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1 I NUMERI IMMAGINARI I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni.

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1 1 I NUMERI IMMAGINARI I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione X = 0 non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo. X = 0 X 2 = -1

2 2 Lunità immaginaria (in matematica) Si definisce: i = unità immaginaria, (è un nuovo numero!!) è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!!. i 2 = -1

3 3 Lunità immaginaria (in elettrotecnica) Si definisce: j = unità immaginaria j 2 = -1

4 4 I NUMERI COMPLESSI a = parte reale b = coefficiente parte immaginaria ( x = parte reale y = coefficiente parte immaginaria) a, b, x, y sono tutti numeri reali!! I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione: a + j b oppure x + j y

5 5 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA NUMERI COMPLESSI diagramma di Argand – Gauss I due numeri Sono chiamati complessi coniugati. Cambia solo il segno della parte immaginaria!!

6 6 DIAGRAMMA DI GAUSS SIGNIFICATO DEI SIMBOLI z = numero complesso x = parte reale (ascissa di z) y = parte immaginaria (ordinata di z) r = z = modulo di z (è la lunghezza del vettore che parte dallorigine e arriva a z) angolo formato tra il vettore r e il verso positivo delle ascisse (è chiamatofase o argomento)

7 7 RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO x = r cos ( ) y = r sen ( ) r 2 = x 2 + y 2

8 8 ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase z = x + jy = 3 + j 4 Modulo: r 2 = x 2 + y 2 = =25 r = 5 Fase : = arctg (y/x) = arctg (4/3) = arctg(1,25) = 51,34 °

9 9 ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase (complesso coniugato) = x - jy = 3 - j 4 Modulo: r 2 = x 2 + y 2 = (3) 2 +(- 4) 2 =25; r = 5 Fase : = arctg (y/x) = arctg (- 4/3) = arctg(- 1,25) = - 51,34 ° Nota: cambia solo la fase

10 10 ESEMPI DI CALCOLO: 2° quadrante z = j 10 Modulo: r 2 = x 2 + y 2 = (-3) 2 + (10) 2 r 2 = = 109 r = 10,44 Fase : = arctg (y/x) = arctg [10/(- 3)] = arctg(- 3,33) = - 73,28° = 180° - = 180° - 73,28° = 106,72° Re Im + j z r -

11 11 ESEMPI DI CALCOLO : 4° quadrante z = 3 - j 10 Modulo: r 2 = x 2 + y 2 = (3) 2 + (-10) 2 r 2 = = 109 r = 10,44 Fase : = arctg (y/x) = arctg [(-10)/ 3] = arctg(- 3,33) = - 73,28° Nota: negli ultimi due esempi cambia solo la fase ( si calcola sempre con il verso positivo dellasse reale) Re Im - j 10 3 z r

12 12 ESEMPI DI CALCOLO : 3° quadrante z = j 10 Modulo: r 2 = x 2 + y 2 = (-3) 2 + (-10) 2 r 2 = = 109 r = 10,44 Fase : = arctg (y/x) = arctg [(-10)/(- 3)] = arctg( 3,33) = 73,28° = - (180° - ) = - 180° + 73,28° = - 106,72° Re Im - j z r

13 13 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI SOMMA z 1 = x 1 +jy 1 z 2 = x 2 +jy 2 z 1 + z 2 = (x 1 +jy 1 )+(x 2 +jy 2 ) z 1 + z 2 =(x 1 +x 2 ) + j(y 1 +y 2 ) Per effettuare la somma di due numeri complessi, come z 1 e z 2, si sommano tra loro le parti reali (x 1 +x 2 ) e le parti immaginarie (y 1 +y 2 )

14 14 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della somma x y z1z1 z2z2 z 1 +z 2 x1x1 x2x2 x 1 +x 2 y1y1 y2y2 y 1 +y 2

15 15 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI Per effettuare la differenza di due numeri complessi, come z 1 e z 2, si sottraggono tra loro le parti reali (x 1 -x 2 ) e le parti immaginarie (y 1 -y 2 ) DIFFERENZA z 1 = x 1 +jy 1 z 2 = x 2 +jy 2 z 1 - z 2 = (x 1 +jy 1 )-(x 2 +jy 2 ) z 1 - z 2 =(x 1 -x 2 ) + j(y 1 -y 2 )

16 16 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della differenza y z1z1 z2z2 z 1 - z 2 x x 1 - x 2 y 1 - y 2

17 17 SOMMA z 1 = x 1 +jy 1 = 2 + j 5 z 2 = x 2 +jy 2 = 8 + j 2 z 1 + z 2 =(x 1 +x 2 ) + j(y 1 +y 2 ) z 1 + z 2 =(2+8)+j(5+2) z 1 + z 2 = 10+j7 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI Esercizi DIFFERENZA z 1 = x 1 +jy 1 = 2 + j 5 z 2 = x 2 +jy 2 = 8 + j 2 z 1 - z 2 =(x 1 -x 2 ) + j(y 1 -y 2 ) z 1 - z 2 =(2-8) + j(5-2) z 1 - z 2 = j3

18 18 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercizi precedenti SOMMA x y z1z1 z2z2 z 1 +z j 5 j 2 j 7

19 19 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercizi precedenti DIFFERENZA Im z1z1 z2z2 z 1 - z j 5 j 2 j 3 - z 2 Re

20 20 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO z 1 = x 1 +jy 1 ; z 2 = x 2 +jy 2 z 1 * z 2 = ( x 1 + jy 1 ) * ( x 2 + jy 2 ) z 1 * z 2 = (x 1 *x 2 + x 1 *jy 2 + jy 1 *x 2 + jy 1 *jy 2 ) z 1 * z 2 = (x 1 *x 2 + x 1 *jy 2 + jy 1 *x 2 + j 2 y 1 *y 2 )j 2 z 1 * z 2 = (x 1 *x 2 + x 1 *jy 2 + jy 1 *x 2 + (-1)* y 1 *y 2 ) Continua /….

21 21 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO z 1 * z 2 = (x 1 *x 2 + x 1 *jy 2 + jy 1 *x 2 - y 1 *y 2 ) z 1 * z 2 = (x 1 *x 2 - y 1 *y 2 ) + j (x 1 *y 2 +y 1 *x 2 ) Esempio: z 1 = x 1 + j y 1 = -3+j4; z 2 = x 2 + j y 2 = 5 – j 7 z 1 * z 2 = (-3+j4)*(5 – j 7) = =(-3)*5+(-3)*(- j7)+j4*5+j4*(-j7)= -15+j21+j20+28= = j(21+20)=13+j41 Parte reale Parte immaginaria

22 22 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso, quindi con una parte reale ed una immaginaria. Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operazione chiamata razionalizzazione.

23 23 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE z 1 = x 1 +jy 1 ; z 2 = x 2 +jy 2 Loperazione di razionalizzazione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la frazione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della frazione con il segno della parte immaginaria cambiata

24 24 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE

25 25 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Parte realeParte immaginaria

26 26 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI DIVISIONE O FRAZIONE

27 27 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZIO IMPORTANTE !!!!!


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