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1 La potenza in alternata In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola facendo il prodotto tra tensione e corrente: P = V*I.

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Presentazione sul tema: "1 La potenza in alternata In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola facendo il prodotto tra tensione e corrente: P = V*I."— Transcript della presentazione:

1 1 La potenza in alternata In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola facendo il prodotto tra tensione e corrente: P = V*I. Essendo i due valori di tensione e di corrente costanti nel tempo, anche la potenza sarà costante. Tutto ciò in alternata non è più vero. Infatti sia la tensione che la corrente variano sinusoidalmente, quindi la potenza sarà anchessa variabile. Inoltre bisogna distinguere il caso di potenza su un carico resistivo R ed il caso di potenza su carico reattivo (cioè C o L). Le due situazioni sono diverse poiché le sinusoidi di tensione e corrente sono in fase nel primo caso e sfasate di 90° nel secondo. Unaltra differenza tra carico resistivo R e carico reattivo deriva dalla considerazione che mentre R dissipa energia (la trasforma in altra forma di energia), L e C non dissipano energia, ma la immagazzinano e la restituiscono periodicamente. Tutto ciò si può verificare partendo dalle sinusoidi di tensione e corrente, ricavando poi la sinusoide della potenza.

2 2 La potenza in alternata POTENZA ATTIVA Studiamo il primo caso del carico resistivo R. Di seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè P. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte. In queste formule abbiamo tenuto conto che la tensione e la corrente sono in fase (langolo dei due seni sono uguali) e si è fatta la semplificazione che la fase iniziale sia zero. La prossima pagina mostrerà i grafici delle tre formule.

3 3 La potenza in alternata POTENZA ATTIVA Si nota chiaramente che la potenza P è sempre positiva e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Una potenza sempre positiva significa che il suo verso è sempre lo stesso: dal generatore alla resistenza e mai al contrario. A questo grafico si possono applicare tutte le considerazioni fatte sul valore efficace.

4 4 La potenza in alternata POTENZA ATTIVA Dal calcolo si nota che il prodotto tra i valori efficaci di tensione e corrente è esattamente il valore medio della curva che rappresenta la potenza. Quindi la superficie racchiusa sotto la curva della potenza vale 6 W. Questa è lequivalente in continua della potenza in alternata. In definitiva possiamo quindi calcolare la potenza su un carico resistivo facendo il prodotto tra i valori efficaci di tensione e di corrente (o facendo la metà del prodotto tra le ampiezze). Tale potenza prende il nome di POTENZA ATTIVA e si misura in WATT.

5 5 La potenza in alternata POTENZA ATTIVA DIMOSTRAZIONE Lultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che dissipa una resistenza R è formata da un temine costante (continua) che non viene restituita al generatore e da un termine variabile, cioè il coseno, con frequenza doppia ( 2 ) della tensione e della corrente. Questultimo termine ha valore medio zero quindi non aggiunge altra potenza a quella in continua.

6 6 La potenza in alternata POTENZA ATTIVA La formula appena ricavata è applicabile solo alla potenza dissipata sulle resistenze R. Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le resistenze ricordando che: V EFF = V R(eff) I EFF = I R(eff) V R(eff) = R*I R(eff) I R(eff ) = V R(eff ) / R Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà: P = V EFF * I EFF = R*I 2 R(eff) P = V EFF * I EFF = V 2 R(eff) / R

7 7 Richiamo di trigonometria cos( ) = sen( + /2 ) - cos( ) = sen( - /2 )

8 8 Studiamo il secondo caso di carico induttivo L. Di seguito vediamo due esempi di equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè Q L. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte. La potenza in alternata POTENZA REATTIVA

9 9 Si nota chiaramente che la potenza Q L è alternativamente positiva e negativa e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore allinduttanza quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che linduttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la restituisce nellaltro mezzo periodo. QLQL I V

10 10 La potenza in alternata POTENZA REATTIVA Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e induttanza (che comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva Q L e si calcola tramite il prodotto tra i valori efficaci della tensione e della corrente.

