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I NUMERI RELATIVI Livio Giansiracusa. Strutturare ununità di apprendimento che miri ad evidenziare: La collocazione temporale dellargomento in esame;

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Presentazione sul tema: "I NUMERI RELATIVI Livio Giansiracusa. Strutturare ununità di apprendimento che miri ad evidenziare: La collocazione temporale dellargomento in esame;"— Transcript della presentazione:

1 I NUMERI RELATIVI Livio Giansiracusa

2 Strutturare ununità di apprendimento che miri ad evidenziare: La collocazione temporale dellargomento in esame; I prerequisiti, gli obiettivi di apprendimento (conoscenze ed abilità) e i contenuti da trattare; Alcuni spunti di metodologie per agevolare il lavoro da parte dei ragazzi. Si farà notare che numerosi esempi sono tratti da semplici osservazioni della realtà che faranno scaturire un logico collegamento interdisciplinare; La scelta di differenti tipi di esercizi proposti per verificare e migliorare il grado di acquisizione di conoscenze degli alunni; Considerazioni personali. OBIETTIVI DEL PRESENTE LAVORO

3 COLLOCAZIONE TEMPORALE : fine secondo anno scolastico – inizio terzo anno scolastico; INQUADRAMENTO ARGOMENTO : algebra PREREQUISITI : conoscere gli insiemi numerici N e Q+ ; conoscere ed utilizzare le operazioni con gli insiemi N e Q+ ; saper svolgere semplici espressioni con numeri appartenenti agli insiemi N e Q+.

4 Conoscenze conoscere il concetto di numero relativo e quindi conoscere gli insiemi Z, Q e R; conoscere lutilizzo del numero relativo nella vita quotidiana; conoscere ed utilizzare le operazioni con linsieme R dei numeri reali relativi; conoscere la simbologia e la terminologia dei numeri relativi. Abilità saper rappresentare sulla retta orientata i numeri relativi; saper operare confronti tra numeri relativi; essere in grado di operare con i numeri relativi e saper calcolare il valore di semplici espressioni; saper calcolare potenze di numeri relativi con esponenti positivi o negativi; OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

5 Concetto di numero relativo, dallinsieme N allinsieme R; Rappresentazione grafica di numeri relativi sulla retta; Il segno di un numero relativo; Il valore assoluto di un numero relativo; Numeri relativi concordi, discordi, opposti; Confronto di numeri relativi; Operazioni e proprietà dei numeri relativi; Calcolo di espressioni. CONTENUTI

6 Per introdurre il concetto di numero relativo possono (devono) essere fatti semplici esempi tratti dalla realtà: Parlando del bilancio di unazienda, se si dirà che esso è pari a E, dovrà essere specificato se è in attivo o in passivo; Se si afferma che Nerone è nato nellanno 37 dovrà essere necessariamente indicato se prima o dopo Cristo; Per esempio, se diciamo che la temperatura di una certa località è 6°C non ci esprimiamo con precisione. Occorrerà specificare infatti se è al di sopra o al di sotto dello zero; In geografia, per identificare la posizione di un punto, si utilizzano la latitudine e la longitudine ma bisogna specificare rispettivamente se N e S o E e W da Greenwich.

7 E ancora, quando si assiste in televisione al lancio di un razzo, o quando pochi istanti prima di Capodanno si sentirà dire: Meno quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero che significa? In tutti questi esempi, un certo punto, indicato come ZERO, viene preso come riferimento. Alcune misure risultano inferiori allo zero, altre superiori e per distinguere le varie misurazioni abbiamo utilizzato termini come in attivo - in passivo, al di sopra – al di sotto, prima – dopo ecc. In Matematica si ricorre invece alluso di numeri preceduti dal segno più o meno (+ o -). Come può esistere un numero negativo?

8 E così adesso si dirà : La temperatura minima registrata a Varese il 12 Gennaio 2006 è stata -8°C; Lazienda Giubbotti&Giubbotti ha chiuso il bilancio 2001 a Euro. Cleopatra è nata ad Alessandria nellanno -69. Viene quindi introdotta la necessità di utilizzare nuovi numeri, rispetto a quelli dellinsieme N, poiché appunto preceduti da un segno e che vengono chiamati numeri relativi perché il loro valore risulta definito relativamente ad uno zero di riferimento. I numeri relativi si distinguono in : Numeri positivi, cioè superiori allo zero (segno +) Numeri negativi, cioè inferiori allo zero (segno -)

9 DEFINIZIONE : i numeri interi preceduti dal segno + costituiscono linsieme dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z+; i numeri interi preceduti dal segno – costituiscono linsieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z-. Lunione dei numeri interi positivi, Z+, compreso lo zero a cui non si associa alcun segno, e dei numeri interi negativi, Z-, forma linsieme dei numeri interi relativi, che si indica con Z; Oltre ai numeri interi è possibile considerare positivi o negativi anche i numeri razionali, attribuendo ad essi il segno più o meno. Determineremo così linsieme dei numeri razionali positivi Q+ e quello dei numeri razionali negativi Q-. Dallunione di Q+ e Q-, compreso lo zero, otteniamo linsieme dei numeri razionali (o razionali relativi), che si indica con Q. Si ha quindi che Z è sottinsieme di Q Anche i numeri irrazionali possono essere preceduti dal segno più o meno. Determineremo pertanto linsieme dei numeri irrazionali relativi, che si indica con I.

