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Aprile 1984 A San Leonardo al Palco (Prato) Il nostro primo Convegno.

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Presentazione sul tema: "Aprile 1984 A San Leonardo al Palco (Prato) Il nostro primo Convegno."— Transcript della presentazione:

1 Aprile 1984 A San Leonardo al Palco (Prato) Il nostro primo Convegno

2 27° CONVEGNO SULLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA VIAREGGIO 9–10 Settembre 2010

3 Congetturare in un ambiente di geometria dinamica Maria Alessandra Mariotti Dipartimento di Scienze Matematiche ed Informatiche Università di Siena

4 Di cosa parleremo Complessità del comando di trascinamento in un AGD Trascinamento e congetture: analisi del processo di esplorazione Esempi dalla classe Discussione sulle implicazioni didattiche

5 Introduzione Immagini in Matematica e in particolare in Geometria: oggetti matematici e rappresentazoni Il movimento in Geometria Scriveva F: Monge (1792) nelle Leçons données à lEcole Normale de lan III: Il faut que lélève se mette en état, dune part de pouvoir écrire tous les mouvements quil peut concevoir dans lespace, et de lautre, de se représenter perpétuellement dans lespace le spectacle mouvant dont chacune des opérations analytiques est lécriture.

6 Introduzione "... the changes in the solving process brought by the dynamic possibilities of Cabri come from an active and reasoning visualisation, from what we call an interactive process between inductive and deductive reasoning " (Laborde & Laborde, 1991 p. 185)

7 Ambienti di Geometria Dinamica (AGD) Cosa è davvero cambiato ? Riflettiamo su un esempio molto semplice Costruire una retta r passante per due punti, A e B, e una retta s ad essa perpendicolare, passante per un punto P. Chiamare H il punto dintersezione tra r e s.

8 Trascinamento e Invarianti Il movimento di una figura è percepito nel contrasto tra cosa varia e cosa resta invariato Invariante per trascinamento Una costruzione provoca il fenomeno di Mantenere le proprietà di costruzione Mantenere tutte le conseguenze delle proprietà di costruzione, Simultaneità degli invarianti Invarianti di costruzione Invarianti derivati dalla costruzione Relazione di implicazione tra proprietà Complessità di mantenere il controllo concettuale

9 Trascinamento e Invarianti Una distinzione chiave Movimento diretto Movimento indiretto può essere complesso cogliere la differenza tra Punto base Punto dipendente

10 Movimento & Invarianti Una prima analisi delle difficoltà porta a distinguere due situazioni: Uso del trascinamento per testare se la costruzione effettuata è corretta, ovvero se la costruzione corrisponde allo scopo che si era prefissa. Uso del trascinamento al fine di produrre una congettura, ovvero data una certa configurazione formulare un enunciato che esprima la dipendenza logica tra proprietà riconoscibili per trascinamento in tale configurazione. Globale Analitico

11 Invarianti per trascinamento Invarianti di costruzione Invarianti derivati Ma anche Invarianti imposti tramite un movimento guidato.

12 Problemi aperti di congettura Una consegna che pone una domanda senza rivelare o suggerire una risposta attesa, che richieda esplicitamente una congettura e la sua prova … Problema aperto di Congettura

13 Trascinamento e Congetture La produzione di una congettura si basa sulla interpretazione di invarianti e relazioni tra invarianti … lefficacia di una esplorazione è legata alla capacità di trasformare: Dati percettivi in una relazione condizionale tra proprietà geometriche

14 Trascinamento e Congetture Il processo di produzione di una congettura richiede la cristallizzazione di un processo dinamico di esplorazione in una proposizione condizionale. Devono emergere due componenti di un enunciato condizionale

15 Trascinamento e Congetture Almeno due livelli di complessità Emergenza di proprietà invarianti come diretta conseguenza della costruzione Ricerca di sotto-configurazioni nelle quali si evidenzia un legame condizionale tra proprietà.

16 Problemi di congettura Consideriamo due esempi

17 Congetture in un ADG Sia dato un quadrilatero ABCD e siano E, F, G e H rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA. Cosa posso dire del quadrilatero EFGH?

18 Congetture in un AGD Dato un quadrilatero costruire i punti medi delle diagonali, M e N. Sono possibili varie domande … Portare M ed N a concidere, cosa posso dire del quadrilatero? Sotto quali condizioni M coincide con N?

19 Congetture in un AGD Dato un quadrilatero costruire gli assi dei suoi lati, siano MNRQ i punti di intersezione. Sono possibili varie domande … Portare M, N, R e Q a concidere, cosa posso dire del quadrilatero? Sotto quali condizioni M, N, R,Q coincidono?

20 Congetture in un AGD A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi di congettura: Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione con uno o più invarianti derivati Relativo: linvarianza di un particolare proprietà è messa in relazione con un particolare movimento … ovvero sotto quale condizione una certa configurazione assume una particolare proprietà?

