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LA MATEMATICA DELLINFINITO Stefano Baratella Realizzazione PowerPoint di Michele Avancini.

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Presentazione sul tema: "LA MATEMATICA DELLINFINITO Stefano Baratella Realizzazione PowerPoint di Michele Avancini."— Transcript della presentazione:

1 LA MATEMATICA DELLINFINITO Stefano Baratella Realizzazione PowerPoint di Michele Avancini

2 Possiamo distinguere 2 tipi di infinito INFINITO potenziale (linfinito dei greci antichi) ׀׀׀ ׀׀׀ … 123 …n … attuale (linfinito della matematica moderna) … Cè - in realtà - una gerarchia illimitata di infiniti attuali ׀׀׀ … ׀

3 Achille e la tartaruga 8m Achille Tartaruga 8 m/sec4 m/sec Distanza da 0 (in m) AchilleTartarugaDifferenza ,50,5 Tempo (in sec)

4 Achille e la tartaruga – Zenone di Elea Il ragionamento dei greci: ERRORE ! Inoltre: Infatti, dopo due secondi, Achille raggiunge la Tartaruga.

5 Nel corso dei secoli: ~1450Nicola Cusano La dotta ignoranza … allinfinito tutto diventa uguale … un triangolo infinito è uguale a una retta, ad un cerchio infinito … ~1600Giordano Bruno La cena delle ceneri … una gerarchia di infiniti … Anche Galileo mette in discussione il concetto di infinito elaborato dai greci. Egli afferma la possibilità di dividere un segmento in infiniti elementi primi (primitivi); non quanti (senza estensione); indivisibili. Di fronte allinfinito attuale, Galileo si ferma perché si rende conto di alcuni paradossi…

6 Il paradosso dei quadrati: (Galileo) … queste son delle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a glinfiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente … Galileo si rende conto che linsieme dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio: quello dei quadrati dei numeri naturali.

7 Corrispondenza biunivoca (biiezione) con le seguenti proprietà:

8 Un insieme è finito se non è infinito. Esempi: i numeri naturali pari i numeri reali positivi

9 È possibile confrontare la grandezza di insiemi infiniti? Se sì, esiste un infinito più grande di tutti gli altri? È possibile fare operazioni aritmetiche (somma, prodotto, …) su numeri infiniti?

10 … la teoria dei numeri transfiniti. Tale teoria è, a mio parere, il più bel risultato del genio matematico ed una delle maggiori conquiste dellattività umana puramente intellettuale. Volendo caratterizzare in breve la nuova concezione dellinfinito introdotta da Cantor si potrebbe dire: nellanalisi [matematica] ci si occupa dellinfinitamente grande e dellinfinitamente piccolo solo in quanto concetti-limite, come qualcosa che diviene, che nasce, che si forma, cioè in quanto infiniti potenziali. Ma non è questo linfinito vero e proprio. Lo si ha invece quando si considera la totalità dei numeri 1, 2, 3, … come una totalità conclusa o si considerano i punti di un intervallo come una totalità di oggetti che esistono tutti in una volta. Questo tipo di infinito prende il nome di infinito attuale. Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi. David Hilbert

11 Per confrontare la grandezza di insiemi (infiniti), Georg Cantor propone di usare la relazione di equipotenza Si dice che due insiemi equipotenti hanno la stessa cardinalità. Intuitivamente, avere la stessa cardinalità vuol dire stare allo stesso livello nella gerarchia che misura lordine di grandezza degli insiemi. Georg Cantor

12 … anche e hanno la stessa cardinalità! … potrebbe venire il sospetto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità, ma non è così! Domande di questo genere se le poneva anche Cantor, arrivando spesso a risposte inattese! ? ?

13 Può una superficie (diciamo un quadrato che include il bordo) essere messa in corrispondenza biunivoca con una retta (diciamo un segmento di retta che include gli estremi) così che per ogni punto sulla superficie cè un corrispondente punto sulla retta e, viceversa, per ogni punto della retta cè un punto corrispondente sulla superficie? Penso che rispondere a una tale domanda non sia affatto facile, nonostante il fatto che la risposta sembra essere così chiaramente no che una dimostrazione appare inutile. Lettera a Dedekind, gennaio 1874 Lo vedo, ma non ci credo! Lettera a Dedekind, 1877, dopo aver provato che esiste una corrispondenza biunivoca tra e Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i filosofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia lassoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito… e più precisamente come il minimo di tutti i transfiniti… Georg Cantor,

14 (0,1)x(0,1) (0,1) Alla coppia associamo La soluzione di Cantor

15 Esempio: quindi e se mi viene chiesto di quale coppia di punti il punto è immagine, la risposta è:

16 L albergo di Hilbert Ha infinite stanze così numerate: n … Il giorno 1 tutte le stanze sono occupate. Si presenta un nuovo cliente. È possibile trovargli posto? n … n+1 Il giorno 2 tutte le stanze sono di nuovo occupate. Arrivano 12 nuovi clienti con prenotazione. È possibile trovare loro posto? ? 0 1 ……… n n+12

17 Il sig. Hilbert sa che un tasso di occupazione «del 50%» è insufficiente per la direzione. Il giorno 3 tutte le stanze sono occupate. Arrivano un numero infinito di clienti (tanti quanti i numeri naturali). È possibile trovare loro posto? Il giorno 4 tutti i clienti arrivati il giorno 3 se ne vanno. Si può far sì che il tasso di occupazione salga «al 100%»? ? Il giorno 5 al sig. Hilbert viene comunicato che gli infiniti alberghi (tanti quanti i numeri naturali) della catena a cui il suo appartiene chiuderanno tutti – tranne il suo – e che dovrà trovare una stanza per tutti i clienti di tutti gli alberghi.

18 «Matematizziamo» il problema:

19 Per voi: Provate che definisce una corrispondenza biunivoca

20 P P Q Q R R C

21 (questo è un esercizio per voi!) (Procedimento diagonale di Cantor)

22 NON esiste un insieme di cardinalità maggiore o uguale alla cardinalità di ogni altro insieme. Infatti: (Cantor)

23 Ricordiamo: (Cantor) quindi:

24

25 insiemi infiniti tutti gli insiemi con 37 elementi tutti gli insiemi con 1 elemento insiemi finiti aleph-con-zero Livello

26 … the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific hotizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even quantum theory and nuclear physics. Abraham Fraenkel, Abstract set theory, North Holland, Amsterdam 1961


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