11 11 Lultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che scambia una induttanza L è formata da un solo temine variabile con frequenza doppia ( 2 ) della tensione e della corrente. Questultimo termine ha valore medio zero quindi non dissipa potenza, come già detto. Nella formula precedente il prodotto V EFF * I EFF NON HA lo stesso significato che ha nella potenza attiva, poiché la tensione e la corrente non sono in fase. Quindi non ha il significato di potenza continua equivalente allalternata. Il significato, come già detto, è quello di fornire un dato sugli scambi energetici tra generatore e induttanza. Per evidenziare questa differenza anche lunità di misura non è quella della potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R. La potenza in alternata POTENZA REATTIVA

12 12 La formula appena ricavata è applicabile alla induttanza L. Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le induttanze ricordando che: V EFF = V L(eff) I EFF = I L(eff) V L(eff) = X L *I L(eff) I L(eff ) = V L(eff ) / X L Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà: Q L = V EFF * I EFF = X L *I 2 L(eff) Q L = V EFF * I EFF = V 2 L(eff) / X L La potenza in alternata POTENZA REATTIVA

13 13 Studiamo il terzo caso di carico capacitivo C. Di seguito vediamo due equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè Q C. Successivamente realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte. La potenza in alternata POTENZA REATTIVA

14 14 La potenza in alternata POTENZA REATTIVA QCQC I VCVC Si nota chiaramente che la potenza Q C è alternativamente positiva e negativa e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore al condensatore quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che linduttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la restituisce nellaltro mezzo periodo.

15 15 La potenza in alternata POTENZA REATTIVA Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e condensatore (che comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva Q C e si calcola tramite il prodotto tra i valori efficaci della tensione e della corrente.

16 16 La potenza in alternata POTENZA REATTIVA Anche in questo caso si possono ripetere le stesse considerazioni fatte per le induttanze. Per evidenziare questa differenza anche lunità di misura non è quella della potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R. La formula appena ricavata è applicabile al condensatore C. Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per il condensatore ricordando che: V EFF = V C(eff) I EFF = I C(eff) V C(eff) = X C *I C(eff) I C(eff ) = V C(eff ) / X C Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà: Q C = V EFF * I EFF = X C *I 2 C(eff) Q C = V EFF * I EFF = V 2 C(eff) / X C

17 17 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA E REATTIVA P QLQL QCQC I tre grafici riportati mostrano che le tre potenze sono tra loro sfasate di angoli che determineremo. Si nota subito che Q L e Q C sono tra loro sfasate di 180°. Questo dato si ricava anche dalle formule trovate: Q L = V L(eff) *I L(eff) *sen(2 t); Q C = - V C(eff) *I C(eff) *sen(2 t). Il segno - in Q C indica appunto lo sfasamento di 180°.

18 18 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA E REATTIVA Resta da capire quale sia lo sfasamento della potenza attiva rispetto a quelle reattive ( ricordiamo che anche la potenza attiva varia nel tempo e che quindi ha una relazione di fase con le Q ). Nel prossimo grafico è rappresentata la potenza attiva solo con la sua componente alternata, cioè senza la continua. P QLQL QCQC Da questo grafico si vede che P è sfasata di 90° in ritardo rispetto a Q L, e 90° in anticipo rispetto a Q C

19 19 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA E REATTIVA Possiamo quindi disegnare il diagramma vettoriale tra le tre potenze. Ricordiamo che un diagramma vettoriale ha significato se è rappresentativo di sinusoidi, quindi lavere trascurato la componente continua della potenza P è legittimo. Nel grafico vettoriale a) sono rappresentati i tre vettori come derivano dal grafico delle sinusoidi, però è maggiormente usato il grafico vettoriale b) (equivalente a quello a) ). QCQC QLQL P a) QCQC QLQL P b) In questi grafici i vettori hanno tutti la stessa ampiezza (derivano da un esempio numerico!). Questa però è una condizione particolare, mentre in generale le tre ampiezze sono tutte diverse. Quindi il diagramma vettoriale sarà di due tipi: Q L >Q C e Q L

20 20 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE I grafici potranno essere i due seguenti. QCQC QLQL P b) Q C - Q L S Q L < Q C QCQC QLQL P a) Q L - Q C S Q L > Q C La risultante S è chiamata POTENZA APPARENTE e si misura in Volt – Ampere (V.A.). Siccome S è la somma vettoriale della potenza attiva dissipata dalle resistenze e della potenza reattiva immagazzinata dai condensatori ed induttori essa è la potenza complessiva proveniente dal generatore. Questo è il significato fisico di S.

