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GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura di Simona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria Caterina Cittadini di Calolziocorte Gruppo di Ricerca sullUso.

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1 GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura di Simona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria Caterina Cittadini di Calolziocorte Gruppo di Ricerca sullUso del Gioco nella Didattica della Matematica (Università Statale di Milano)

2 indice introduzione introduzione obiettivi obiettivi metodologia metodologia documentazione documentazione materiali materiali bibliografia bibliografia USCITA

3 Il kit multimediale che il lettore si accinge a consultare è rivolto principalmente agli insegnanti di matematica di scuola secondaria di primo grado e, indirettamente, ai loro alunni. Esso: 1.si inserisce in una delle aree tematiche indicate dal Progetto SeT; 2.si basa sulla convinzione che luso del gioco logico - matematico sia uno strumento efficace per fare unesperienza significativa di matematica; 3.illustra e documenta lattività didattica, svolta da insegnanti che utilizzano regolarmente il gioco matematico nella propria programmazione disciplinare, fornendo il materiale per riproporla in autonomia. INTRODUZIONE I NDICE

4 1.Il Progetto Speciale per l'Educazione Scientifico - Tecnologica (Progetto SeT) si propone di favorire una crescita complessiva della cultura scientifico – tecnologica, migliorando la qualità dell'insegnamento, perseguendo alcuni obiettivi specifici. obiettivi Il Progetto SeT segnala alcune aree tematiche individuate come particolarmente importanti sia per la loro valenza concettuale sia per la loro rilevanza sociale. Il lavoro ipertestuale che state consultando si inserisce nelle aree denominate Dimostrazione e modelli e Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie. aree tematichearee tematiche In esso fare matematica diventa fare laboratorio di matematica, cioè fornire un contesto pratico in cui applicare il metodo scientifico alla matematica, mediante l'osservazione, la formulazione di ipotesi risolutive, la loro sperimentazione e valutazione, la formalizzazione e la generalizzazione. I NDICE

5 OBIETTIVI del PROGETTO SeT Gli obiettivi del Progetto SeT sono: a) potenziare la cultura scientifico - tecnologica degli studenti; b) accrescere la qualità dell'insegnamento scientifico – tecnologico; c) migliorare l'organizzazione dell'insegnamento scientifico – tecnologico; d) sviluppare la professionalità degli insegnanti. In particolare le scuole che partecipano al progetto ricevono risorse per: - migliorare le strutture e l'organizzazione didattica dell'insegnamento scientifico - tecnologico; - creare servizi, azioni di sostegno e opportunità formative per gli insegnanti; - coinvolgere le diverse organizzazioni interessate allo sviluppo della scienza e della tecnologia: istituti di ricerca, musei, enti e servizi destinati alla protezione dell'ambiente e della salute, imprese industriali.

6 AREE TEMATICHE del Progetto SeT 1.Processi di cambiamento e trasformazione; 2.Stabilità e instabilità dei sistemi; 3.I linguaggi della scienza e della tecnica; 4.Struttura: forma e funzione; 5.Misura, elaborazione e rappresentazione: strumenti e tecnologie per conoscere; 6.I materiali; 7.Energia: trasformazioni, impieghi, fonti primarie; 8.Informazione e comunicazione; 9.Microcosmo e macrocosmo; 10.Dimostrazione e modelli; 11.Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie; 12.La scienza del vivere quotidiano; 13.Tecnologie della vita; 14.Ambiente e tecnologia; 15.I grandi fenomeni naturali.

7 2.Sono uninsegnante di matematica convinta che… fare matematica sia divertente! E penso che i miei alunni abbiano il diritto di essere resi partecipi di questo piacere. Credo che, nella scuola dellautonomia, un insegnante debba avere il coraggio di compiere scelte scomode e innovative per: - confrontarsi con gli alunni sul terreno della scoperta, della discussione su problemi di cui non si conoscono in anticipo procedimenti e tecniche di soluzione; - lasciare libero sfogo alle capacità logiche, allintuizione, alla fantasia. Limportanza dellaspetto ludico della matematica è riconosciuta anche dalla commissione ministeriale incaricata di studiare e riformulare i programmi nazionali previsti dalla riforma Moratti (Legge 53, 28 marzo 2003). I NDICE