10 Q U I = R R sarà linsieme dei numeri reali relativi. Per numeri relativi si intendono quindi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali, sia positivi che negativi. I Q Z N R

11 Considerando una retta r ed un suo punto O che la divide in due semirette, la retta r può essere percorsa in due versi: positivo da O verso destra che negativo da O verso sinistra. Sulla retta orientata, riportiamo successivamente, a partire da O, un segmento unitario u che rappresenta ununità di misura scelta ad arbitrio. O Possiamo quindi associare ai punti individuati da u sulla retta, i numeri interi relativi. Quelli che si susseguono da zero verso destra rappresentano numeri interi relativi positivi, quelli che si susseguono da zero verso sinistra rappresentano numeri interi relativi negativi. -9 I numeri interi relativi possono essere rappresentati su una retta orientata. u verso negativoverso positivo

12 Da chi sono occupati i vuoti tra un numero intero ed un altro? Dai numeri razionali e irrazionali. E si potrà far osservare che: Linsieme dei numeri interi relativi (Z) è ordinato, cioè scelti due elementi qualsiasi, è sempre possibile stabilire quale è maggiore e quale è minore. Gli insiemi dei numeri razionali (Q) e irrazionali (I) oltre ad essere ordinati sono densi, cioè scelti due elementi qualsiasi (appartenenti allo stesso insieme), è sempre possibile trovare un altro elemento sempre dello stesso insieme. Linsieme dei numeri reali R, dato dallunione di Q e I, è invece continuo. Ad ogni punto sulla retta orientata corrisponde un numero reale, e viceversa, ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta (corrispondenza biunivoca).

13 Esercizi di pronta verifica possono essere i seguenti: Indica quali fra le seguenti grandezze possono essere espresse per mezzo di numeri relativi e quali no. Motivare le risposte: La temperatura media registrata in una località La profondità del mare La velocità di un corpo La longitudine di un punto sulla Terra Il peso di un corpo E poi: esegui le ricerche opportune e rispondi alle seguenti domande: Qual è la temperatura di fusione del piombo? Quella di solidificazione del mercurio? E quella di fusione del ghiaccio? Il campionato di calcio di serie A dellanno è stato vinto dalla Lazio con due punti di vantaggio sulla Juventus. Con quale numero puoi esprimere il distacco che questultima ha avuto nei confronti della Lazio? E ancora

14 Il valore assoluto di un numero relativo è uguale al numero stesso se esso è positivo, al numero cambiato di segno se esso è negativo. Es. Valore assoluto di +4, e si indica |+4|, è uguale a 4. Valore assoluto di -18, e si indica |-18|, è uguale a 18. Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, si dicono discordi se hanno segno diverso. Così +3 e +2/5 sono concordi, mentre -9 e +4/7 sono discordi Due numeri relativi si dicono opposti o simmetrici se hanno lo stesso valore assoluto ma segno contrario. Così +6 e -6, -9/2 e +9/2 sono opposti VALORE ASSOLUTO, NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI, OPPOSTI

15 Per effettuare il confronto tra due numeri relativi possiamo sfruttare la rappresentazione grafica di R O Presa una qualsiasi coppia di numeri, sarà sempre maggiore il numero che si trova più a destra, ovvero, quello che segue laltro, nella successione, procedendo da sinistra verso destra; Vengono introdotti i simboli, che significano rispettivamente minore di emaggiore di. Es. 0 precede +2 e quindi 0 < +2; 0 segue -3/8 e quindi 0 > -3/8 -4 segue -6 e quindi -4 > precede + 13/7 quindi -1 < +13/7 +7/5 segue + 1 quindi + 7/5 > +1

16 Lo zero è maggiore di ogni numero negativo; Lo zero è minore di ogni numero positivo; Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo; Dati due numeri positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore; Dati due numeri negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore; Esercizi da proporre Disponi in ordine crescente i seguenti numeri relativi: -9, - 65, + 4/9, 0, - 2/3, +2, -4; Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri relativi: -1, +6/5, +23, - ½, 0. Oppure Inserisci il segno (maggiore di), = (uguale) +3…..+8; -7…..-5; -8/7……-7/8; +1,25……+5/4; +9……-7,2. PROPRIETA

17 ADDIZIONE FRA DUE NUMERI RELATIVI Sfruttare la retta orientata e partire da esempi. A) I due numeri da sommare hanno entrambi segno positivo: es. (+3) + (+2) Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso destra perché il segno del secondo addendo è (+3) + (+2) = +5 B) I due numeri da sommare hanno entrambi segno negativo: es. (-3) + (-2) Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo addendo è (-3) + (-2) = -5 O O

