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Prof. Amelia Vavalli. Trasformazioni geometriche Affinità Similitudini Onotetie Isometrie Simmetria Centrale e Identità

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Presentazione sul tema: "Prof. Amelia Vavalli. Trasformazioni geometriche Affinità Similitudini Onotetie Isometrie Simmetria Centrale e Identità"— Transcript della presentazione:

1 Prof. Amelia Vavalli

2 Trasformazioni geometriche Affinità Similitudini Onotetie Isometrie Simmetria Centrale e Identità

3 Isometrie piane Tra le principali trasformazioni geometriche del piano reale si annoverano le isometrie, cioè le particolari trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra punti.isometrie Le isometrie del piano si possono classificare in: traslazionitraslazioni, rotazionirotazioni, simmetrie centralisimmetrie centrali, simmetrie assialisimmetrie assiali. Trasformazioni piane non isometriche Tra le molte trasformazioni geometriche del piano che non mantengono necessariamente le distanze, si ricordano, in particolare, lomotetia e la similitudine nel piano, trasformazioni del piano che conservano i rapporti tra le distanze, e laffinità, trasformazione geometrica che conserva il parallelismo di rette e congruenza tra segmenti.omotetiasimilitudine nel pianoaffinità Dalle definizioni date segue che le isometrie sono particolari similitudini e che queste sono particolari affinità.

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5 Isometrie Si dice ISOMETRIA una trasformazione geometrica che conserva le distanze ovvero, dati due punti A, B l'isometria fa corrispondere ad essi due punti A' e B' tali che: AB = A'B' Pertanto le figure trasformate risultano congruenti a quelle date e sono: le simmetrie centrali e assiali, le traslazioni, le rotazioni. è una trasformazione geometrica che conserva inalterate tutte le misure, sia lineari sia angolari.

6 ISOMETRIE Una simmetria centrale è una trasformazione che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato detto centro di simmetria.

7 Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto O ( centro di simmetria ) quando questo e' punto medio del segmento che li unisce. O A B

8 INVARIANTI DELLA SIMMETRIA CENTRALE Lallineamento dei punti Lincidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e lampiezza degli angoli Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) Orientamento delle figure ALTRE PROPRIETA DELLA SIMMETRIA CENTRALE Lunico punto unito è O centro di simmetria Ogni retta passante per O è unita (ma non luogo di punti uniti) Ogni simmetria centrale è involutoria A ogni semiretta di origine O (centro di simmetria) corrisponde la sua opposta

9 Una figura e' simmetrica rispetto ad un centro se ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura. Ecco alcuni esempi di figure simmetriche rispetto ad un loro punto: Il centro di simmetria è il punto d'intersezione delle loro diagonali. A A1A1 O B B1B1 A A1A1

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11 Esempi di simmetria centrale in arte ESCHER: DA CIRCLE

12 Notre Dame- Paris

13 Lo splendido rosone del Duomo di Orvieto, realizzato dal fiorentino Andrea di Cione detto l'Orcagna.

14 ISOMETRIE Una riflessione o simmetria assiale è una trasformazione che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione

15 le simmetrie assiali (o ribaltamento) Fissata una retta r nel piano, la simmetria assiale è una isometria del piano in se stesso che associa ad ogni punto A il punto A, simmetrico di A rispetto a r. La retta r si chiama asse di simmetria. r r

16 F F r INVARIANTI Lallineamento dei punti. L incidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti Lampiezza degli angoli ALTRE PROPRIETA Lasse è una retta unita formata da punti uniti Tutte e sole le rette perpendicolari allasse sono unite (ma non luoghi di punti uniti) Ogni simmetria assiale è involutoria

17 Asse di simmetria AA1A1 B B1B1 C C1C1 DD1D1 180° ESEMPIO

18 Esempi di figure geometriche che ammettono assi di simmetria:

19 Esempi di simmetria assiale nella natura

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22 Esempi di simmetria assiale nellarte

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24 ISOMETRIE Una traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione. La si può anche interpretare come addizione di un vettore costante ad ogni punto, o come spostamento dell'origine del sistema di coordinate.

25 le traslazioni (Traslare significa spostare, portare oltre, dal latino trans-ferre) Si definisce traslazione di vettore v, una isometria del piano in se stesso che associa ad ogni punto P del piano il punto P tale che abbia la stessa direzione, lo stesso verso lo stesso modulo di. v P P1P1

26 INVARIANTI nella TRASLAZIONE Lallineamento dei punti Lincidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e lampiezza degli angoli Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela) Orientamento delle figure ALTRE PROPRIETA della TRASLAZIONE In una traslazione non esistono punti uniti Ogni retta parallela a V è unita per verificare che due figure si corrispondono in una traslazione, basta controllare che i segmenti che uniscono due punti corrispondenti sono paralleli e congruenti. V A A1A1 B B1B1 C C1C1 D D1D1

27 Esempi di traslazione in arte ESCHER

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30 ISOMETRIE Una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto. I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo insieme è un punto (l'origine) o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

31 le rotazioni INVARIANTI Lallineamento dei punti Lincidenza e il parallelismo tra rette La lunghezza dei segmenti e lampiezza degli angoli Orientamento delle figure ALTRE PROPRIETA Lunico punto unito è il centro O di rotazione. Tutte e sole le rette passanti per O sono unite per verificare che due figure si corrispondono in una rotazione, basta controllare che ogni coppia di punti corrispondenti è equidistante dal centro di rotazione O, che si determina come intersezione degli assi di due segmenti che hanno per estremi due coppie qualsiasi di punti che si corrispondono.

32 O P

33 O P P1P1

34 O P P1P1 P2P2

35 Esempi di rotazione in arte ESCHER

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37 Un'omotetia è una trasformazione geometrica che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma.

38 A B C A1A1 B1B1 A2A2 B2B2 C2C2 C1C1

39 Un'omotetia di centro O è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da O di tutti i punti secondo un fattore c, lasciando invariate le rette passanti per A che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto P dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da O e passante per P, in modo che la sua distanza da A cambi secondo un fattore costante c positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto A. Il punto A è il centro, mentre c è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari dilatazione, se c>1, contrazione se c<1. Se "c=1" si ottiene ovviamente l'identità ovvero la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso. L'omotetia è una particolare similitudine.

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41 Composizione di OMOTETIA e TRANSLAZIONE kandinskij

42 La similitudine è una particolare trasformazione geometrica nella quale ad una figura ne corrisponde un'altra avente la stessa forma. In una similitudine i segmenti che si corrispondono sono in un rapporto costante che prende il nome di "rapporto di similitudine"; gli angoli corrispondenti sono invece congruenti. Una qualunque similitudine si può ottenere mediante la composizione di una isometria con un'omotetia.trasformazione geometrica segmenti isometriaomotetia


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