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Uno sguardo sullinfinito matematico a cura della prof. Monica Secco.

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Presentazione sul tema: "Uno sguardo sullinfinito matematico a cura della prof. Monica Secco."— Transcript della presentazione:

1 Uno sguardo sullinfinito matematico a cura della prof. Monica Secco

2 Che cosè linfinito? Quando proviamo a dare una definizione di infinito ci accorgiamo che per farlo utilizziamo la negazione del finito: linfinito è ciò che non è finito, non ha limite né confine in-finito, un-endlich, a-peiron sono tutti termini che includono in sé lidea della negazione

3 Per la sua natura, linfinito è stato fin dallantichità oggetto di studio di filosofi e teologi e solo in tempi relativamente recenti, precisamente nellOttocento e nel Novecento, ha trovato una sistemazione rigorosa in matematica.

4 Eppure fin dai tempi dellantica Grecia i matematici si erano accorti che non si poteva far a meno di imbattersi nellinfinito anche quando si trattava di questioni matematiche apparentemente molto concrete e finite, quali ad esempio quelle geometriche.

5 Immaginiamo per un attimo di trovarci nellantica Calabria e precisamente a Crotone alla scuola di Pitagora di Samo, celebre filosofo e matematico del VI secolo a.C.

6 Pitagora afferma che alla base di tutte le cose cè il numero: Linfinito viene guardato con sospetto, come qualcosa di incompiuto, non terminato e pertanto non armonioso. ogni cosa in natura è composta da numeri naturali e il rapporto tra numeri regola larmonia dellUniverso.

7 In particolare Pitagora pensa che un punto abbia unestensione finita e che un segmento sia formato da un numero finito di punti. A B

8 Quindi secondo Pitagora il rapporto tra due segmenti deve essere per forza uguale al rapporto tra i due numeri interi che indicano quanti punti sono contenuti nelluno e nellaltro segmento. A B C D Esemplificando: se AB contiene 4 punti e CD ne contiene 9 il rapporto delle loro lunghezze sarà: AB CD = 4 9 Questo si esprime dicendo che tutti i segmenti sono grandezze commensurabili, ammettono cioè un sottomultiplo comune (in questo caso il punto).

9 Accade però limprevedibile: un discepolo della scuola, tale Ippaso di Metaponto, applicando il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo isoscele, trova che la diagonale e il lato del quadrato non sono grandezze commensurabili

10 In effetti il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato non è un numero razionale: d l = 2 l d esso vale 2 che è un numero che non è esprimibile sotto forma di frazione, ma ha infinite cifre che non si ripetono periodicamente dopo la virgola.

11 Era il crollo di tutta la dottrina pitagorica: 1, ….. era stata scoperta non solo lesistenza di numeri non razionali, ma anche quella di un segmento (la diagonale del quadrato di lato unitario) la cui lunghezza era espressa da un numero che dopo la virgola era infinitamente lungo.

12 La scoperta si abbatte come una bufera sui pitagorici: Ippaso viene scacciato dalla scuola (secondo alcuni condannato a morte) e viene proibito a tutti di divulgare quella che agli occhi del maestro è considerata una eresia.

13 Ma Pitagora non fu lunico esponente dellantica Grecia a scontrarsi con il concetto di infinito. Elea Zenone Restando sempre nella Magna Grecia dopo Pitagora un altro filosofo, Zenone di Elea, nel V secolo a.C., fece al proposito delle considerazioni interessanti, che avrebbero posto interrogativi rimasti irrisolti per molti secoli.

14 Zenone, la lenta tartaruga e il piè veloce Achille

15 Zenone immaginò una gara tra il pelide Achille, notoriamente veloce, e una lentissima tartaruga. I due concorrenti devono percorrere solo un metro ed Achille allora, conscio della propria superiorità (proprio come nella storia di Esopo della lepre e della tartaruga) concede un vantaggio di mezzo metro alla tartaruga.

16 Mentre Achille percorre il mezzo metro che ha dato di vantaggio alla tartaruga, questa avrà nel frattempo percorso un altro tratto di strada; nel tempo necessario ad Achille per coprire questo piccolo tratto, la tartaruga sarà avanzata di un altro piccolo tratto e così via allinfinito, cosicchè Achille non potrà mai raggiungere lanimale.

17 Questo paradosso creava non pochi problemi. Era chiaro che Achille avrebbe potuto facilmente raggiungere la tartaruga, essendo molto più veloce di lei. Daltro canto il ragionamento di Zenone sembrava corretto: ci si trovava davanti ad una somma infinita di segmenti che leroe greco doveva percorrere. Come si poteva risolvere il problema?

18 Per sciogliere questo dilemma, bisognerà aspettare di arrivare al 1700 quando con lintroduzione in matematica del concetto di serie, cioè di somma di infiniti termini, si potrà dimostrare che la somma di infiniti termini non sempre dà un risultato infinito.