8 Il gioco matematico è uno strumento che può risultare molto efficace nello studio della matematica sia per stimolare la ricerca e lacquisizione di nuove conoscenze e strategie sia per modificare gli atteggiamenti verso questa disciplina, generalmente definita antipatica, noiosa, scomoda, difficile... gioco matematicogioco matematico Chiunque si cimenta nella risoluzione di un gioco matematico innesca una serie di atteggiamenti e comportamenti tipici del ricercatore e dello scienziato: - cerca strategie diverse e ne valuta lefficacia; - trasforma il linguaggio comune in linguaggio matematico; - schematizza situazioni con grafi, tabelle, disegni; - inventa e usa simboli nuovi; - scopre analogie con altri problemi; - ne inventa di nuovi che sfruttano le stesse strategie; - costruisce modelli matematici … e molti altri ancora. I NDICE

9 Inoltre, sfruttando una buona dose di sano agonismo e di spirito di collaborazione, si possono raggiungere risultati insperati in termini educativi. Fare matematica attraverso la cosiddetta MATEMATICA RICREATIVA aiuta ad accrescere la fiducia nelle proprie capacità e diminuisce lavversione anche verso quella tradizionale. In effetti, sentirsi padroni di un gioco e della sua strategia risolutiva dà soddisfazione, stimola la creatività e consolida la conoscenza di un ragionamento che si potrà ripetere in situazioni analoghe. Un altro risultato per nulla scontato e banale è che il gioco fa parlare di matematica anche fuori dalle scuole e non solo per lamentarsi di quanto la lezione sia stata noiosa o largomento difficile o lesito della verifica deludente, ma per sfidare, divertendosi, i propri genitori e gli amici su temi matematici. I NDICE

10 IL GIOCO MATEMATICO Ma cosa si intende per gioco matematico? Cito il presidente della Federazione francese di giochi matematici, Michel Criton, il quale sostiene che un buon gioco matematico deve godere di tre caratteristiche: - un gioco matematico deve essere accessibile al maggior numero di persone possibili (nel senso che non deve richiedere la conoscenza di nessuna teoria e di nessun linguaggio matematico particolarmente impegnativo); - il suo enunciato, formulato nel linguaggio corrente, deve intrigare, sorprendere, porre una sfida al lettore, suscitando curiosità e voglia di fermarsi a pensare; - la sua risoluzione deve divertire, piacere, dare soddisfazione a colui che la raggiunge, stupire per la sua semplicità ed eleganza.

11 3.In particolare nel kit troverete: - nella sezione METODOLOGIA … le indicazioni metodologiche relative allesecuzione dei giochi matematici con i ragazzi; - nella sezione DOCUMENTAZIONE … la documentazione relativa a giochi testati nelle classi; - nella sezione MATERIALI … la possibilità di scaricare il materiale necessario per lo svolgimento e la documentazione di alcuni giochi. I NDICE

12 obiettivi Con il gioco matematico è possibile perseguire obiettivi di tipo educativo, che, insiemi agli obiettivi strettamente didattici, fanno parte dellazione educativa di qualsiasi insegnante. OBIETTIVI EDUCATIVI sviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e fiducia nelle proprie capacitàsviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e fiducia nelle proprie capacità accrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso la cooperazione e la solidarietà con gli altriaccrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso la cooperazione e la solidarietà con gli altri potenziare la capacità organizzative e decisionalipotenziare la capacità organizzative e decisionali stimolare interesse e motivazione verso lo studio della matematicastimolare interesse e motivazione verso lo studio della matematica apprendere ad apprendereapprendere ad apprendere I NDICE

13 OBIETTIVI DIDATTICI potenziare le abilità logico – matematiche degli alunnipotenziare le abilità logico – matematiche degli alunni imparare ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenzeimparare ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenze valutare lutilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, competenze e capacitàvalutare lutilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, competenze e capacità sviluppare lattitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in contesti diversi (transfert)sviluppare lattitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in contesti diversi (transfert) decidere in condizioni dincertezza oltre che di certezzadecidere in condizioni dincertezza oltre che di certezza sviluppare la capacità di dominare situazioni anche complessesviluppare la capacità di dominare situazioni anche complesse utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazioneutilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazione I NDICE

