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Matematica - Curve e superfici a.a. 2009-2010 Prof. C. Falcolini Studio e riproduzione delle cupole della Basilica di San Marco a Venezia Università degli.

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1 Matematica - Curve e superfici a.a Prof. C. Falcolini Studio e riproduzione delle cupole della Basilica di San Marco a Venezia Università degli studi di Roma Tre studenti: Elio Carradori - Armando Di Gregorio

2 La Basilica di San Marco a Venezia La Basilica di San Marco è un monumento unico per la ricchezza della sua storia, la maestosità della sua facciata e del suo interno, splendido laboratorio in cui hanno operato per secoli grandi artisti italiani ed europei. Il carattere bizantino che la contraddistingue appare soprattutto nei grandi mosaici che narrano le storie di San Marco. La grandezza di Venezia si è sempre riflessa nell arricchimento della Basilica. L'impianto a croce greca poggia sopra una struttura che nella navata longitudinale centrale riporta motivi architettonici basilicali: il braccio verticale della croce è maggiore rispetto a quelli dei transetti, l'altare è posto nell'area dell'abside. L'impianto architettonico è molto articolato e ripete un unico modulo ben individuabile nella cupola centrale che poggia, mediante i pennacchi e le grandi volte, sui quattro pilastri. Entrambi i bracci della croce sono suddivisi in tre navate, al di sopra della croce poggiano le cinque cupole. L'articolazione dello spazio è ricca di suggestioni, all'interno si propone una sequenza unitaria suddivisa in singole partiture spaziali, cui il mosaico a fondo d'oro garantisce continuità ed il particolare modo di essere della chiesa.

3 Le cinque cupole della Basilica Le cupole sono molto leggere per non far gravare pesi eccessivi sul terreno lagunare, e sono composte da laterizi forati. La chiesa è completamente coperta con cupole, raccordate da volte a botte (struttura unica in Italia). Esse sono sorrette da unintelaiatura lignea, le cupole sono percorribili in quota, vi sono dei ponti aerei che scavalcano il vuoto del transetto. Il problema della luce è connesso alla presenza delle cupole: La luce infatti entra solamente dalla piccola finestratura presente sul tamburo in questo modo si ottiene solo un anello di luce, che sarebbe insufficiente ad illuminare lambiente, se linterno della basilica non fosse completamente ricoperto da mosaici dorati.

4 La cupola come somma di più superfici Per riprodurre matematicamente la cupola studiata si è pensato di dividerla in diverse superfici da collegare in seguito. Questo ragionamento è stato adottato non solo per la parte più grande della cupola ma anche per i piccoli dettagli, in particolar modo per la lanterna. Cilindro Semisfera Cilindri binati Epicicloide estrusa su una curva

5 La cupola come somma di più superfici 1. Il cilindro della base -Determiniamo innanzitutto lequazione generica del cilindro: cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v} -Successivamente determiniamo lequazione che ci serve per avere la nostra base: ParametricPlot3D[cilindro[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,-2}, PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None] Questo valore serve a determinare il raggio del cilindro. Modificando il periodo possiamo avere la lunghezza voluta

6 La cupola come somma di più superfici 2. La sfera della cupola - Determiniamo anche in questo caso prima di tutto lequazione generica della sfera: sfera[a_][u_,v_]:=a {Cos[u]Cos[v],Sin[u]Cos[v],Sin[v]} - In seguito stabiliamo lequazione per determinare graficamente una semisfera: ParametricPlot3D[sfera[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},Plot Range ->{{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None] Questi parametri determinano linterezza della sfera.

7 La cupola come somma di più superfici 3. Le colonnine binate cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v} ParametricPlot3D[cilindro[0.16][u,v],{u,0,2Pi},{v,1.5,4.5}, PlotRange -> Automatic] }.{x,y,z} - Applicando il comando Table e associandolo ad una matrice di rotazione rtz[a_][{x_,y_,z_}]:={{Cos[a],- Sin[a],0},{Sin[a],Cos[a],0},{0,0,1}, avremo una rotazione intorno allasse z. Gestendo il parametro h possiamo decidere il numero di ripetizioni e i gradi di rotazione, in questo caso 8 ripetizioni divise in 360°. Ma questa configurazione risulta in verità inadatta, il raggio di rotazione è ampio e non si nota immediatamente che la rotazione essendo applicata alle coppie di colonne, le mantiene su uno stesso asse 2 a 2, riducendo il raggio di rotazione, si può esasperare lerrore, dovuto al fatto che lasse delle colonne binate tende alla tangenza della circonferenza per valori molto ampi. Show[Table [ParametricPlot3D[Table [rtz[h*2Pi/8][cilindro[0.16][u,v]+{1.5,k,0}],{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,9,14.5},PlotRange -> {{-5,5},{-5,5},{8,10}}],{h,1,8}]] - Determiniamo innanzitutto lequazione generica del cilindro: - Utilizzando il comando Table otteniamo due colonnine:

8 La cupola come somma di più superfici 3. Le colonnine binate Colonne=Show[Table[ParametricPlot3D[Table[(rtz[h*2Pi/16][cilindro[0.05][u,v]+ {1.6,0.6,1}])+{0,0,0},{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,10,13.5}, PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{0,15}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None],{h,1,16}]] Questi valori rappresentano lo spostamento sugli assi x,y,z corrispondenti, ma questa volta applicata allintero gruppo, così da poterlo posizionare correttamente nello spazio. Abbiamo poi ripetuto loperazione variando questi parametri che gestiscono la posizione del cilindro nello spazio, in modo da avere la stessa serie ma leggermente ruotata rispetto lasse z. Unendo i due grafici, abbiamo leffetto di una serie di coppie di colonne. Stavolta con una corretta rotazione. - Il metodo utilizzato in precedenza è perciò solo in apparenza valido, abbiamo deciso quindi di operare diversamente, attraverso un operatore Table applicato ad una matrice di rotazione, abbiamo ripetuto il singolo cilindro.

