

26 Quando P percorre la circonferenza, il suo corrispondente Q nell'inversione circolare rispetto alla circonferenza (centro O e raggio percorre la retta r, perpendicolare ad OM (proprietà della inversione circolare). Per ogni posizione di P, i punti P e Q sono allineati con O. La retta CD, essendo in ogni posizione perpendicolare a QO, è tangente ad una parabola (avente asse di simmetria coincidente con OM, vertice sulla retta r e fuoco nel punto O) di cui r è la podaria.

27 Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed F 1 un punto interno alla circonferenza. HG sia la corda passante per F 1 e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una ellisse. Sia F 2 il simmetrico di F 1 rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e KF 2 è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia LF 1 parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra LF 1 e HK. Si ha: LK=KF 2 e PL=PF 2 (simmetria rispetto a PK). F 1 P+PF 2 =F 1 P+PL=F 1 L=GK=2r Quindi P appartiene all'ellisse di centro O, fuochi F 1 ed F 2 ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli HPF 1 e KPF 2 sono uguali, t è tangente alla ellisse in P. DIMOSTRAZIONE:

28 DIMOSTRAZIONE Quando P percorre la circonferenza gamma 1, il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza gamma 2, omotetica di gamma rispetto ad O. Se O è interno a gamma 2, è anche interno a gamma 1. Per ogni posizione di Q su gamma 1, la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una ellisse, di cui la circonferenza percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).

29 Data la funzione y=1/x rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il suo codominio su un asse r' (origine O') parallelo ad r. Congiungiamo ogni punto del dominio con il suo corrispondente nel codominio. Le congiungenti inviluppano una ellisse. È possibile variare la distanza fra le rette r ed r' e la posizione di O' su r' per osservare come si trasforma l'ellisse inviluppo.

30 Siano r ed r' due rette parallele ed O e O', origini dei sistemi di riferimento, su una perpendicolare alle due rette. Sia X l'estremo di un segmento di lunghezza x e OA e AB siano due segmenti di lunghezza unitaria posti sulla OO'. Sia AZ perpendicolare ad AX e BZ parallelo ad OX. Allora BZ ha lunghezza 1/x. Il triangolo rettangolo XAZ ha altezza costante e uguale ad 1 e i segmenti ZX inviluppano la circonferenza di centro A e raggio 1. L'omologia affine di asse r, direzione dei raggi perpendicolare ad r e rapporto O'O/BO fa corrispondere al punto Z il punto Y (corrispondente di X nella y=1/x) e trasforma la circonferenza inviluppo dei segmenti XZ in una ellisse E inviluppo dei segmenti XY. Applicando ad r' una qualsiasi traslazione la curva E' inviluppata è ancora una ellisse. Infatti E ed E' si corrispondono in una omologia affine di asse r.

31 Il vertice H di una squadra LHM (LHM angolo retto) è vincolato a percorrere una circonferenza, un lato della squadra è costretto a passare per un punto fissato nel piano ed esterno alla circonferenza. Quando H descrive la circonferenza l'altro lato HM della squadra inviluppa una iperbole avente come fuoco e asse reale uguale al diametro della circonferenza.

32 Metodo per la costruzione dell'inviluppo. Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed un punto esterno alla circonferenza. HG sia la corda passante per e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una iperbole. Sia il simmetrico di rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra e HK. Si ha:LK= PL= (simmetria rispetto a PK). Quindi P appartiene all'iperbole di centro O, fuochi ed ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli e sono uguali, t è tangente alla iperbole in P.

33 OA QBP è un inversore di Peaucellier, i punti A e B sono i punti medi delle aste PCe PD.Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza g di centro M e di raggio r

34 Quando P percorre la circonferenza, il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza, omotetica di rispetto ad O (proprietà della inversione circolare). Se O è esterno a, è anche esterno a. Per ogni posizione di Q su, la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una iperbole, di cui la circonferenza percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).


Scaricare ppt "Renè Descartes (1596-1650) Geometrie (1637) Lobiettivo di Cartesio era quello di trovare un linguaggio matematico per descrivere il mondo fisico."

Presentazioni simili


Annunci Google