14 metodologia La metodologia di lavoro presentata intende porre il processo di problem solving (letteralmente risolvere problemi) come punto di partenza per un percorso di didattica metacognitiva sul gioco matematico. problem solvingproblem solving Il problem solving può essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, comportamentale ed operativo, l'abilità di soluzione di problemi. Il gioco matematico, così come viene inteso in questo lavoro, è proprio una situazione problematica, magari complessa, di cui si vuole trovare, se esiste, una soluzione. Appare quindi lecito proporre il gioco logico ai ragazzi attraverso il processo del PROBLEM SOLVING METACOGNITIVO ; in tal modo essi, in modo sempre più puntuale, saranno in grado di monitorare i loro processi cognitivi, valutare lutilità e lefficacia dei diversi procedimenti risolutivi, nonché di classificare le rappresentazioni personali di procedure, attivando transfer degli apprendimenti. I NDICE

15 Il PROBLEM SOLVING Nellambito delle ricerche cognitive si sostiene che il problem solving è una capacità che, in realtà, ne comprende altre essenziali per una piena espressione del potenziale dellindividuo. Tali capacità sono: -il PROBLEM FINDING, da intendersi come capacità di riconoscere una situazione come problematica; -il PROBLEM POSING, da intendersi come capacità di impostare e dare corretta configurazione cognitiva al problema riconosciuto; -il PROBLEM TALKING, da intendersi come capacità di descrivere, spiegare e comunicare il problema. -il PROBLEM TALKING, da intendersi come capacità di descrivere, spiegare e comunicare il problema. Nonostante il problem solving venga solitamente associato allarea didattica logico – matematica esso è applicabile in ambito più interdisciplinare; fare problem solving, infatti, vuol dire usare correttamente l'abilità di classificazione di situazioni problematiche e la capacità di risolvere problemi analoghi.

16 La procedura del problem solving prevede diverse FASI, durante le quali possono essere sviluppati processi di controllo propri delle abilità metacognitive. Se ne possono individuare quattro: 1.fase di COMPRENSIONE : è finalizzata alla comprensione della situazione problematica e al riconoscimento delle conoscenze naturali possedute dagli allievi sullargomento del gioco da risolvere; fase di COMPRENSIONEfase di COMPRENSIONE 2.fase di ATTACCO : è il momento della formulazione di ipotesi di strategie risolutive ai fini dellindividuazione della soluzione ritenuta esatta; fase di ATTACCOfase di ATTACCO 3.fase di CONTROLLO : i ragazzi sono invitati a riferire e a giustificare ciò che hanno fatto e a confrontarsi in una discussione finalizzata alla scoperta della soluzione migliore; fase di CONTROLLOfase di CONTROLLO 4.fase di ESTENSIONE : permette di verificare se i ragazzi sanno trasferire in contesti diversi le competenze acquisite e generalizzarle, ricostruendo regole o formule. fase di ESTENSIONEfase di ESTENSIONE I NDICE

17 FASE di COMPRENSIONE OPERAZIONI DEL DOCENTEOPERAZIONIDELLALUNNO Attivare la comprensione del testo Definire il problema Problematizzare

18 FASE di ATTACCO OPERAZIONI DEL DOCENTEOPERAZIONIDELLALUNNO Stimolare al pensiero divergente Formulare ipotesi Applicare modelli e procedure di soluzione

19 FASE di CONTROLLO OPERAZIONI DEL DOCENTEOPERAZIONIDELLALUNNO Ascoltare lesposizione delle procedure applicate dagli alunni Elaborare il modello o la procedura di soluzione Far riflettere sul modello o sulla procedura applicata Comunicare la procedura di soluzione adottata

20 FASE di ESTENSIONE OPERAZIONI DEL DOCENTEOPERAZIONIDELLALUNNO Cambiare condizioni o variabili del gioco Sperimentare il modello o la procedura di soluzione Aiutare nella formalizzazione, descrizione e generalizzazione del modello o della procedura Formalizzare, descrivere, generalizzare il modello o la procedura