19 Molto più tardi di Zenone, nel 1600, fu un grande uomo di scienza italiano a imbattersi nei paradossi dellinfinito: Galileo Galilei ( )

20 Il più celebre paradosso sullinfinito esaminato da Galileo è quello dei quadrati perfetti: egli considera i numeri naturali (che sono infiniti) e linsieme dei loro quadrati, che ne è un sottoinsieme proprio e mette in corrispondenza ogni numero naturale con il proprio quadrato: si può facilmente verificare che la corrispondenza è biunivoca …

21 Quindi i quadrati, pur essendo una parte dellinsieme dei naturali, sono tanti quanti i numeri naturali. Euclide Questo contraddice il fatto che una parte è minore del tutto, asserzione che era stata posta da Euclide alla base dei suoi Elementi (libro I)

22 Limpossibilità di spiegare questo fatto convinse Galilei ad abbandonare il tentativo di investigare sullinfinito, come scriverà lui stesso..queste sono di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo al nostro intelletto finito intorno allinfinito, dandogli quegli attributi (maggiore, minore, uguale) che noi diamo alle cose finite e terminate, il che penso che sia inconveniente

23 Galileo quindi asserisce limpossibilità per luomo di indagare linfinito dal punto di vista matematico. Chi affronterà nuovamente la questione in modo del tutto nuovo e rivoluzionario sarà un geniale matematico tedesco del 1800: Georg Cantor

24 ovvero gli infiniti infiniti di Georg Cantor verso linfinito e oltre…

25 Nel 1872 il matematico tedesco Dedekind aveva dato la seguente definizione di insieme infinito: un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio

26 Cantor riprende questa definizione per cui per gli insiemi infiniti una parte può essere uguale al tutto =

27 Si spiegano così i paradossi sui numeri naturali che avevano crucciato anche Galilei: i numeri quadrati possono essere tanti quanti i numeri naturali, perché tra gli elementi dei due insiemi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca.

28 Consideriamo ora linsieme Z dei numeri interi: {…, -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…} sembrerebbe a prima vista più grande dellinsieme N dei naturali: {0,1,2,3,…} Cantor dimostra invece che tra gli elementi dei due insiemi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e quindi i due Insiemi contengono lo stesso numero di elementi

29 Cantor dimostra inoltre che anche tra gli elementi di N e di Q, linsieme dei razionali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca

30 I risultati a cui perviene Cantor nei suoi studi sullinfinito sono sorprendenti anche per lui stesso: quando dimostra che i punti dello spazio sono tanti quanti quelli di un segmento scelto quanto piccolo si voglia, la scoperta lo coglie talmente di sorpresa che scrive allamico Dedekind: Lo vedo, ma non ci credo!

31 Cantor si spinge oltre con unaffermazione sbalorditiva: afferma che non esiste un unico infinito, come si era fino ad allora pensato. Nel 1874 dimostra infatti che i punti di un segmento sono più dei numeri naturali e che di conseguenza i numeri reali sono di più dei numeri naturali. Cantor giunge a concludere che esistono diversi infiniti, anzi infiniti modi di essere infinito.

32 Lalbergo del Paradiso Per illustrare il fatto che un insieme infinito può avere tanti elementi quanti un suo sottoinsieme proprio, si può considerare la situazione descritta dal matematico Hilbert nellalbergo del Paradiso.

33 Lalbergo del Paradiso ha un numero infinito di stanze e perciò può ospitare un numero infinito di clienti. Supponiamo che lalbergo sia al completo e cioè che ogni camera abbia un ospite. Arriva un nuovo cliente che chiede una stanza.

34 Viene chiamato allora il direttore dellalbergo per risolvere la situazione e poter accogliere il nuovo cliente Il direttore risolve così la situazione: sposta lospite della camera 0 nella camera 1, quello della camera 1 nella camera 2, quello della camera 2 nella camera 3 e così via… 0 123

35 In questo modo si è liberata la camera 0 che può essere occupata dal nuovo ospite. 0

36 Anche se al completo lAlbergo del Paradiso può addirittura accogliere uninfinità di nuovi ospiti: basta infatti spostare tutti gli ospiti nelle stanze pari, liberando così una infinità di stanze: quelle dispari!

37 Le conclusioni a cui era giunto Cantor nei suoi studi sullinfinito erano sorprendenti per lui e tanto più per la comunità scientifica a lui contemporanea. Non meraviglia quindi il clima di scetticismo e di ostilità, salvo qualche eccezione, con cui vennero accolti i suoi lavori. Cantor venne isolato e criticato aspramente da eminenti matematici del tempo che gli negarono la possibilità di avanzare nella carriera universitaria.

38 Cantor non riuscì mai ad ottenere una cattedra nella prestigiosa università berlinese soprattutto per lostilità di alcuni influenti colleghi, tra cui il matematico Kronecker che riteneva le sue teorie prive di senso. Cantor finì i suoi giorni in una clinica psichiatrica, in ristrettezza economica e abbandonato alle sue crisi depressive che si manifestavano sempre più frequentemente. Leopold Kronecker

39 Tra le poche voci che si levarono a difendere ed apprezzare il lavoro di Cantor citiamo quella delleminente matematico David Hilbert che giudicò la sua teoria sullinfinito un prodotto sbalorditivo del pensiero umano David Hilbert

40 e quella di Bertrand Russel che disse: la soluzione delle difficoltà che in passato circondavano linfinito è probabilmente la massima conquista che la nostra epoca ha da vantare Bertrand Russel


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