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1. INTRODUZIONE:EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 2. EQUAZIONI PURE E SPURIE 3. EQUAZIONI COMPLETE * * FORMULA RIDOTTA 4. RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UNEQUAZIONE.

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1 1. INTRODUZIONE:EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 2. EQUAZIONI PURE E SPURIE 3. EQUAZIONI COMPLETE * * FORMULA RIDOTTA 4. RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO (SOMMA E PRODOTTO) 5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO 6. APPROFONDIMENTI 1

2 1. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO OGNI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO,RIDOTTA IN FORMA NORMALE (PORTANDO TUTTO DALLA STESSA PARTE), SI PUÓ SCRIVERE NELLA FORMA: ax +bx+c=0 con a0 e a, b, c R Se nellequazione sono presenti tutti e tre i termini, essa si chiama completa. (b0 e c0) Se nellequazione manca il termine di primo grado, lequazione è incompleta e si dice pura. (b=0 e c0) Se nell equazione manca il termine noto, lequazione è incompleta e si dice spuria. (b0 e c=0) RISOLVERE UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO VUOL DIRE TROVARE LE SOLUZIONI, CIOÈ I VALORI CHE, SOSTITUITI ALLINCOGNITA, VERIFICANO LEQUAZIONE. 2

3 2. EQUAZIONI PURE E SPURIE EQUAZIONI PURE EQUAZIONI SPURIE UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE PURA SE MANCA IL TERMINE DI PRIMO GRADO, CIOÈ b=0, E PERCIÓ HA FORMA: ax +c=0 SI RISOLVE SEPARANDO IL TERMINE NOTO DALL INCOGNITA, COME NELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO: ax = -c x=± Esempio: 5x -4=0 5x =4 x 2 =4/5 x=± UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE SPURIA QUANDO MANCA IL TERMINE NOTO, CIOÈ c=0 E b 0. HA PERCIÓ FORMA: ax +bx=0 SI RISOLVE RACCOGLIENDO LA x E APPLIACANDO LA LEGGE DELLANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. x(ax+b)=0 x =0 x = - Esempio: 3x 2 -4X=0 x * (3x-4)=0 X 1 =0 x = 3

4 3. EQUAZIONI COMPLETE LA FORMA NORMALE DI UNEQUAZIONE COMPLETA DI SECONDO GRADO è: ax +bx+c=0 LE SOLUZIONE SI OTTENGONO CON LA FORMULA RISOLUTIVA *: x, = LESPRESSIONE SOTTO RADICE SI CHIAMA DISCRIMINANTE DELLEQUAZIONE E SI INDICA CON (DELTA). LE SOLUZIONI DI UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO, DIPENDONO DAL VALORE DEL DISCRIMINANTE (DELTA), IN PARTICOLARE IL SEGNO DEL DELTA CI INFORMA SE LE SOLUZIONI SONO REALI O COMPLESSE,DISTINTE O COINCIDENTI. SE: >0 LEQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE. <0 LEQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI perché NON ESISTE IN R LA RADICE PARI DI UN NUMERO NEGATIVO. =0 LEQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI (SOLUZIONE DOPPIA). 4

5 * FORMULA RIDOTTA 5

6 4.RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO SE x e x SONO LE SOLUZIONI DELLEQUAZIONE: ax +bx+c=0, SI PUÓ DIMOSTRARE CHE LA SOMMA E IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI SONO LEGATE AI COEFFICIENTI DI a, b, c DELLEQUAZIONE DALLE SEGUENTI RELAZIONI: x +x =- x * x = QUESTE RELAZIONI PERMETTONO DI RISALIRE ALLEQUAZIONE CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI, E DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO. 6

7 SCRIVERE UNEQUAZIONE DI SECONDO GRADO, CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI. x +x =S x * x =P LEQ. CHE HA x e x COME SOLUZIONI è : x –Sx+P=0 DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDONE LA SOMMA E IL PRODOTTO. CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO DI 2 NUMERI, I DUE NUMERI SI OTTENGONO RISOLVENDO LEQUAZIONE x –Sx+P=0. 7

8 5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO. PER SCOMPORRE IL TRINOMIO ax +bx+c, BASTA RISOLVERE LEQUAZIONE ax +bx+c=0. SE LE SOLUZIONI SONO DISTINTE ( >0), IL TRINOMIO SI SCOMPONE CON LA FORMULA: ax +bx+c = a(x-x )*(x-x ) SE LE SOLUZIONI DELLEQUAZIONE SONO CIONCIDENTI ( =0), LA FORMULA DIVENTA: ax +bx+c= a(x-x ) SE LEQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI, CIOÉ IL DELTA É MINORE DI 0, IL TRINOMIO NON É SCOMPONIBILE. 8

9 6. APPROFONDIMENTI DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI COMPLETE DI SECONDO GRADO. PORTIAMO A SECONDO MEMBRO IL TERMINE NOTO DIVIDIAMO TUTTI I TERMINI PER a ( 0) SCRIVIAMO IL TERMINE (b/a)x COME DOPPIO PRODOTTO DI DUE FATTORI AGGIUNGIAMO AI DUE MEMBRI IL TERMINE (b/2a ) SI OTTIENE COSì AL PRIMO MEMBRO LO SVOLGIMENTO DEL QUADRATO DI UN BINOMIO. IL TRINOMIO AL PRIMO MEMBRO è IL QUADRATO DEL BINOMIO x+(b/2 a ) QUINDI:LESPRESSIONE AL PRIMO MEMBRO è UN QUADRATO; QUINDI è SEMPRE POSITIVA O NULLA. AFFINCHE LEQUAZIONE AMMETTA SOLUZIONI REALI, ANCHE LA FRAZIONE AL SECONDO MEMBRO DEVE ESSERE POSITIVA. IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE è SEMPRE POSITIVO, QUINDI, ANCHE IL NUMERATORE DEVE ESSERE POSITIVO. (b^2-4ac 0). SE b^2-4ac 0, CI SONO DUE VALORI, UNO OPPOSTO ALLALTRO, CHE SODDISFANO LEQUAZIONE. LI OTTENIAMO ESTRAENDO LA RADICE QUADRATA. ISOLIAMO LA X RISOLVENDO LA FORMULA OTTENIAMO LE DUE SOLUZIONI. 9

10 EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE E IMPOSSIBILI, GRADO DI UNEQUAZIONE. LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE: DETERMINATE, QUANDO HANNO UNA PRECISA SOLUZIONE; INDETERMINATE, QUANDO HANNO INFINITE SOLUZIONI; IMPOSSIBILI, QUANDO NON HANNO SOLUZIONI. GRADO DELLE EQUAZIONI IL GRADO DI UNEQUAZIONE MI DA IL NUMERO MASSIMO DI SOLUZIONI REALI POSSIBILI, A PATTO CHE NON SIA INDETERMINATA LEQUAZIONE. RICORDARSI DI CAMBIARE DI SEGNO LA SOMMA DELLE SOLUZIONI PRIMA DI INSERIRLA PER SCRIVERE LEQUAZIONE DI SECONDO GRADO. 10

11 DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE LA SOMMA DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L EQUAZIONE. 11

12 DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L EQUAZIONE. 12

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