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Dalle funzioni iterate al caos deterministico Gian Italo Bischi, Università di Urbino Carlo Bo http//www.econ.uniurb.it/bischi 25.

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1 Dalle funzioni iterate al caos deterministico Gian Italo Bischi, Università di Urbino Carlo Bo http//www.econ.uniurb.it/bischi 25 marzo 2010

2 Caos Deterministico: un ossimoro deterministico : regolare, prevedibile fenomeni ordinati e pianificabili caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità. Il concetto di caos deterministico spezza questa dicotomia: modelli matematici deterministici non lineari possono generare andamenti quasi indistinguibili da processi aleatori, ed estremamente sensibili a piccole perturbazioni

3 Outline Generare caos deterministico iterando semplici funzioni Generare caos deterministico iterando semplici funzioni Un po di storia Un po di storia Le proprietà del caos deterministico e leffetto farfalla Le proprietà del caos deterministico e leffetto farfalla Un po di ordine nel caos: gli attrattori Un po di ordine nel caos: gli attrattori Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte …. Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….

4 y = f(x) x y f Concetto di funzione Feed-back Funzione iterata

5 f x ( t ) x ( t + 1 ) Legge di evoluzione : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 Modelli dinamici a tempo discreto … si ottiene una traiettoria del sistema dinamico x (t + 1) = f ( x (t) ) x (0) assegnato Per induzione, ossia iterando la f... x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0)) x (0) f x (2)... f x (t) x (t+1)... x (1) f

6 Funzioni (mappe) lineari: iterazione di f ( x ) = a x. legge evolutiva: x t+1 = a x t x 1 = a x 0 x 2 = a x 1 = a ( a x 0 ) = a² x 0 x 3 = a x 2 = a ( a² x 0 ) = a³ x 0 … x n = a x n 1 = a ( a n-1 ) x 0 = a n x 0... progressione geometrica di valore iniziale x 0 e ragione a. Se | a | < 1 (mappa contrattiva) - se 0 < a < 1, successione monotona che converge al punto fisso x* = 0 (attrattivo); - se -1 < a < 0, la successione converge al punto fisso x* = 0, ma oscillando; | a | > 1 - se a < -1, la successione diverge oscillando; - se a > 1, la successione diverge in modo monotono I valori particolari a = 1 e a = 1 sono detti di biforcazione. Attraversandoli si verifica un cambiamento qualitativo nelle traiettorie

7 Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%. sia r = i/100 C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t) Soluzione: C(t) = C(0) (1+r) t Crescita esponenziale

8 n 0 3 xnxn x 0 =3 x 0 =

9 Nel 1776 Laplace scriveva : Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era allistante precedente e se noi immaginassimo unintelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro Pierre-Simon Laplace

10 calcolatrice tascabile x 2 – c x c = 0 grado 2 grado 2 2 = 4 grado 2 3 = x 10 = ……… grado 2 10 = 1024 !!!!

11 n xnxn x 0 =1.5

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13 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x n x n b allincirca 1.7

14 xnxn x 0 = t xnxn x 0 = t x1(t)-x2(t) x1(0)= t x2(0)=0.499

15 Henry Poincaré ( 1903) Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione delluniverso allistante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un instante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali.. Henry Poincaré,

16 Teoria Qualitativa dei Sistemi Dinamici Analisi qualitativa e Topologia (geometria dei fogli di gomma) (Henry Poincaré, ) Analisi non lineare, Stabilità strutturale e Biforcazioni Scuola russa: Lyapunov (20) Kolmogorov (30) Andronov (50) Pontriaguine (60) Arnold, Sinai, Sharkovski, Shilnikov Stati Uniti: Birkhoff (30) Smale, Abraham, Yorke Brasile: Peixoto, Palis, Mora, Viana Europa: Julia (20) Fatou (20), Hadamard (40), Mira, Ruelle, Takens Teoria delle Singolarità (o catastrofi): Whitney, Mather (60), Thom ( 70) Cibernetica (autoregolazione, feed-back, meccanismi adattivi): Wiener, J. Von Neumann, dal 1946 Geometria dei Frattali: Benoit Mandelbrot, anni 80 Sinergetica (interazione cooperativa, auto-organizzazione, processi autoalimentati): Hermann Haken, anni 80

17 Edward Lorenz (May 23, 1917–April 16, 2008) Lorenz

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20 Appello evangelico per lintroduzione di queste equazioni alle differenze semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè lintuizione degli studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono con semplici equazioni non lineari. [...]. Io vorrei sollecitare che sia presentata [lequazione logistica] presto nelleducazione matematica. Questa equazione può essere presentata da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice, o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto non richieda un corso elementare di matematica. Tale studio potrebbe in generale arricchire lintuito di uno studente circa i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche. Robert May, 1976

