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PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE.

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Presentazione sul tema: "PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE."— Transcript della presentazione:

1 PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI LIMITI DI UNA FUNZIONE

2 2/12 PRIMI CONCETTI Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare landamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non necessariamente appartenenti ad esso.

3 3/12 ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 1 Assegnando alla x i valori 1, 2, 3, 4, 5, … osserviamo che i corrispondenti valori della funzione tendono al numero 1 senza mai oltrepassarlo Osservazione 1 Possiamo dire intuitivamente che la funzione, per valori della x 1, ha un LIMITE che non può oltrepassare x f(x)0 0,5 0,66 0,

4 4/ ,5 16, f(x) 1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01...x ESEMPIO 2 Assegnando alla x valori prossimi a 1, la funzione tende ad assumere valori sempre più grandi Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione

5 5/12 ESEMPI INTRODUTTIVI ESEMPIO 3 Osservazione 3 Comunque si scelga il numero positivo ε, lintorno di 4 ( 4 – ε, 4 +ε) determina sempre un intorno H del punto c=2 x... 1,8 1,9 2 2,1 2,2... f(x)... 3,24 3, ,84... Assegnando alla x valori prossimi a c=2, la funzione tende ad assumere valori prossimi a ε 4- ε ε ε 2 Un intorno H del punto 2 Cosa abbiamo ottenuto? Possiamo affermare che:

6 6/12 COSA VUOL DIRE (in generale) LA SCRITTURA :COSA VUOL DIRE (in generale) LA SCRITTURA : ? Vuol dire che, comunque fisso un intorno di l, esiste in corrispondenza ad esso un intorno H di c, tale che, comunque scelgo x in H (con x c), f(x) appartiene a Vuol dire che, comunque fisso un intorno di l, esiste in corrispondenza ad esso un intorno H di c, tale che, comunque scelgo x in H (con x c), f(x) appartiene a ( l ) ( In sostanza se ci muoviamo in un intorno di c, f(x) si muove in un intorno di l ) Perché esistono tante definizioni di limite?Perché esistono tante definizioni di limite? c ed l, nella definizione generica non vengono specificati ma nella pratica, possono essere valori finiti o infiniti. Specificando i loro valori si ottengono 4 possibilità

7 7/12 1)limite finito in un punto : 2)limite infinito in un punto : 3)limite finito in un punto allinfinito : 4)limite infinito in un punto allinfinito : Questo spiega le diverse definizioni: dovendo parlare di INTORNI di punti al finito o allinfinito, è diversa la simbologia, e di conseguenza la terminologia, per indicarli.

8 8/12 DEFINIZIONI Definizione 1 (limite finito in un punto) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il numero l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l |< ε |f(x)- l |< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l l +εl +ε l -εl -ε c f(x) x H si legge: limite per x che tende a c di f(x) Notazione

9 9/12 Definizione 2 (limite infinito in un punto) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE linfinto, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo E, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x) | > E |f(x) | > E cioè le disequazioni: f(x) E f(x) E In particolare, se vale: f(x) > E allora f(x) < -E allora c E x H f(x) -E

10 10/12 Definizione 3 (limite finito in un punto allinfinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente allinfinito, ha per LIMITE l, e si scrive Se la dis. è verificata da: x > K allora x < -K allora l x K f(x) l +εl +ε quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile determinare un numero K>0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\> K ( ovvero x K ) \x\> K ( ovvero x K ) risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l | < ε |f(x)- l | < ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l – ε < f(x) < l + ε l -εl -ε -K

11 11/12 Definizione 4 (limite infinito in un punto allinfinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente a, ha per LIMITE linfinto, e si scrive quando, comunque si scelga E > 0, si può determinare K > 0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>K \x\>K risulti soddisfatta la disequazione: risulti soddisfatta la disequazione: |f(x) | > E |f(x) | > E cioè le disequazioni: f(x) E f(x) E E x K f(x) -E -K

12 12/12 Definizione 4 (limite infinito in un punto allinfinito) Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i seguenti casi particolari: f(x) < -Ex < -K f(x) > Ex < - K f(x) < - Ex > K f(x) > Ex > K graficoallorarisultase per ogni


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