21 21 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE Una importante applicazione delle formule e diagrammi vettoriali riguarda i circuiti R-C ed R – L. Ricordiamo che ogni circuito si può ridurre ad uno dei due citati. VGVG R VRVR I VCVC C VRVR I VCVC VGVG φ Utilizziamo i valori efficaci di tensione e corrente: P = V R * I (W) Q C = V C * I (VAR) Dal diagramma vettoriale disegnato a lato si ricavano le seguenti formule: V R = V G * cos ( φ ) V C = V G * sen ( φ ) Quindi possiamo riscrivere le potenze così: P = V G * cos ( φ ) * I (W) Q C = V G * sen ( φ ) * I (VAR) Cioè: P = V G * I * cos ( φ ) (W) Q C = V G * I * sen ( φ ) (VAR) DA RICORDARE

22 22 La potenza in alternata DIAGRAMMI VETTORIALI DELLE POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE VRVR I VCVC VGVG φ P QCQC S P = V R * I ; Q C = V C * I La P e la Q sono vettori proporzionali ad I e quindi non cambia langolo tra di loro ed S. I diagrammi vettoriali hanno gli stessi sfasamenti Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le formule riportate a lato.

23 23 Quanto vale S? Per effettuare la dimostrazione ricordiamo le formule ricavate: P = V G * I * cos ( φ ) (W) Q C = V G * I * sen ( φ ) (VAR) La potenza in alternata ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA POTENZA APPARENTE

24 24 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE IL FATTORE DI POTENZA Facciamo una riflessione sulle formule e sul diagramma vettoriale. Nella figura A langolo φ è maggiore dellangolo φ 1 della figura B, ma la potenza P resta invariata. Se langolo φ diminuisce, il cos(φ) aumenta. Se la potenza attiva P resta uguale, allora significa che la potenza reattiva Q C diminuisce. Il fattore di potenza cos(φ) deve essere mantenuto sufficientemente alto (maggiore di 0,8 per legge, ma tecnicamente è auspicabile che sia maggiore di 0,95) per un problema tecnico-economico che verrà affrontato quando si parlerà del RIFASAMENTO. P QCQC S P QCQC S 1 A B

25 25 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE Nei circuiti R – L le formule restano identiche, fatta eccezione del diagramma vettoriale, riportato di seguito. VRVR I VLVL VGVG φ P QLQL S FORMULE P = V R * I ; Q L = V L * I P = V G * I * cos ( φ ) (W) Q L = V G * I * sen ( φ ) (VAR) Dal diagramma delle potenze si ricavano anche le formule riportate a lato.

26 26 La potenza in alternata POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE IL FATTORE DI POTENZA Per il circuito R-L valgono le stesse considerazioni fatte per il circuito R-C proposito del fattore di potenza cos(φ).

27 27 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO In ogni impianto elettrico, in generale, sono presenti utenti che richiedono potenza attiva (le resistenze) ed altri richiedono potenza reattiva (condensatori ed induttanze). Le resistenze possono essere le lampade, i forni, le stufe ecc. In generale sono utenti che convertono lenergia elettrica in altre forme di energia e quindi mettono in atto un processo fisico irreversibile (cioè lenergia utilizzata non ridiventerà mai più elettrica). Questa potenza attiva dobbiamo pagarla allente che la fornisce. Per quanto riguarda la potenza reattiva, essa può servire per il funzionamento di motori (che sono essenzialmente delle induttanze) o per caricare dei condensatori. Il caso più frequente è quello dei motori e quindi di carichi induttivi. Come abbiamo già studiato la potenza reattiva non viene convertita in altre forme di potenze e quindi periodicamente restituita allente che in precedenza laveva fornita. Ne deriva che non cè un consumo e quindi non può esserci un pagamento. Tuttavia per fornire una potenza reattiva occorre far fluire una corrente nei cavi che collegano il generatore allutente: Q L = V G * I