21 Ma concretamente come, cioè, secondo quali MODALITÀ un insegnante può svolgere i giochi con le proprie classi? Il mio primo consiglio è quello di non escludere nessuno; in queste situazioni anche chi è in grave DIFFICOLTÀ DI APPRENDIMENTO ci potrà sorprendere e, se così non fosse per quanto riguarda laspetto strettamente didattico, perché privare proprio questi ragazzi della possibilità di trarre un po di divertimento dalla matematica? Un secondo consiglio è quello di far lavorare i ragazzi in GRUPPI preferibilmente di tre o quattro persone ed eterogenei per abilità disciplinare e per capacità collaborative. Questa strategia da una parte stimolerà il più bravo a confrontarsi e a mettere le sue attitudini al servizio del gruppo; dallaltra, permetterà al meno bravo innanzitutto di non cadere nellangoscia del non sapere da che parte iniziare e, in secondo luogo, di sentirsi libero di avanzare ipotesi senza magari il timore del giudizio dellinsegnante. I NDICE

22 Voglio sottolineare in particolare limportanza del momento della DISCUSSIONE tra i ragazzi per la ricerca delle strategie risolutive: essa ha il valore essenziale di permettere di strutturare le conoscenze, imparando ad esporre le proprie idee e ad ascoltare quelle degli altri. Il DOCENTE, più che dare indicazioni, ha il compito di coordinare, sollecitare le osservazioni, valorizzare le opinioni di ciascun ragazzo. Nella discussione si attiva un processo che porta lalunno dal livello di intuizione ad un grado sempre maggiore di consapevolezza, attraverso il confronto con altri procedimenti risolutivi e leventuale riconoscimento di errori e il loro superamento. Inoltre il momento della VERBALIZZAZIONE permette di migliorare luso di un linguaggio corretto e di acquisire spontaneamente il necessario rigore nel ragionamento matematico (i ragazzi si impegnano molto di più nel tentativo di farsi comprendere dai loro compagni rispetto a quanto succeda verso gli insegnanti). I NDICE

23 documentazione A titolo esemplificativo della metodologia proposta è possibile a questo punto visionare una simulazione della conduzione di tre giochi testati in classe con i ragazzi. LA BANCARELLA DI MIRELLA GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALLOPERA I NDICE

24 FASE DI FASE DI ESTENSIONE FASE DI FASE DI CONTROLLO FASE DI FASE DI ATTACCO FASE INIZIALE LA BANCARELLA DI MIRELLA A Mirella piace molto allestire ogni giorno in modo diverso la sua bancarella del mercato. In questo periodo espone in bella mostra tre coppie abbinate formate da una sciarpa e da una berretta, rispettivamente di colore verde, rosso e giallo. Se nessuna coppia può essere divisa, in quanti modi diversi gli indumenti possono essere allineati sulla bancarella di Mirella?

25 Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? Cosa si intende per coppia abbinata? Sciarpa e berretta devono essere dello stesso colore?

26 Cosa significa che nessuna coppia può essere divisa? QUESTI DUE CHIARIMENTI SONO STATI RICHIESTI NELLA FASE SUCCESSIVA DI ATTACCO DEL GIOCO. Ma gli indumenti possono essere disposti come si vuole o devono essere per forza allineati?

27 Avete mai incontrato problemi simili? No, non ci sembra…

28 Le coppie abbinate di berretta e sciarpa sono 3. Nessuna coppia può essere divisa. Quali sono i dati? POCHI RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO DEL GIOCO.

29 Dobbiamo trovare le combinazioni possibili dei sei indumenti a disposizione. Cioè… i modi possibili… gli allineamenti… Qual è la richiesta? LUSO DEI TERMINI RELATIVO AL CALCOLO COMBINATORIO È MOLTO IMPRECISO E DIFFICOLTOSO.

30 È FREQUENTE NEI RAGAZZI LA PERCEZIONE CHE IN QUALCHE MODO IL CALCOLO COMBINATORIO ABBIA A CHE FARE CON IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ … E se usassimo il calcolo delle probabilità? Sicuramente la moltiplicazione. Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco?

31 La prof ha detto di valutare se ci possono essere utili degli strumenti… Beh, prendiamo degli oggetti e riproduciamo la situazione!

32 Ok, io allora uso dei grafi ad albero o magari delle tabelle… Come procediamo? Proviamo a scrivere tutti gli allineamenti possibili. Io tento con le lettere R, V e B! LAPPROCCIO E STATO LO STESSO PER TUTTI. SONO STATI PREMIATI GLI SFORZI DI CHI HA LAVORATO CON ORDINE E METODO.

33 Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato?