21 Congetture in un AGD A seconda degli invarianti messi in relazione due tipi Assoluto: gli invarianti costruiti sono messi in relazione con uno o più invarianti derivati Relativo: linvarianza di un particolare proprietà è messa in relazione con un particolare movimento … ovvero sotto quale condizione una certa configurazione assume una particolare proprietà? Costruzioni Robuste Costruzioni Molli

22 Congetture in un AGD esplorare una costruzione robusta Porta a scoprire conseguenze di unipotesi o definizione costruita in modo robusto. Per esempio: dato un quadrilatero cosa si può dire del quadrilatero che ha come vertici i suoi punti medi? esplorare una costruzione molle: Porta a scoprire ipotesi o condizioni sotto cui si verificano determinate conseguenze. Per esempio: dato un quadrilatero costruire i punti medi delle diagonali, M e N. Sotto quali condizioni M coincide con N?

23 Modalità di Trascinamento Studi sul trascinamento (Arzarello, Olivero, Robutti, Paola,…) Modalità osservate nella soluzione di problemi, in particolare di aperti di congettura …

24 Modalità di Trascinamento Wandering dragging Wandering dragging, moving the basic points on the screen randomly, without any plan, in order to discover regularities in the figures; Guided dragging Guided dragging, dragging the basic points of a figure in order to maintain a particular property; Lieu muet dragging Lieu muet dragging, moving a basic point so that the figure keeps a property following a 'hidden' path ( lieu muet ),; Lieu parlante dragging Lieu parlante dragging, moving a basic point activating the trace so that the figure keeps a discovered property following a 'hidden' path, even without being aware of this; Olivero 2002

25 Modalità di Trascinamento WanderingDragging di un punto Identificare regolarità Evidenziare oggetti dipendenti Lieu muetDragging di un punto Mantenere regolarità Evidenziare relazioni tra proprietà Lieu parlanteDragging di un punto + Traccia Mantenere regolarità (Ogget. dipendenti) Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.)

26 Modalità di Trascinamento WanderingDragging di un punto Identificare regolarità Evidenziare oggetti dipendenti Lieu muetDragging di un punto Mantenere regolarità Evidenziare relazioni … Lieu parlanteDragging di un punto + Traccia Mantenere regolarità (Ogget. dipendenti) Interpretare la Traccia (Ogget. Indipend.) In cerca della Tesi Si fissa la Tesi Si cerca le Ipotesi Si evidenzia le Ipotesi Si fissa la Tesi

27 Un progetto di ricerca (in corso) Obiettivo: Individuare il ruolo degli schemi di trascinamento nella produzione di congetture e nella costruzione della dimostrazione … Metodologia Introduzione degli allievi alluso di particolari schemi di trascinamento Analisi di soluzioni di problemi aperti di congettura, Trascinamento di mantenimento Trascinamento di mantenimento

28 Trascinamento di mantenimento Il trascinamento di mantenimento è definito: Trascinare un punto base in modo che la figura di cabri mantenga un certa propriet (con traccia) Attivare la traccia durante il trascinamento di mantenimento.

29 Una possibile sequenza Si nota una proprietà della figura di Cabri (Trasc. Libero ) Si sceglie la proprietà come proprietà da mantenere Si trascina in modo da mantenere la proprietà (Trasc. Mantenimento) Si usa la traccia --> appare un « luogo » Si individua il luogo come oggetto geometrico Si formula una congettura Si formula un enunciato geometrico

30 Modello Proposizione A (invarianza osservata): una certa proprietà geometrica è mantenuta. Proposizione B (regola): quando un certo punto X della costruzione è trascinato (si muove) su un certo lungo, la proposizione A è vera. Possibile Congettura derivata: se X si muove sul luogo allora A è vera. Come si trasforma tutto questo in un enunciato?

31 Esempio Consegna: disegnare tre punti A, M, K costruire il punto B come simmetrico di A rispetto a M e C come simmetrico di A rispetto a K. Costruire la retta l paralla a BC per A e la retta perpendicolare a l per C, sia D il punto di itersezione tra queste rette. Al variare dei punti A,M,K fare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare

32 Siano A, M, K tre punti base, costruire B come il simmetrico di A rispetto a M, e C come il simmetrico di A rispetto a K. Costruire inoltre la parallela l a BC per A, e la perpendicolare r a l per C. Sia D lintersezione di l e r.

33 Al variare dei punti A, M, K, formulare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare, cercando di descrivere tutti i modi in cui è possibile ottenere un certo tipo di quadrilatero. Data la costruzione precedente... Fabio e Guido sono in seconda liceo scientifico e hanno usato Cabri durante il precedente anno scolastico. LEsplorazione di Fabio & Guido

34 Teoremi e Figure di Cabri Costruzioni molli – ricerca di condizioni

35 Teoremi e Figure di Cabri Costruzioni molli – ricerca di condizioni

36 Conclusioni Complessità del comando trascinamento e difficoltà di controlloe Necessità di una organizzazione didattica specifica: Lavorare sulla consapevolezza introduzione intenzionale di schemi duso di esplorazione Sfruttare il potenziale semiotico del trascinamento rispetto al significato toorico di una congetura.

37 Problemi didattici Come affrontre la complessità del controllo concettuale del trascinamento? Come guidare laapropriazione dello strumento di trascinamento per risolvere problemi aperti di congettura? Come sfruttare la ricchezza di significati matematici offerti dalluso del trascinamento in problemi aperti di congettura?

38 grazie


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