28 28 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO Quindi la corrente che occorre per trasportare la potenza reattiva rende necessario la realizzazione di cavi elettrici di sezione maggiore di quella sufficiente ad una data potenza attiva. Questa maggiore sezione dei cavi rende limpianto più costoso per lente che eroga energia. Per evitare delle pesanti penali a carico dellutente si deve procedere alla realizzazione del RIFASAMENTO dellimpianto. Si tratta in pratica di generare localmente la corrente reattiva necessaria allutente, senza gravare sullente erogatore e quindi senza appesantire limpianto con rame in più. Facciamo un esempio numerico. Supponiamo di avere una resistenza (ad es. una lampada) che assorba una potenza attiva di 40 W. Colleghiamo questa lampada prima da sola al generatore e poi in serie ad una induttanza di 1000 mH. Valutiamo in tutti e due i casi quanto vale la corrente che il generatore deve erogare. Naturalmente la frequenza vale 50 Hz ed il generatore eroghi la 200 V.

29 29 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO VGVG R VRVR I VGVG R V R1 I1I1 VLVL AB I = P / V G = 40 / 220 = 0,181 A R = V G / I = 220 / 0,181 = 1215 X L = 2 f L = 6,20*50*1000*10 -3 = 314 V L = X L * I 1 = 314 * I 1 V R = R * I 1 = 1215 * I 1 arctang ( V L /V R ) = arctang ( 314 / 1215) = 14,5° P = V G *I 1 *cos( )= 220*I 1 *0,97 I 1 = 40 / (220*0,97)= 40/213 = 0,188 A Da questi semplici calcoli si nota che la corrente con linduttanza in serie (a parità di potenza attiva richiesta) è maggiore di quella con solo la resistenza.

30 30 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO Questo problema si risolve utilizzando un condensatore di rifasamento che di solito si pone in parallelo al generatore. La sua funzione è quella di immagazzinare potenza reattiva e di fornirla allinduttanza quando questa la richiede. VGVG I1I1 CSCS ICIC Z L = carico induttivo I VGVG ICIC I I1I1 φ φ1φ1 Dal diagramma vettoriale si ricava che il condensatore provoca una diminuzione delle corrente erogata dal generatore che passa da I ad I 1 ed una diminuzione dello sfasamento da φ a φ 1, con un aumento del fattore di potenza cos(φ 1 ). Questo è proprio quello che si cerca di ottenere. Contestualmente si può dire che il problema si risolve aumentando il fattore di potenza. Calcoliamo adesso il valore del condensatore di rifasamento da inserire nel circuito.

31 31 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO CALCOLO DI C VGVG ICIC I I1I1 φ φ1φ1 Dimostrazione Il problema del rifasamento si può studiare anche facendo riferimento al diagramma vettoriale delle potenze, affrontato nella prossima diapositiva.

32 32 La potenza in alternata IL PROBLEMA DEL RIFASAMENTO CALCOLO DI C P QLQL S Q C = Q L – Q 1 P QLQL S S1S1 1 Q1Q1 Prima del rifasamento la potenza reattiva vale: Q L = P*tang(φ) Dopo il rifasamento la potenza reattiva vale: Q 1 = P*tang(φ 1 ) Dal secondo grafico delle potenze si ricava che Q L si sottrae alla la potenza del condensatore Q C. La potenza risultante sarà quindi: Q 1 = Q L – Q C Da questa formula ricaviamo la Q C. Q C = Q L – Q 1 = P*tang(φ) - P*tang(φ 1 ) = P*[tang(φ) - tang(φ1)]


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