34 I colori R, G, V possono essere combinati in 6 modi diversi: R G VR V GG R V G V RV R GV G R. Ciascuno di queste combinazioni di colori da luogo però a 8 diversi allineamenti se si considerano le diverse posizioni di sciarpe (indicate con le maiuscole) e berrette (indicate con le minuscole): R r G g V vR r G g v VR r g G V vR r g G v V r R G g V vr R G g v Vr R g G V vr R g G v V In totale quindi si avranno 6 8 = 48 allineamenti. SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, LOPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE. SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, LOPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE.

35 Ma noi abbiamo risposto 6!

36 LERRORE È STATO QUELLO DI CONSIDERARE LE COPPIE ABBINATE COME UN UNICO OGGETTO: NON È STATO CONSIDERATO IL FATTO CHE BERRETTA E SCIARPA POSSONO ESSERE INVERTITE DI POSTO SENZA CHE LA COPPIA SIA SPOSTATA.

37 E noi cosa abbiamo sbagliato?!? Abbiamo risposto 36…

38 IL RAGIONAMENTO DI FONDO E ESATTO, MA È STATO SVOLTO UN ERRORE NEL CALCOLO.

39 Avete capito gli errori avete fatto? Cè ancora qualche problema insuperabile? Noi non avevamo compreso bene il significato di COPPIA ABBINATA : è per questo che abbiamo sbagliato!

40 E se le coppie fossero state 2? Quanti allineamenti possibili avremmo avuto? Io li ho scritti tutti: sono 8! Brava! E se le coppie fossero state 4? Hmm… è più difficile, ma se abbiamo capito bene il ragionamento… 24 combinazioni di 4 colori e per ciascuna di esse 16 diverse disposizioni… per un totale di 384 possibilità! PER ARRIVARE A QUESTA RISPOSTA LINSEGNANTE HA DOVUTO INTERVENIRE PESANTEMENTE PER FAR OSSERVARE LE REGOLARITÀ TRA I NUMERI PRECEDENTI.

41 Adesso proviamo a trovare una regola, una formula che generalizzi il discorso nel caso di n coppie… LA QUASI TOTALITA DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE. DUE ALUNNI, PERO, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI… LA QUASI TOTALITA DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE. DUE ALUNNI, PERO, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI… Vediamo… una formula potrebbe essere questa: 2 n · n · (n – 1) · … · 2 · 1! Bene! Usando uno strumento che non conoscete (il fattoriale) si può scrivere: 2 n · n !

42 Altre ipotesi? Se osserviamo bene cè una certa regolarità tra il caso di n coppie e n + 1 coppie… LA MANCANZA DI TEMPO NON PERMETTE LA RIELABORAZIONE, DI QUESTA IPOTESI, MA DIFFICILMENTE I RAGAZZI AVREBBERO COMPRESO IL SIGNIFICATO DI UNA FORMULA RICORSIVA.

43 Provate ora ad inventare un nuovo gioco simile a questo. No, no, no! Attento: così stai sbagliando… Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci. In quanti modi possibili può disporli? È vero! Riformulo il testo: Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci: due grossi, due medi e due piccoli. In quanti modi possibili può disporli senza mai dividere i pesci della stessa taglia?

44 Non cè stato il tempo di riflettere su una variante interessante del gioco e cioè il caso in cui al posto di una coppia abbinata di berretta e sciarpa ci sia un paio di guanti. In questo caso i ragazzi sarebbero stati obbligati a considerare la disposizione di indumenti non invertibile (il guanto destro a destra, il guanto sinistro a sinistra): cosa sarebbe cambiato nel calcolo? I NDICE Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi, anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi: Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula! Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non ha capito nulla! Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui non conosceva la formula che abbiamo scoperto! Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi, anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi: Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula! Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non ha capito nulla! Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui non conosceva la formula che abbiamo scoperto!

45 FASE DI FASE DI ESTENSIONE FASE DI FASE DI CONTROLLO FASE DI FASE DI ATTACCO FASE INIZIALE GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO A Emi è stato regalato un caleidoscopio a sezione quadrata. Limmagine che sta guardando in questo momento è quella riportata a destra … Emi, in particolare, è incuriosita dal quadratino centrale, del quale vorrebbe riuscire a calcolarne larea. Fosse facile! Riesce solo a misurare il lato del quadrato più esterno che è di 4 cm. La nostra Emi pensa di essere imbattibile in matematica, ma forse ancora non vi conosce. Riuscite anche voi a trovare larea del quadratino?