9 La cupola come somma di più superfici 4. Lepicicloide estrusa su una curva, la copertura delle lanterne: - La forma della copertura delle 5 lanterne non è la medesima ripetuta ma varia sia in quantità di spicchi che per snellezza e dimensione, ciò che abbiamo voluto ricavare è un equazione unica alla quale modificando i parametri si ottenessero tutte e cinque le coperture:

10 La cupola come somma di più superfici 4. Lepicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna: epicicloide[a_,b_][t_]:={(a+b)*Cos[t]-b*Cos[((a+b)*t)/b],(a+b)*Sin[t]- b*Sin[((a+b)*t)/b]} ParametricPlot[pola[16,2][t],{t,0,2Pi},PlotRange->{{-20,20},{-20,20}}] - Come si compone la lanterna? - Prima di tutto la forma di base, lepicicloide, la formula base. Questi parametri gestiscono il numero di cicli Il parametro t determina linterezza della cicloide ParametricPlot3D[{18*Cos[t]- 2*Cos[(18)*t/2],18*Sin[t]-2*Sin[18*t/2],v },{t,0,15},{v,1,10},PlotPoints®50,Mesh -> None] - Passiamo ora ad estrudere lepicicloide : Aggiungendo questo nuovo parametro, forniamo alla formula una terza dimensione.

11 La cupola come somma di più superfici 4. Lepicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna: - Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne. Lanterna16s=ParametricPlot3D[(({( Sin[ u+1/10])17*Cos[t]1*Cos[(17)*t],( Sin[u+1 /10])17*Sin[t]1*Sin[17*t], (13ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2])})/8)+{0,0,15.8}, {u,-2,2Pi},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None] Lanterna8s=ParametricPlot3D[(({(1+Sin[u])(9*Co s[t]-1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),- 9ArcSin[u]Sin[0.6+u^2]})/16)+{15,0,8.9}, {u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

12 La cupola come somma di più superfici 4. Lepicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna: - Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne. Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Cos[ t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),4u- (9ArcSin[2u]Sin[1.3+u^2])})/9)+{0,14.5,11.3},{u,2Pi,- 2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None] Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Co s[t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),- 9ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2]})/9)+{0,-14.5,12.8},{u,2Pi,- 2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

13 La cupola come somma di più superfici 4. Lepicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna: - Dedichiamo una pagina alla spiegazione della formula base della lanterna {[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t], (N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t], +Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]} Questa è la formula dellepicicloide opportunamente modificata. Questa è la formula che determina la curva lungo la quale corre lepicicloide. - Le N sono tutte variabili che permettono di modificare la superficie prodotta. In questa maniera a partire da UNA funzione possiamo determinare diverse forme geometriche, questo perché secondo la nostra analisi le 5 lanterne derivano da una singola curva modificata nei suoi parametri. N: questo valore determina lampiezza generale della superficie N: questo valore termina il numero degli spicchi N: questo valore determina la larghezza del collo della curva N: questo valore determina la larghezza della base della curva N: questo valore determina rispetto lasse z la porzione di curva considerata N: questo valore determina la maggiore o minore curvatura del flesso della funzione {[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t], (N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t], +Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]}

14 La cupola come somma di più superfici 5. Lepicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna - Per il coronamento delle lanterne abbiamo deciso di seguire unaltra via, quella della composizione di diverse superfici, che si tratta di un percorso molto diverso. - Vanno individuate le diverse curve che composte approssimino in maniera soddisfacente la superficie reale, quindi in maniera empirica vanno spostate ingrandite e modificate in modo che si uniscano. coronamento est=ParametricPlot3D[((({(1+Sin[u])(9*Cos[t]- 1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]), 9ArcSin[u](Cos[u]Sin[u])}){1,1,1.5})/75)+{15,0,9.75},{u,0.5,1.5}, {t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> Automatic,PlotRange -> {{-20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None] Moltiplicare per un elenco equivale a scalare la superficie lungo gli assi x,y,z corrispondenti, possiamo quindi ingrandire lungo x,y,z in maniera autonoma. Moltiplicando o dividendo tutto per un singolo valore invece modifica le dimensioni nelle 3 dimensioni in maniera proporzionale. Serve a modificare la posizione lungo gli assi corrispondenti Base coronamento lanterna

15 sopranord=ParametricPlot3D[(((({ (1+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(13)*t]), (1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[13*t]), 9ArcCos[u](Sin[u]Sin[u])})1.85)+{0,0,9.5})/75) +{0,-14.5,13.6},{u,-0.9,0},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> {{-20,20},{- 20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None] La cupola come somma di più superfici 5. Lepicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna - Per la parte superiore del coronamento abbiamo individuato due curve diverse, una concava e una convessa: sopraovest=ParametricPlot3D[((({ (0.65+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(9)*t]), (0.65+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]), 4u+(9ArcSin[2u]Sin[0.8+u^2])})1.63)/75)+{15,0,11.7},{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> {{- 20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

16 5. Lepicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna Particolare della lanterna

17 Rappresentazione effettiva delle cupole


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