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Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) GLI INSIEMI 2^PARTE LE OPERAZIONI.

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1 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) GLI INSIEMI 2^PARTE LE OPERAZIONI

2 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) INTERSEZIONE A B A B è linsieme degli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B cioè gli elementi in comune Scriveremo: A B A B = x x A x B ^ simbolo di congiunzione, si legge: e contemporaneamente ^

3 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B a d c b e f g h l i C m n esempio - intersezione fra tre insiemi A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l C = m; n; d Dati gli insiemi: Trovare: A B C Solo lelemento d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi, quindi: A B C = {d}

4 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE A A = A A = se B A allora A B = B A Ā = A U = A se A B =, A e B si dicono DISGIUNTI

5 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) UNIONE A B A B A B è linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati A B = x x A v x B V simbolo di disgiunzione si legge: o – oppure Scriveremo:

6 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) CASI PARTICOLARI DELLUNIONE A A = A A = A se B A allora A B = A A Ā= U se A e B sono insiemi disgiunti allora A B è formata da tutti gli elementi di A e di B

7 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l A B esempi A B

8 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) DIFFERENZA. A - B A B si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A B ) è linsieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B Scriveremo: A - B = x x A x B ^

9 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B esempi: differenza A - B e B - A A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l a d c b e f g h l i A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l si noti che A - B B-A

10 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A - A = A - = A se A B = allora A - B = A e B - A = B se B A allora B - A = CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA

11 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) INSIEME DELLE PARTI P(A) A a c b A = a; b; c; a; b; c dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) linsieme di tutti i SOTTOINSIEMI propri e impropri di A. abc a; b a; c b; c P (A) = ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c Si noti che gli elementi di P (A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) contiene 2 n sottoinsiemi dato linsieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono: quindi: Nelles. di fig. si ha: n =3 2 3 =8

12 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) PARTIZIONE DI UN INSIEME A Ai A e Ai, i A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 ogni sottoinsieme è proprio A i A k = con i k i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = A lunione di tutti i sottoinsiemi dà linsieme A dato un insieme A, si consideri un certo numero n di suoi sottoinsiemi (che indichiamo con Ai ) si dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di A se:

13 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) PRODOTTO CARTESIANO dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x A e y B, si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B (si indica A x B, si legge A cartesiano B), linsieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y) A x B = (x; y) x A e y B es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1; 2 A a b c B 1 2 A x B = (a; 1),(a; 2),(b; 1),(b; 2),(c; 1), (c; 2) Scriveremo: avremo: (è un insieme di coppie di elementi) IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nelles. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.

14 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO Rappresentazione SAGITTALE Rappresentazione CARTESIANA a b c 1 2 A B a c 1 2 b A B x y sullasse x si rappresentano nellordine gli elementi di A sullasse y si rappresentano nellordine gli elementi di B OGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI Rappresentazione mediante TABELLE A DOPPIA ENTRATA RAPPRESENTAZIONE DELLES. PRECEDENTE:

15 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi: (x; y) (y; x) A x A = A 2 di conseguenza: A x B B x A A x B x C B x A x C B x A x C A x C x B …. se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C allora linsieme prodotto cartesiano dei tre insiemi conterrà m x n x p elementi.

16 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) il diagramma ad albero Esso è utile per determinare linsieme di tutte le possibili coppie ordinate di un prodotto cartesiano. Es. Siano dati gli insiemi: B = ; C = 1; 2; 3 A = a; b a e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C b (a; ; 1) (a; ; 2) (a; ; 3) (a; ; 1) (a; ; 2) (a; ; 3) (b; ; 1) (b; ; 2) (b; ; 3) (b; ; 1) (b; ; 2) (b; ; 3) SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG. Nel nostro caso non avremo delle coppie ma delle terne ordinate di elementi. Per la determinazione è sufficiente seguire il percorso delle frecce ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES. C x B x A

17 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B a d c b e f g h l i C m n Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l C = m; n; d Dati gli insiemi: Trovare: C – ( A B) C – (A B ) = {m; n} A B = d; e; f troviamo prima A B : quindi:

18 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B C Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta larea evidenziata: (B C ) – A Notiamo che è una parte fra lintersezione di B con C ( C B) ma che non appartiene ad A … quindi

19 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B C Esercizio - unione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta larea evidenziata: (A B ) – C Notiamo che è una parte fra lunione di A con B ( A B) ma che non appartiene ad C … quindi

20 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B C Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta larea evidenziata: C – (A B ) Notiamo che: una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B (A B ) – C una 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B ma che non appartengono a C Quindi la larea evidenziata è lunione fra le due parti [ C – (A B ) ] [ (A B ) – C ]

21 Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO EINSTEIN MOTTOLA (TA) A B = B A LE PROPRIETA DEGLI INSIEMI A B = B A Propr. COMMUTATIVA (A B) C = A (B C) Propr. ASSOCIATIVA A (B C) = (A B) (A C) Propr. DISTRIBUTIVA A (A C) = A Propr. dell ASSORBIMENTO A B = A B A B = B A LEGGI di DE MORGAN


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