46 Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? Cosa si intende per QUADRATO PIÙ ESTERNO ? È PIÙ UNA RICHIESTA DI CONFERMA CHE UNA VERA E PROPRIA DOMANDA.

47 Avete mai incontrato problemi simili? Sembra un po qualche problema del libro di geometria, ma… no, direi di no!

48 La misura del lato del quadrato più grande è 4 cm. Quali sono i dati? TUTTI I RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO FONDAMENTALE.

49 Certo che se non abbiamo la figura o almeno la sua costruzione come si fa?!? QUASI NESSUNO SI RENDE CONTO DELLIMPORTANZA DI QUESTI DUE DATI, SENZA I QUALI NON SI POTREBBE RISOVERE IL GIOCO. Dobbiamo contare il numero di quadrati costruiti a partire da quello più esterno…

50 Calcolare larea del quadratino più interno. Qual è la richiesta? LA RICHIESTA E CHIARA PER TUTTI.

51 Serve la formula per calcolare larea di un quadrato. Ma anche il teorema di Pitagora… Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? Forse basta solo la formula per calcolare la diagonale del quadrato dato il lato…

52 Ci possono essere utili degli strumenti? A parte penna, carta e righello nessuno in particolare.

53 Come procediamo? La cosa più semplice mi sembra costruire il quadrato e misurare… ma dobbiamo proprio essere precisi! LE STRATEGIE ADOTTATE SONO STATE MOLTEPLICI. Potremmo individuare la relazione tra larea di un quadrato e quella del suo successivo per confronto di aree...

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55 Ma la relazione tra larea di un quadrato e il suo successivo si può individuare anche come differenza tra larea del quadrato e larea dei quattro triangoli rettangoli.

56 E se considerassimo un quarto della figura e ragionassimo solo sui quadrati e sui triangoli rettangoli?

57 Calcoliamo la misura del lato del quadrato successivo attraverso il teorema di Pitagora! IN QUESTI CASI IL VALORE OTTENUTO È COMUNQUE UNAPPROSSIMAZIONE. Oppure attraverso la formula della diagonale di un quadrato…

58 E se individuassimo la relazione tra il lato del quadratino e la diagonale del quadrato esterno?

59 Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? IN QUESTO GIOCO I PORTAVOCE DEI VARI GRUPPI SI SONO ESPRESSI CON PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E CHIAREZZA. LARGOMENTO IN EFFETTI RISULTA ABBASTANZA FAMILIARE. IN QUESTO GIOCO I PORTAVOCE DEI VARI GRUPPI SI SONO ESPRESSI CON PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E CHIAREZZA. LARGOMENTO IN EFFETTI RISULTA ABBASTANZA FAMILIARE.

60 LA SOLUZIONE CORRETTA E STATA DATA DALLA META DEI RAGAZZI. UN QUARTO DI LORO HA DATO UNA SOLUZIONE APPROSSIMATA PER VIA DELLA STRATEGIA DI CALCOLO O DI MISURA UTILIZZATA. LULTIMO QUARTO NON FORNITO SOLUZIONE NEI TEMPI ASSEGNATI. LA SOLUZIONE CORRETTA E STATA DATA DALLA META DEI RAGAZZI. UN QUARTO DI LORO HA DATO UNA SOLUZIONE APPROSSIMATA PER VIA DELLA STRATEGIA DI CALCOLO O DI MISURA UTILIZZATA. LULTIMO QUARTO NON FORNITO SOLUZIONE NEI TEMPI ASSEGNATI. A noi larea risulta di 0,5 cm 2 ! Ecco come abbiamo fatto…

61 Aspetti che guardo: labbiamo già calcolato! A DOMANDE DI QUESTO TIPO I RAGAZZI RISPONDONO CON FACILITÀ PERCHÉ IL CALCOLO DELLE AREE DEI QUADRATINI INTERMEDI FA PARTE DEL PERCORSO RISOLUTIVO ADOTTATO. E se i quadrati inscritti fossero stati solo 3 che area avrebbe avuto il quadratino interno? Ma… se fossero stati 10?