21 Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) = ( x (t) ) stato stazionario punto di equilibrio punto fisso x0x0 x 1 = f (x 0 ) Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) ) x0x0 x1x1 x1x1 x0x0 x1x1 x2x2 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4

22 Punti fissi: Iterazione della funzione (iperbole) x

23 Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti e ne muoia una frazione m. Nellanno successivo la popolazione è Questa è una legge di evoluzione lineare x t+1 = ax t r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione

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25 Popolazione che vive in un ambiente limitato. Si fa lipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma aumenti al crescere della numerosità della popolazione ad esempio m = sN(t), termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.) Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare: Una funzione di secondo grado Con un cambio di variabile diventa: logistica

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29 Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se: (1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di grandezza delle variabili di stato. (2) Transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi cioè ciascun punto dellintervallo su cui si muove tale traiettoria risulta essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa. (3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche. Nota:(2) e (3) implicano (1)

30 Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento) La Geometria del Caos 0.875

31 x = f(x) = ax (1-x) if x < a/4 then where: critical point c = a/4 Folding Unfolding c -1 R1R1 R2R2 Z0Z0 Z2Z2 R1R1 R2R2 R1R1 R2R2

32 Kneading of the dough (impastare)

33 c f(c) Mixing

34 c1c1 c3c3 c2c2 c I J c 1 =f(c) c 2 =f(c 1 ) c c 3 =f(c 2 ) 8.4

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36 x y T T T T Mappe iterate del piano

37 -2 x a = 1 b = -2.. P = T(P 1 ) = T(P 2 ) x y P y inverse Mappa non invertibile

38 Linear map T : (x,y)(x,y) T is orientation preserving if det A > 0 area (F) = |det A |area (F), i.e. |det A | 1) contraction (expansion) Meaning of the sign of |det A| T is orientation reversing if det A < 0 y x x y a 11 =2 a 12 = -1 a 21 =1 a 22 =1 b 1 = b 2 = 0 ; Det = 3 A B C A B C F F T a 11 =1 a 12 =1.5 a 21 =1 a 22 =1 b 1 = b 2 = 0; Det = x x y A B C A B C F T F B y

39 T is: orientation preserving near points (x,y) such that det DT(x,y)>0 orientation reversing if det DT(x,y) < 0 If T is continuously differentiable LC -1 is included in the set where det DT(x,y) = 0 The critical set LC = T ( LC -1 )

40 Z 2 = {(x,y) | y > b } Z 0 = {(x,y) | y < b } LC = {(x,y) | y = b } LC -1 = {(x,y) | x = 0 } det DT = -2x =0 for x=0 T({x=0}) = {y=b} Z0Z0 Z2Z2 R1R1 R2R2 LC -1 LC SH 1 SH 2 y=b x=0

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42 F T LC LC T: F= T(F)

43 LC LC -1 A B B A A B O C x x y y C D C D O C AB LC LC -1 A B B A A B C xx y y C C C A B (a) (b)

44 LC 2 1 LCLC LC f:

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52 Chaos and Symmetry Martin Golubitsky, Mike Field

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54 Due tipi di complessità … e due tipi di sensitività k = 1; v 1 = v 2 = ; 1 = 2 =0.6 ; c 1 = c 2 = 3 y x E*E* (a) k = 1; v 1 = v 2 = ; 1 = 2 =0.6 ; c 1 = c 2 = 3 y x E*E* (b) Da: G.I. Bischi and M. Kopel Multistability and path dependence in a dynamic brand competition model Chaos, Solitons and Fractals, 2003

55 strutture complesse dei bacini di attrazione nel caso di più attrattori coesistenti

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57 Coesistenza di equilibri Bacini di attrazione Stabilità pratica

58 fig. 4 (a) (b) p*p* q*q* r*r*

59 .. q*q* z*z* x*x*. x0x0 c Z0Z0 Z2Z2 c

60 q*q* z*z* x*x*.. Z3Z3 Z1Z1 Z1Z1. r*r*. q*q* z*z* x*x*.. Z3Z3 Z1Z1 Z1Z1. r*r* (a) (b) c min c max.

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62 David Ruelle Caso e Caos, Bollati Boringhieri, 1992 James Gleick Caos. La nascita di una nuova scienza, Sansoni 1997, 3° edizione (edizione inglese : Chaos. The amazing science of the unpredictable) Ian Stewart Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos Bollati Boringhieri, 1993 Angelo Vulpiani Determinismo e caos La Nuova Italia Scientifica, Douglas R. Hofstadter Strani attrattori : schemi matematici collocati fra lordine e il caos su Le Scienze, Febbraio James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw Il Caos Le Scienze, Febbraio 1987 A.K. Dewdney Alla scoperta delle strane attrattive del caos su Le Scienze, Settembre F. Di Stefano Il caos deterministico in La Fisica nella scuola n.6, Alberto Rebaglia Il Caos e i Frattali inserto di Scienza e Vita, giugno Marco dal Bosco Comportamenti Casuali di un sistema deterministico in La Fisica nella scuola n.2, 1998.

