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1 Misure di trasporto elettronico (Effetto Hall) Modello semplice: Data un barretta a x b x l = x l, nella quale scorre una densità di corrente i = j ortogonale.

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1 1 Misure di trasporto elettronico (Effetto Hall) Modello semplice: Data un barretta a x b x l = x l, nella quale scorre una densità di corrente i = j ortogonale a un campo magnetico B, sui portatori agisce la forza di Lorentz F = e v d x B esistendo quindi un campo elettromotore E H = v d x B = j/ne x B E H = jB/ne essendo j = nev d Si accumulano, quindi, cariche sulle due facce con normale ortogonali a j e B creando un contro-campo elettrostatico E el che cresce finché E el = E H. l a b

2 2 Il segno del campo e della E H dipendono dal segno dei portatori che si accumulano sulla faccia superiore della barretta (dato il verso di B) E H = E el b = j B /ne b = i B b/(n e ) = i B /(n e a) Da cui si possono ricavare segno e concentrazione, n, dei portatori n = i B /(e a E H ) E el genera una d.d.p. E H = E el b che può essere misurata.

3 3 La densità di corrente j = i / = n e v d = n e E L = n e V L /l dalla quale si può ricavare la mobilità,, avendo già ricavato n = i l /( n e V L ) E anche da tener presente il fattore di proporzionalità tra E H e B = E H /B = i /n e a da cui la misura di B tramite misura di E a i costante (sonda Hall) Si individua il coefficiente Hall R H = 1/en

4 4 Una descrizione più accurata è più complessa (Bloch – Boltzmann) Si deve tener conto: a)della struttura a bande del solido, per calcolare la velocità media di portatori e la funzione di distribuzione. c)della frequenza di ciclotrone C, e del tipo di traiettoria dei portatori d)... b) del tempo medio di scattering. Nellipotesi, solitamente utilizzata, B molto elevato, C >> 1, R H assume la forma semplice R H = 1/ne Il coefficiente Hall assume una forma complessa.

5 5 Metodi di misura della resistività e delleffetto Hall La resistenza di un campione si misura velocemente con il metodo volt- amperometrico ( R = V/I ); ma per resistenze molto piccole la resistenza di contatto tra puntali e campione è paragonabile se non maggiore a quella del campione stesso. Quindi si usano quattro punte: due per misurare (o iniettare) la corrente e due tra le quali misurare la V Due geometrie: quattro punte in linea e van der Pauw Il primo preferito per campioni sottili e monocristalli, il secondo per film strutturati, campioni irregolari, ceramici

6 6 Quattro punte (in linea) Campione di forma rettangolare (parallelepipedo) con diversi contatti per le varie misure. ove V O e I sono la d.d.p. longitudinale e la corrente che scorre ; l è la distanza tra i contatti di tensione/resistenza e S la sezione trasversale del campione. La resistività si calcola a partire da Si possono misurare e V H

7 7 Per misurare V H (d.d.p. trasversale dovuta alla presenza di B) potrebbero bastare due contatti ortogonali a B e I. Ma così facendo si misura anche la differenza di resistenza dovuta al disallineamento dei contatti opposti, anche senza B Allora si usano due contatti dalla stessa parte, con un potenziometro (R variabile) tra di loro. Così si azzera la d.d.p. trasversale in assenza di B. Il potenziometro deve avere una resistenza molto maggiore di quella del campione, così da non assorbire corrente, ma senza introdurre ulteriore rumore! Questo metodo è noto come delle cinque punte!

8 8 Svantaggi: - Devono essere note con grande precisione la dimensioni del campione che deve essere molto regolare; - il flusso di corrente deve essere omogeneo in tutto il campione ( campioni lunghi e stretti, circa 4 volte) - le dimensioni dei contatti dovrebbero essere trascurabili rispetto alle dimensione del campione. Tutto ciò non rende questo metodo adatto a piccoli cristalli di forma irregolare.

9 9 Cinque condizioni per poter usare questa geometria 1)Campione piatto e di spessore uniforme, d 2)senza buchi isolati 3)omogeneo e isotropo 4)tutte e quattro i contatti devono essere ai bordi del campione 5)larea di ogni contatto dovrebbe essere almeno un ordine di grandezza inferiore allarea del campione van der Pauw

10 10 la relazione tra resistività e V/I è: ove R 1 = V 1 /I 1 e V 1 è la d.d.p. tra C e D quando tra A e B scorre la corrente I 1. mentre R 2 = V 2 /I 2 con V 2 la d.d.p. tra C e B quando tra A e D scorre la corrente I 2. f è un fattore geometrico che dipende dal rapporto R 1 / R 2 In caso di perfetta simmetria dei contatti R 1 = R 2 e f = 1 Il coefficiente di Hall si può ottenere come ove I è la corrente tra A e C e V H è la differenza tra la d.d.p. V BD con il campo magnetico e senza. C B D A

11 11 Tuttavia può capitare, nella realtà, che V BD,anche senza B, sia molto maggiore di V H a causa del disallineamento dei contatti. Anche piccoli drift in temperatura possono portare a variazioni di resistenza comparabili con il segnale Hall. A questo si può porre rimedio rifacendo la misura con B invertito e mediando. Oppure scambiando i contatti di corrente con quelli di d.d.p.... Rumore elettrico e pratiche sperimentali Il segnale Hall è tipicamente dellordine dei nV, quindi può essere paragonabile o anche inferiore al rumore elettrico. E,quindi, importante utilizzare tecniche sperimentali per ottimizzare il rapporto segnale/rumore.

12 12 Tipici contributi al rumore, sono: 1) rumore bianco (ampio range di frequenze) raccolto dai contatti o dai fili; 2) tensione d.c. dovuta al potenziale di contatto tra fili e campione, o anche a minime differenza di temperatura. Metodo principale per superare questi effetti è luso della modulazione del segnale e della sua misura con un amplificatore agganciato in fase (lock-in). In pratica: 1)Check del segnale a.c. : deve essere proporzionale alla corrente e indipendente dalla frequenza. 2)Nel caso di v.d.P, si misurano R 1 e R 2 per determinare il fattore geometrico f 3)Si porta a zero la d.d.p. senza B, con il potenziometro 4)A ogni valore del campo B, si mediano i due valori ottenuti invertendo il campo

13 13 Sonda Hall per la misura di B (sia esterno che prodotto dal campione) Doppia croce, una col campione e una vuota per sottrarre il contributi del campo magnetico esterno Per misurare la magnetizzazione di un campione

14 14 Strumentazione 2 criostati con T < 1 K ed elevati campi magnetici Generatori di segnale ed amplificatore lock-in

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