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MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA DEFINIZIONE Punto stazionario Dati una funzione derivabile y = f (x) e un suo punto x = c, se f ' (c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario. TEOREMA Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[, se f (x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x 0, interno ad [a; b], la derivata della funzione in quel punto si annulla, cioè: f ' (x 0 ) = 0.

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio Viceversa, massimi e minimi negli estremi a e b possono avere derivata non nulla. 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimi e minimi interni ad [a; b] hanno derivata nulla. Massimi e minimi hanno derivata nulla. Viceversa, la derivata nulla non assicura la presenza di massimi o minimi. f ' (0) = 0, ma in x = 0 non ci sono massimi né minimi.

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimi e minimi hanno derivata nulla, se f è derivabile in ]a; b[. Controesempi Viceversa, se f non è derivabile ovunque, massimi e minimi possono avere derivata non nulla.

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio TEOREMA La funzione y = f (x) sia definita e continua in un intorno completo I x 0 del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno per ogni. MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Se per ogni x dellintorno si ha: f ' (x) < 0 quando x < x 0, 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA Se per ogni x dellintorno si ha: f ' (x) > 0 quando x < x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo. f ' (x) x 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo. f ' (x) > 0 quando x > x 0, Se il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dellintorno, allora x 0 non è un punto estremante.

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Determiniamo massimi e minimi della funzione y = f(x) = x 3 – 3x. x 2 – 1 > 0x 1. La derivata èf ' (x) = 3x 2 – 3. Studiamone il segno: 3x 2 – 3 > 0 f è continua in R.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio La derivata è e non è definita per x = –1, x = 1. 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione y = |x 2 –1|, Segno di y' : cioè. f è continua in R.

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione. Segno di y' : y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0. f è continua in R. La derivata èse, e non è definita per x = 0.

9 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0. y' > 0 se x < 1, y' > 0 se x > 1. ESEMPIO y' > 0 se x < 0, y' 0. Ma 0 non è un punto estremante.Ma f ha un massimo in x = 1. Ma 1 è un punto di minimo.

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio TEOREMA Data la funzione y = f (x) definita e continua in un intorno completo I x 0 del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno, il segno della derivata prima è lo stesso per ognidellintorno I x I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA x 0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni: f ' (x 0 ) = 0; Casi possibili Funzione crescente in Funzione decrescente in

11 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 4.RIEPILOGO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimo relativo Mimimo relativo Flesso orizzontale discendente Flesso orizzontale ascendente

12 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 5.ESERCIZI


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