18 C) I due numeri da sommare hanno uno segno positivo e laltro segno negativo: es. (+3) + (-2) Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo addendo è - (se il secondo addendo fosse stato positivo ci spostavamo verso destra) (+3) + (-2) = +1 O REGOLE GENERALI La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi dati e per valore assoluto la somma dei valori assoluti; La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno delladdendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti

19 REGOLA PRATICA PER LESECUZIONE DELLA SOTTRAZIONE FRA DUE NUMERI RELATIVI Lutilizzo del metodo della retta orientata risulta piuttosto complicato per spiegare loperazione di sottrazione fra due numeri relativi e i testi suggeriscono pertanto una regola pratica che consente di eseguire loperazione con molta più facilità. REGOLA: la differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con lopposto del secondo Esempi a.(+7) – (+6) = (+7) + (-6) = +1 b.(-3) – (-5) = (-3) + (+5) = +2 c.(-2) – (+8) = (-2) + (-8) = -10 d.(+4) – (-9) = (+4) + (+9) = +13 Si procederà quindi utilizzando la regola generale vista per loperazione di addizione. Poiché loperazione di sottrazione è stata trasformata in addizione si deduce che le due operazioni ne costituiscono una sola, chiamata somma algebrica

20 SOMMA ALGEBRICA DI PIU NUMERI RELATIVI La somma algebrica fra più numeri relativi può risultare di non immediata comprensione Ad es. calcolare ( ) può sembrare unoperazione difficile. Basterà far capire ai ragazzi che si dovranno dapprima sommare i moduli di tutti i valori positivi, successivamente sommare i moduli di tutti i valori positivi e quindi effettuare loperazione di somma algebrica (+37) + (- 47) = -10

21 MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI RELATIVI Rispetto a quando si opera con i numeri naturali bisogna tenere conto del segno dei due fattori I due fattori sono entrambi positivi, ad es. (+2) (+4) sarà uguale a (+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8 I due fattori sono uno negativo e laltro positivo, ad es. (-3) (+5) sarà uguale a (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15 I due fattori sono entrambi negativi, ad es. (-3) (-4) e in questo caso si utilizza un percorso indiretto. Si prende in esame unaltra moltiplicazione e precisamente [(+3) + (-3)] (-4). Il risultato della somma algebrica in parentesi quadra è zero, quindi anche lintera moltiplicazione sarà uguale a zero. Si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione: (+3) (-4) + (-3) (-4) = 0 Il prodotto (+3) (-4) è uguale a (-12), come sopra descritto; poiché il prodotto fra (-3) (-4) aggiunto a -12 deve dare come risultato zero, dovrà necessariamente essere: (-3) (-4) = +12

22 + · + = + + · - = - - · + = - - · - = + Ricapitolando i quattro casi descritti si può costruire la seguente tabella dei segni REGOLA : il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha -Come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; -Segno: positivo se i due numeri sono concordi, negativo se discordi. Per la divisione fra due numeri relativi vale la stessa regola dei segni per la moltiplicazione, mentre come valore assoluto avremo naturalmente il quoziente dei valori assoluti.

23 Qual è il segno del prodotto di due numeri relativi concordi? E tra due discordi? Qual è il segno del prodotto di una moltiplicazione in cui i fattori negativi sono in numero pari? E se dispari? Metti al posto dei puntini due numeri relativi concordi tali che luguaglianza sia verificata: (…) + (…) = -8; (…) + (…) = +6 (…) + (…) = -24 Metti al posto dei puntini due numeri relativi discordi tali che luguaglianza sia verificata: (…) + (…) = -10; (…) + (…) = +7 (…) + (…) = -90 ALTRI ESERCIZI DA PROPORRE

24 E ancora… Alcune delle seguenti operazioni sono state eseguite in modo sbagliato, individua lerrore e correggilo: (-8) + (-4) = - 4 (+7) – (-2) = + 9 (-4) (-9) = - 36 (+8) : (+2) = + 4 (+81) – (-1) = + 80 (+44) (-1) = + 44 (-10) : (+5) = + 2 Ed infine, calcolare il valore di espressioni come: [(2/7 + ½ -1/3) : (-19/7) + (1/8 + 10/3 – 5/2) + 1/3 – 1] [-6/5 + 3/2 – 1/15 – (3/2 + 9/4 -1) + 2/3 9/8] : (1/10 + 4/5 -1) -1/3 + 10/3 [(3/4 + ½ - 9/10) : (1/4 + 6/5 -1) – (5/3 – 1/9 + 11/3) + (-8/3 + 1/9)] : (-7/3)

25 Bibliografia G. Flaccavento Romano – MATEMATICA UNO SU MISURA – Fabbri Editori (1999); E. Nicoletti, M.T. Servida, G. Somaschi – ALGEBRA – CEDAM (2002); D. Valenti, C. Gori Giorgi – IMMAGINI DELLA MATEMATICA (vol. C) – Zanichelli (2004); R. Vacca, B. Artuso, F. Barreca – PROGETTO MODULARE DI ALGEBRA – ATLAS (2003).


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