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CALCOLO COMBINATORIO. INDICE Che cosè il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizioneraggruppamenti.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO COMBINATORIO. INDICE Che cosè il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizioneraggruppamenti."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO COMBINATORIO

2 INDICE Che cosè il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizioneraggruppamenti con ripetizione Disposizioni Combinazioni Permutazioni

3 PROBLEMI 1.In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? 2.Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? 3.Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? 4.Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? 5.In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse? PS PRCSCR DSDR

4 Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole. VEDI ESEMPI CHE COSE?

5 PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA LORDINE: ab ac bc DISPOSIZIONI semplici (D 3,2 ) COMBINAZIONI semplici (C 3,2 ) avanti

6 PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb DISPOSIZIONI con ripetizione (D 3,2 ) COMBINAZIONI con ripetizione (C 3,2 ) 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA LORDINE: aa ab ac bb bc cc indietro

7 I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte

8 NOMI DEI RAGGRUPPAMENTI DISPOSIZIONI: quando lordine degli elementi è importante. COMBINAZIONI: quando lordine degli elementi non ha alcuna importanza.

9 semplici Disposizioni con ripetizione semplici Combinazioni con ripetizione semplici Permutazioni con oggetti identici TIPI DI RAGGRUPPAMENTI

10 COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

11 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE? ; 13 ; 1421 ; 23 ; 2431 ; 32 ; 34 Il n° di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D 4,2 = 4*3 = ; 42 ; 43

12 IN GENERALE: il n° di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è D n,k = n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali decrescenti a partire da n) PROBLEMI

13 PROBLEMA: DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE? , 12 ; 1321 ; 22 ; 2331 ; 32 ; 33 Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D 3,2 =3*3=3 2 =9

14 IN GENERALE: il n° delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è D n,k = n k PROBLEMI

15 COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

16 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE? ;1-3 ; ; Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C 4,2 = D 4,2 / 2 = 4*3 / 2 =

17 IN GENERALE: il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è C n,k = D n,k / k! = ( ) con n>k n k PROBLEMI

18 PROBLEMA: DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3? Il n° di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a 3 a 3 è : C 2,3 = ( ) = ( ) = 4 a a a a a b a b b b b b

19 IN GENERALE: il n° delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C n,k = (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso k! ) PROBLEMI n(n+1)….. (n+k-1) K !

20 CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

21 PERMUTAZIONI SEMPLICI ESEMPIO : COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A Il n° delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P 3 = D 3,3 = 3*2*1 = 6

22 Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per lordine P n = D n,n P n = n! PROBLEMI

23 PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICI ESEMPIO : COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA L A A L A A A L A A L A A L A A L A A L A A A L A A L A L A A L A LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI, 2 DEI QUALI IDENTICI, SONO: P 3 (2) = P 3 /2! = 3 uguali a 2 a 2

24 IN GENERALE: n se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro… il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: P n (α, β ) = n! α! * β! PROBLEMI

25 E ora risolviamo i problemi formulati allinizio della presentazione !!!!!


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