62 Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità? Visto che ad ogni passaggio larea del quadrato si dimezza possiamo scrivere…

63 E se il caleidoscopio avesse avuto sezione triangolare cosa sarebbe cambiato? Hmm… ogni triangolo viene diviso in quattro triangoli equivalenti attraverso la costruzione utilizzata. Pertanto…

64 I NDICE Un ragazzo arriva ad una formula valida per tutti i poligoni regolari attraverso luso di un software di disegno tecnico che calcola direttamente le aree delle figure attraverso la loro costruzione (xè una costante per ogni poligono regolare).

65 FASE DI FASE DI ESTENSIONE FASE DI FASE DI CONTROLLO FASE DI FASE DI ATTACCO FASE INIZIALE FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALLOPERA Si racconta che il maestro di Friedrick Gauss un giorno fosse particolarmente indaffarato e avesse bisogno di un attimo di tregua dai suoi rumorosi alunni. Assegnò loro quindi un compito che lui riteneva li avrebbe tenuti occupati per un bel po: trovare la somma dei primi 100 numeri naturali. Ebbene, il piccolo Friedrick dopo dieci minuti aveva risolto correttamente il problema e trovato una formula che lo risolvesse per ogni altro numero! Sapreste fare la stessa cosa con i primi 20 numeri? E con i primi 50? La storia ci racconta un aneddoto divertente relativo ad un grande matematico, che già in tenera età dimostrava le sue spiccate attitudini per la matematica.

66 Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? Cosa vuol dire trovare la somma dei primi 100 numeri? Dobbiamo trovare tutti i numeri che sommati danno 100?

67 Io invece conosco un gioco simile! Ce lha proposto la prof lanno scorso… Avete mai incontrato problemi simili? QUASI NESSUNO CONOSCE QUESTO GIOCO; AD ALCUNI ERA GIÀ STATO PROPOSTO E VOLUTAMENTE LABBIAMO RIPRESENTATO PER APPURARE SE LA PROCEDURA RISOLUTIVA È STATA ACQUISITA. Io no!

68 I primi 20 numeri… i primi 50 numeri… Quali sono i dati? SOLO POCHI RAGAZZI SI SONO RESI CONTO DEL FATTO CHE QUESTO DATO È INUTILE. Anche i primi 100 numeri ?!?

69 Qual è la richiesta? LA RICHIESTA E CHIARA PER QUASI TUTTI; GLI STESSI RAGAZZI CHE HANNO INSERITO 100 TRA I DATI HANNO INDIVIDUATO COME RICHIESTA LA SOMMA DEI PRIMI 100 NUMERI. Trovare la somma dei primi 20 e 50 numeri.

70 Bisogna conoscere le operazioni aritmetiche di base. Bisogna sapere quali sono i numeri naturali. Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? È un gioco in cui la logica è molto importante. MENO MALE! CI SAREMMO PREOCCUPATI SE TUTTI AVESSERO INCOMINCIATO A ESEGUIRE LE SOMME SENZA RAGIONARE!

71 Ci possono essere utili degli strumenti? E se prendessimo una calcolatrice?!? QUALCUNO CI PROVA SEMPRE, MA DIFENDIAMO LA SCELTA DI NON PERMETTERE LUSO DELLA CALCOLATRICE DURANTE I GIOCHI, RITENENDO MOLTO IMPORTANTE ANCHE IL FAR DI CONTO.

72 Come procediamo? La cosa più semplice è scrivere tutti i numeri e poi sommarli. LE IMMAGINI SUCCESSIVE ILLUSTRANO LE NUMEROSE SCOPERTE DEI RAGAZZI. Ma no, dai, cerchiamo di capire se cè un modo per semplificare i conti…

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76 Ma non avevamo scoperto una formula per risolvere giochi come questo? I RAGAZZI CHE AVEVANO GIA INCONTRATO QUESTO GIOCO HANNO CERCATO DI RICOSTRUIRE LA FORMULA RISOLVENTE (la formula di Gauss), VERIFICANDOLA POI SU NUMERI PICCOLI. E chi se la ricorda!?! Però forse riusciamo a ricostruire il procedimento per ricavarla…

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78 La somma dei primi cinquanta numeri è 1275, mentre quella dei primi venti è 210. La somma dei primi cento numeri è Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato?

