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LEZIONI DI TRIGONOMETRIA a cura della Prof.ssa Katussa Arfelli.

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1 LEZIONI DI TRIGONOMETRIA a cura della Prof.ssa Katussa Arfelli

2 Precorso A.A. 2013/2014 Nota di Copyright Questo insieme di trasparenze (slides) è protetto dalle leggi sul copyright. Tutto il materiale è di proprietà degli autori che lo hanno reso disponibile su Internet e che ringrazio per il prezioso ausilio. Le slide possono essere riprodotte e usate liberamente dagli istituti di ricerca afferenti al MIUR per scopi didattici e istituzionali, comunque non a fine di lucro. Solo in tal caso non è richiesta alcuna autorizzazione. L'informazione contenuta è ritenuta accurata alla data della loro pubblicazione e può essere soggetta a cambiamenti senza preavviso. Comunque nessuna responsabilità può essere attibuita agli autori per il contenuto delle slide, la loro completezza e applicabilità. Questa nota di Copyright non deve essere mai rimossa e deve essere riportata anche in utilizzi parziali del materiale disponibile.

3 Risoluzione di triangoli qualsiasi

4 PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE ESERCIZIO 1 Per guidare un missile antiaereo, la stazione radar da terra deve valutare in ogni istante la distanza tra laereo da colpire e il missile. Il radar, disposto in R, misura la distanza RA ( radar – aereo ) e quella RM ( radar – missile ) e misura langolo α tra queste due direzioni. Quello che ci rimane da calcolare è AM (distanza aereo – missile ). Non possiamo usare le formule a noi note se uno dei due angoli, in A o in M, non è retto. Supponendo che RA = 12 km RM = 20 km e α = 65°, quanto dista laereo dal missile ?

5 ESERCIZIO 2 Il radiogoniometro è uno strumento molto utile nella navigazione marittima e viene usato per determinare la direzione da cui proviene un segnale radio. Ad esempio, nel caso in cui accada che una nave N avverta di trovarsi in difficoltà e il segnale venga ricevuto da due capitanerie di porto, A e B, che distano tra loro 400 km in linea daria. Con il radiogoniometro le due capitanerie rilevano gli angoli α=110° e β=50°. Ci si chiede: quanto dista la nave N da A e da B? I problemi proposti sono risolubili? Con le conoscenze che abbiamo acquisito sinora non riusciamo a risolverli, abbiamo bisogno di qualcosa di più.

6 Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e langolo compreso vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo laltezza CH CH = b sen AH = b cos BH = AB - AH= c - b cos Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a 2 = CH 2 + BH 2 = (b sen ) 2 + (c - b cos ) 2 a 2 = b 2 sen 2 + c 2 + b 2 cos 2 bc cos a 2 = b 2 + c 2 bc cos a 2 = b 2 + c 2 bc cos Ma: b 2 sen 2 + b 2 cos 2 b 2 (sen 2 + cos 2 b 2 pertanto H A C B b c a b sen c - b cos

7 Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e langolo compreso vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo laltezza CH CH = b sen AH = b cos BH = AB - AH= c - b cos Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a 2 = CH 2 + BH 2 = (b sen ) 2 + (c - b cos ) 2 a 2 = b 2 sen 2 + c 2 + b 2 cos 2 bc cos a 2 = b 2 + c 2 bc cos a 2 = b 2 + c 2 bc cos Ma: b 2 sen 2 + b 2 cos 2 b 2 (sen 2 + cos 2 b 2 pertanto H A C B b c a b sen c - b cos

8 Abbiamo così ottenuto il Teorema di Carnot (o del coseno) In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dellangolo compreso. a 2 = b 2 + c 2 bc cos a 2 = b 2 + c 2 bc cos c 2 = a 2 + b 2 ab cos c 2 = a 2 + b 2 ab cos b 2 = a 2 + c 2 ac cos b 2 = a 2 + c 2 ac cos A C B b c a

9 Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi caso 1: dati due lati e langolo compreso caso 2: dati i tre lati Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione a 2 = b 2 + c 2 bc cos possiamo ricavare e quindi poiché esiste un unico angolo compreso tra 0 0 e avente un dato coseno.

10 CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, da cui si ricava a A C B b c

11 CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c da cui si ricava A C B b c a

12 In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos, cos cos sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha come tre lati quelli dati. Vediamo ora un teorema che dà la relazione tra un lato di un triangolo e langolo opposto.

13 Si può certamente estendere questo discorso anche al lato c (basta girare la figura e considerare a come base). Consideriamo un triangolo acutangolo ABC. Tracciamo laltezza CH, di lunghezza h e consideriamo i triangoli rettangoli ACH e CHB; risulta che: h = a sen β e h = b sen α, ma allora: a sen β = b sen α, cioè

14 Abbiamo così ottenuto il Teorema dei seni In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dellangolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. A C B b c a

15 Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

16 CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, poiché dal teorema dei seni A C B b c a

17 RISOLUZIONE DEI PROBLEMI I teoremi del seno e del coseno ci permettono di risolvere i problemi introdotti precedentemente. ESERCIZIO 1 : Il problema della guida radar del missile. RA = 12 km RM = 20 km ARM = 65° Per calcolarci la distanza AM = b, si fa uso della formula b²=a²+c²-2ac cos β, sostituendo i valori noti si ottiene: b²=12²+20²-2*20*12cos 65°, svolgendo i calcoli si trova: b 18,47km. Essendo noti tutti i lati e un angolo è ora possibile determinare langolo γ, che individua la rotta da seguire per raggiungere il bersaglio A : ovvero Quindi sen γ = 0,589 ossia γ=36°.

18 ESERCIZIO 2 : Il problema di determinare la posizione di una nave a partire dai dati di due radiogoniometri è schematizzato in figura dal triangolo ABC. AB = c = 400 km; α = 50°; β = 110° si vogliono conoscere le lunghezze a e b. Osserviamo che noti α e β possiamo conoscere anche langolo γ = 180° - 110° - 50° = 20°. Noti tre angoli e un lato si può utilizzare il teorema dei seni: e quindi


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