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Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy. Aspetti teorici e applicativi. Arianna Mencattini Seminario - 25 settembre 2002 Università

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Presentazione sul tema: "Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy. Aspetti teorici e applicativi. Arianna Mencattini Seminario - 25 settembre 2002 Università"— Transcript della presentazione:

1 Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy. Aspetti teorici e applicativi. Arianna Mencattini Seminario - 25 settembre 2002 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Elettronica

2 Indice Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni. Caso SISO (Single Input Single Output) Caso MISO (Multiple Input Single Output) Teoremi fondamentali. Applicazioni

3 Fuzzy Systems F[ x ] x1x1 x2x2 xnxn y1y1 y2y2 ymym Parametri Legame diretto ingresso – uscita Possibilità di imporre dei vincoli sulla F[ ], grazie ai parametri liberi.

4 Casi Possibili

5 Applicazioni Possibili Processamento di segnale: ad esempio s(x) è un segnale audio o un segnale immagine ed F[ ] è un filtro F[ ] s(x) y(x)=F[s(x)] - Controlli: F[ ] u(x) F(s) + G(s)

6 Applicazioni Possibili Modellistica: F[ ] Set di MisureModello In questo caso la funzione target f è il legame fisico fra le variabili di ingresso e di uscita. In genere non è nota.

7 Struttura del sistema (SISO) 1.Dominio di ingresso 2.Dominio di uscita 3.Set di punti campione noti

8 Struttura dello spazio di ingresso x : Insieme fuzzy di ingresso Funzione di appartenenza (MF)

9 Struttura dello spazio di uscita : Insieme fuzzy di uscita Funzione di appartenenza (MF) y x

10 Base di conoscenza Antecedente della regola Conseguente della regola

11 Fuzzificazione: fase in cui si associano: un set di MF allingresso un set di MF alluscita si definisce un insieme di regole

12 Inferenza: valutazione delle regole Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita x i i+1 INPUT RANGE A 1 A 2 A 3 A 4 b 1 b 2 b 3 b 4 Valutazione regole Defuzzificazione

13 Inferenza: valutazione degli antecedenti If (x is A 1 ) then (y = b 1 ) If (x is A 2 ) then (y = b 2 ) If (x is A 3 ) then (y = b 3 ) 0 v2v2 v3v3 Operatore di inferenza: MAX, Media pesata

14 Defuzzificazione Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita x i i+1 INPUT RANGE A 1 A 2 A 3 A 4 b 1 b 2 b 3 b 4 Valutazione regole Defuzzificazione Valore di uscita

15 Espressione delluscita 1

16 Espressione delluscita 2

17 Sistemi di tipo Sugeno di ordine N If (x is A 1 ) then (y = b 1 ) Se il conseguente è del tipoSistema Sugeno di ordine N

18 Sistemi di tipo Sugeno di ordine N Attraverso i coefficienti posso imporre ulteriori condizioni alla funzione Fuzzy F. Se il mio set di conoscenze è: Settando si ha che

19 Sistemi di tipo Sugeno di ordine N Osservazioni: è la serie di Taylor troncata allordine N di f(x) centrata in. è la combinazione di polinomi di Taylor di ordine N centrati nei vertici della griglia, pesati con le funzioni peso V(x).

20

21 Caso MISO (multiple input single output) La trattazione è analoga al caso SISO, ma la struttura del sistema fuzzy diventa più complessa. Le regole fuzzy diventano: Occorre dare un valore alloperatore and (min, prodotto). La scelta del prodotto in questa applicazione è motivata dalla necessità di non ledere la regolarità della funzione F(x).

22 Caso MISO (multiple input single output)

23 Esempio: funzione target

24 Funzione fuzzy bilineare Linee di discontinuità delle derivate parziali

25 Funzione fuzzy con MFs cubiche

26 Confronto caso SISO e MISO Il numero di punti di non regolarità nel caso SISO è n. In questo caso è possibile utilizzare n parametri liberi (ad esempio le altezze k) per imporre la continuità delle derivate prime, senza dover complicare il sistema fuzzy con funzioni di appartenenza non triangolari. Nel caso MISO il numero di punti di non regolarità diventa, occorre quindi eliminare intrinsecamente la causa di detta non regolarità, ovvero soddisfare le ipotesi del Teorema 1. Nel caso MISO le altezze k possono essere usate per ottimizzare il comportamento della funzione F(x) come interpolatore, nellintervallo aperto in base ad una norma scelta (sup, media etc.)

27 Approssimazione SISO, legame con i polinomi di Taylor N=1 N=2 1/(x 2 +1)

28 Approssimazione MISO, legame con i polinomi di Taylor

29 Applicazioni nel caso SISO: funzione log Processamento Immagini y(x)=log(x) x Se dove è una componente di rumore moltiplicativa e w è il segnale originario non corrotto da rumore, allora loperatore logaritmo rende il legame fra w e additivo e si ha. A questo punto il segnale modificato y=log(x) è filtrabile con un filtraggio classico, di tipo passa basso. Si può facilmente dimostrare che il sistema fuzzy che implementa una funzione inversa si ottiene da quello che implementa la funzione diretta invertendo gli spazi di ingresso e di uscita, nel senso di intervalli considerati.

30 Applicazioni nel caso SISO: funzione log Approssimazione della funzione log(x) con sistema fuzzy a 1 punto e altezze variabili. La curva della funzione obiettivo e quella della funzione approssimante sono indistinguibili.

31 Applicazioni nel caso SISO: funzione sin per limplementazione di un DDS(Digital Direct Synthesizer) Sistema fuzzy Schema di un DDS

32 Coefficienti di Fourier della funzione fuzzy

33 Risultati intermedi Approssimazione della funzione sin(x) con il nuovo metodo.

34 Spettro della sinusoide fuzzy 7 punti

35 Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET a grande segnale Misure sul dispositivo dei parametri S Valutazione dei parassiti Funzione parametrica di Materka-Kacprzak Estrazione del circuito equivalente intrinseco al variare della polarizzazione. Necessità dellinterpolazione al variare della polarizzazione Funzione fuzzy Modello per la simulazione a grande segnale

36 Sistema fuzzy come modello: I ds Materka Fuzzy

37 Sistema fuzzy come modello: g ds Materka Fuzzy

38 Sistema fuzzy come modello: g m Materka Fuzzy

39 Bibliografia M. Salmeri, A. Mencattini, R. Rovatti, " Function Approximation Using Non Normalized SISO Fuzzy Systems", International Journal of Approximate Reasoning, IJAR, Elsevier, vol. 26, n. 3, April A. Mencattini, M. Salmeri, " Performance Optimization of SISO Fuzzy Systems Used as Function Approximators", International Journal of Fuzzy Systems, vol. 4, n. 4, December M. Salmeri, A. Mencattini, S. Bertazzoni, D. Di Giovenale, A. Salsano, " Sinusoidal Wave Synthesis Using Fuzzy Approximation", submitted to Trans. on Fuzzy Systems. A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " MISO Function Approximation with Derivative Constrains Using Sugeno Fuzzy Systems", submitted to Trans. on Fuzzy Systems. A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " Approximation Properties of Taylor Polynomial Fuzzy Systems", to be submitted to Trans. on Fuzzy Systems.


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