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80 E lei ci dice che queste formule sono equivalenti?!? QUASI TUTTI I GRUPPI HANNO RICAVATO UNA REGOLA, FORMALIZZATA IN MODO CORRETTO. NON TUTTI I RAGAZZI HANNO PERO PADRONANZA DEL CALCOLO LETTERALE E QUINDI E STATO DIFFICOLTOSO CONVINCERLI DELLEQUIVALENZA FRA LE VARIE FORMULE. QUASI TUTTI I GRUPPI HANNO RICAVATO UNA REGOLA, FORMALIZZATA IN MODO CORRETTO. NON TUTTI I RAGAZZI HANNO PERO PADRONANZA DEL CALCOLO LETTERALE E QUINDI E STATO DIFFICOLTOSO CONVINCERLI DELLEQUIVALENZA FRA LE VARIE FORMULE. Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità?

81 Funziona anche per sommare i primi 99 numeri? Cosa cambia? Non cambia nulla perché se n è pari nella formula si semplifica n con il 2, mentre se n è dispari si semplifica n + 1 con il 2. NON È QUESTO IL PUNTO! I RAGAZZI DOVEVANO RIFLETTERE SUL PROCEDIMENTO CHE LI HA PORTATI ALLA FORMULA E CHIEDERSI SE VALE LO STESSO RAGIONAMENTO.

82 Vediamo se cambia qualcosa. La somma del primo numero con lultimo, del secondo con il penultimo e così via è sempre n + 1; il numero di coppie di questo tipo sono però (n - 1) : 2 e bisogna sommare il numero centrale, cioè (n + 1) : 2. La somma vale quindi... I NDICE I RAGAZZI, RIFACENDO GLI STESSI RAGIONAMENTI FATTI DURANTE LA RISOLUZIONE DEL GIOCO, RIESCONO AD ARRIVARE ALLA FORMULA A LATO; DA PARTE DEL DOCENTE LA CONFERMA FINALE DELLEQUIVALENZA CON LA FORMULA DI GAUSS NELLA SUA ESPRESSIONE PIU CONOSCIUTA.

83 materiali ARITMETICI ARITMETICI GEOMETRICI GEOMETRICI PROBABILISTICI PROBABILISTICI È possibile scaricare le schede in formato Word per poter svolgere in classe lesperienza dei giochi matematici. Per ogni gioco sono disponibili due schede : - la SCHEDA RISPOSTE per gli alunni su cui i ragazzi possono verbalizzare tutto il processo cognitivo che hanno affrontato; - la SCHEDA DI OSSERVAZIONE per i docenti in cui linsegnante può documentare le osservazioni sullo svolgimento del gioco. I NDICE

84 LA BANCARELLA DI MIRELLA LA BANCARELLA DI MIRELLA GIOCHI ARITMETICI Friedrick, piccolo genio all opera Friedrick, piccolo genio all opera La SUPERNONNA La SUPERNONNA ALUNNI PROF ALUNNI PROF ALUNNI PROF

85 GIOCHI geomeTrICI I pentamini di Mauro I pentamini di Mauro Guardando nel caleidoscopio Guardando nel caleidoscopio Puzzle: che passione! Puzzle: che passione! ALUNNI PROF ALUNNI PROF ALUNNI PROF

86 GIOCHI probabilistICI Scommettiamo? Scommettiamo? Black out Black out Che combinazione! Che combinazione! ALUNNI PROF ALUNNI PROF ALUNNI PROF

87 bibliografia SUL GIOCO MATEMATICO oGare di giochi matematici per elementari proposte dal Gruppo di Ricerca sullUso del gioco nella didattica della matematica oGiochi di allenamento e Gare per scuole medie della Bocconi owww.matematicamente.it oNando Geronimi, Papà scommettiamo che… oFederico Peieretti, I piaceri della matematica oMichel Criton, Lex jeux mathèmatiques I NDICE

88 SULLA DIDATTICA METACOGNITIVA oWatzlawick, Weakland e Fisch, Per un approccio al problem solving nel campo relazionale umano oClaudia Valentini, Didattica Metacognitiva - Pavone Risorse SUL SeT e SULLA RIFORMA SCOLASTICA owww.setlecco.it owww.istruzione.it I NDICE USCITA

89 Per informazioni: SIMONA LANFRANCHI Scuola Media l. r. paritaria Caterina Cittadini di Calolziocorte (LC) I NDICE


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