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Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 8 1.

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1 Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 8 1

2 Per poter applicare i modelli MA, AR e ARMA alle serie storiche reali è utile analizzarne le caratteristiche. In particolare dobbiamo verificare quando tali strutture sono coerenti con le ipotesi di stazionarietà e invertibilità e con quali strutture di dipendenza lineare sono compatibili.

3 MODELLO MA(1) (B) = B Z t = ( B )a t a t WN(0, 2 a ) Z t = a t - 1 a t-1 Con la costante il modello diviene più generale: Z t = c+ a t - 1 a t-1 QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO MA(1) ? è stazionario? è invertibile?

4 MOMENTI DI UN MA(1) MEDIA = E(Z t )= E(c+ a t - 1 a t-1 ) = E(c) + E(a t ) – E( 1 a t-1 ) = c + 0 – 1 0 = c La costante coincide con il valore atteso. La media non dipende da t.

5 VARIANZA Var (Z t ) = E(Z t - ) 2 = E(Z t - c ) 2 = E(a t - 1 a t-1 ) 2 = E(a 2 t a 2 t-1 – 2 1 a t a t-1 ) = E(a 2 t )+ 2 1 E(a 2 t-1 ) – 2 1 E(a t a t-1 ) = 2 a a – = 2 a ( ) La varianza non dipende da t. N.B. : 1) Z t = c+ a t - 1 a t-1 Z t – c = a t - 1 a t-1 2) E(a 2 t ) = E(a 2 t-1 ) = 2 a 3) E(a t a t-1 )=0 perché a t è incorrelato

6 AUTOCOVARIANZA AL LAG 1 1 = acov(Z t, Z t-1 ) = E(Z t - )(Z t-1 - )= E(Z t - c ) )(Z t-1 - c) = E(a t - 1 a t-1 ) (a t a t-2 ) = E(a t a t a 2 t-1 – 1 a t a t a t-1 a t-2 ) = E(a t a t-1 )- 1 E(a 2 t-1 ) – 1 E(a t a t-2 )+ 2 1 E(a t-1 a t-2 ) = a – = a Lautocovarianza non dipende da t, ma solo dal parametro 1 e dalla varianza di a t N.B. : Z t – c = a t - 1 a t-1 Z t-1 – c = a t a t-2

7 AUTOCORRELAZIONE AL LAG 1 1 = 1 / 0 = [- 1 2 a ] / [ 2 a ( ) ] = - 1 / ( ) L autocorrelazione non dipende da t, ma solo dal parametro 1.

8 AUTOCOVARIANZA AL LAG 2 2 = acov(Z t, Z t-2 ) = E(Z t - )(Z t-2 - )= = E(Z t - c ) )(Z t-2 - c) = E(a t - 1 a t-1 ) (a t a t-3 ) = E(a t a t-2 – 1 a t-1 a t-2 – 1 a t a t a t-1 a t-3 ) = E(a t a t-1 )- 1 E(a t-1 a t-2 ) – 1 E(a t a t-3 ) E(a t-1 a t-3 ) = 0 – 1 0 – = 0 In generale, lautocovarianza (autocorrelazione) sarà nulla per k > 1. Anche questa autocovarianza non dipende da t NellMA(1) il valore dellautocovarianza dipende dal lag k e non da t.

9 CORRELOGRAMMA DI UN MA(1) -Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili 1 >0 1 <0

10 AUTOCORRELAZIONE PARZIALE -Il correlogramma di un MA(1) ha due soli andamenti possibili: in entrambi i casi decade a 0 in termini esponenziali 1 >0 1 <0

11 In conclusione: Il modello MA(1) è coerente con lipotesi di stazionarietà: -Media, varianza, autocovarianza e autocorrelazione non dipendono dal tempo -Le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione dipendono da k e, in particolare, si troncano per k > 1

12 INVERTIBILITÀ DI UN MA(1) Z t = c+ a t - 1 a t-1 a t WN(0, 2 a ) Invertibilità richiede di poter riscrivere Z t in funzione del suo passato e di a t Z t = a t - 1 a t-1 a t = Z t + 1 a t-1 a t-1 = Z t a t-2 a t-2 = Z t a t-3 ecc. Ne segue: Z t = a t - 1 (Z t a t-2 ) = a t - 1 Z t a t-2 = a t - 1 Z t (Z t a t-3 ) = a t - 1 Z t Z t a t-3 = … = - 1 Z t Z t-2 - … - h 1 a t-h Per | |<1 il termine h 1 a t-h tende a 0 per h e Z t risulta invertibile. N.B.: un modello MA(1) invertibile può essere scritto come un modello AR( )

13 INVERTIBILITÀ DI UN MA(1) Consideriamo i due modelli Z t = c+ a t - 1 a t-1 e Z t = c+ a t – (1/ 1 ) a t-1 Essi hanno la stessa funzione di autocorrelazione. Quindi, nei modelli MA(1) non cè corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione. Tuttavia: tra i due modelli, uno solo è invertibile. Infatti, se | 1 | 1, e viceversa. Per i modelli MA(1) invertibili cè corrispondenza biunivoca tra modello e funzione di autocorrelazione.

14 CONDIZIONE DI INVERTIBILITÀ La condizione di invertibilità di un MA(1) può essere espressa su 1 oppure sulla radice del polinomio caratteristico (B) = B B = 0 B = 1/ 1 Ne segue: | 1 Nei modelli di ordine superiore a 1 la condizione di invertibilità viene SEMPRE espressa sulle radici del polinomio caratteristico.

15 MODELLO MA(q) Z t = ( B - … - q B q )a t a t WN(0, 2 a ) -Sempre stazionario -Invertibile se le radici del polinomio caratteristico (B)= B - … - q B q sono in modulo maggiori di 1 -La f.a.c. si tronca per k>q -La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 -Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte MA(q) AR( )


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