63 Michele Fontana Metti ordine nel caos in Panorama del 21 febbraio Pietro Greco Il caos minaccia Newton da La Repubblica del 7 febbraio Giorgio Israel Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è morto da La Repubblica del 11 dicembre Franco Prattico I sacerdoti del caos da La Repubblica del 30 aprile Giampiero Borrella Avanti caos in Panorama del 18 luglio Carlo Bernardini Finiremo tutti in un grande frattale da La repubblica del 3 dicembre 1986 Umberto Bottazzini Il mondo del pressappoco Il Sole 24 ore, 8 marzo Omar Calabresi Matematicamente belli in Panorama del 17 gennaio Pier Luigi Sacco La finanza turbolenta si spiega coi frattali da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.

64 CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURA Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton (23 ottobre 1942, 4 novembre 2008) Un passo tratto dalla Seconda Iterazione […] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i meccanismi del mondo reale. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto esisteva nel mondo reale.

65 Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione. I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché matematici come John Von Neumann, il massimo matematico della sua generazione, pensavano che avendo a disposizione una macchina capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati in grado di fare previsioni meteorologiche a lungo termine. […]. La teoria del caos manda allaria tutto questo, non si può prevedere il tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per previsioni meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di dollari negli ultimi decenni- è buttato via. È unimpresa vana quanto cercare di trasformare il piombo in oro. Oggi gli sforzi degli alchimisti ci fanno ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno nello stesso modo.

66 Jurassic Park, terza iterazione: Un simile controllo è impossibile dichiarò Ian Malcom Invece sì disse Hammond Mi scusi, ma lei non sa quello che dice ribattè Malcom Piccolo stronzo arrogante disse Hammond. Si alzò e uscì. Mi spiace disse Malcom ma il punto è che ciò che definiamo natura è di fatto un sistema complesso, non lineare. Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci. Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro levidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato lEgitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo, produce infestazioni da parassiti e rovina leconomia. Abbiamo costruito...

67 Da "Il mistero di Marie Rogêt", Edgar Allan Poe, Per quanto riguarda lultima parte della supposizione, si dovrà considerare che la più insignificante differenza nei fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due sequenze dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto allaltro del procedimento, produce un risultato lontanissimo dal vero. …il più delle volte è il genio intuitivo delle arti belle che precede la scienza, e questa non arriva che più tardi, a spiegare e illuminare le ispirazioni di quello. Filippo Lussana ( )

68 Dal racconto La notte dei numeri di Italo Calvino. Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, - nei centanni della sua esistenza [...] non cè mai stato un ragioniere come Annibale De Canis, eppure questuomo infallibile, questo genio, vedi, il 16 novembre 1884,... ecco, qui cè un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se nè mai accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico: tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a dire in giro, sei un ragazzo e nessuno ti darà retta... Ma adesso sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quellerrore di quattrocentosedici lire sai quantè diventato? Miliardi! Miliardi! Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i cervelli elettronici e tutto il resto! Lerrore è al fondo, al fondo di tutti i numeri, e cresce, cresce, cresce!

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70 If you think you are too small to make a difference, try sleeping with a mosquito the Dalai Lama Caos deterministico e filosofia. Anche in un mondo così rigido un piccolo evento, una minuscola azione, può provocare una rivoluzione. Questo risulta perfettamente compatibile anche nell'ambito di un sistema governato da un rigido e predeterminato modello matematico. Contrapposizione fra: completa e rigida regolamentazione e totale casualità degli eventi predeterminazione e il libero arbitrio

71 In Psicopatologia della vita quotidiana Freud definisce: - Paranoico: colui che è ossessionato dall'idea che le persone che lo circondano siano coalizzate per danneggiarlo, non vede casualità negli eventi, ad essi sottende sempre una sorta di predeterminazione. - Ossessioni paranoiche: nulla è dovuto al caso, tutto segue un disegno preordinato, e a ogni evento deve sempre potersi associare un colpevole. Le teorie psicanalitiche, fanno risalire importanti tratti della personalità di un adulto a piccoli traumi dell'infanzia, talvolta in apparenza insignificanti (tanto da essere rimossi, quindi non ricordati), idea molto vicina alla filosofia dell'effetto farfalla. U. Eco, Il pendolo di Foucault, 1988 Il mondo si muove in modo apparentemente disordinato mentre cè un disegno dietro. Caos e psicanalisi

72 Caos deterministico al cinema

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