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SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio. 2 Ripassiamo i prodotti notevoliNOMETIPOSVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b ) 2 a 2 + 2ab + b 2 TRINOMIO.

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1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un polinomio

2 2 Ripassiamo i prodotti notevoliNOMETIPOSVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b ) 2 a 2 + 2ab + b 2 TRINOMIO TRINOMIO Cubo di un binomio ( a + b ) 3 a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3 QUADRINOMIO QUADRINOMIO Somma per differenza ( a + b ) ( a – b ) a 2 – b 2 BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) [(a+b) 2 – c 2 ] = a 2 + 2ab + b 2 – c QUADRINOMIO QUADRINOMIO Quadrato di un trinomio ( a + b + c ) 2 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc POLINOMIO POLINOMIO Senza nome Senza nome ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 ) a 3 + b 3 BINOMIO ( a – b ) ( a 2 +ab + b 2 ) a 3 – b 3 BINOMIO PROSEGUIAMO

3 3 Ripassiamo i prodotti notevoliNOMETIPOSVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b ) 2 a 2 + 2ab + b 2 TRINOMIO TRINOMIO Cubo di un binomio ( a + b ) 3 a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3 QUADRINOMIO QUADRINOMIOQUADRINOMIO Somma per differenza ( a + b ) ( a – b ) a 2 – b 2 BINOMIO ( a + b + c )( a + b – c ) [(a+b) 2 – c 2 ] = a 2 + 2ab + b 2 – c QUADRINOMIO QUADRINOMIO Quadrato di un trinomio ( a + b + c ) 2 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc POLINOMIO POLINOMIO Senza nome Senza nome ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 ) a 3 + b 3 BINOMIO ( a – b ) ( a 2 +ab + b 2 ) a 3 – b 3 BINOMIO RITORNIAMO ALLA DIAPOSITIVA N. 8

4 4 Come faccio a scomporre in fattori primi?

5 5 Vedo se cè da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: Vedo se cè da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALERACCOGLIMENTO TOTALERACCOGLIMENTO TOTALE PRIMA DI TUTTO… AltrimentiAltrimenti… RIASSUMENDO

6 6 Vedo se cè da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: Vedo se cè da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il: RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO TOTALERACCOGLIMENTO TOTALERACCOGLIMENTO TOTALE PRIMA DI TUTTO… AltrimentiAltrimenti… RIASSUMENDO

7 7 Conto Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole BINOMIO TRINOMIO QUADRINOMIO POLINOMIO ALTRIMENTI OPPURE RIASSUMENDO

8 8 Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevoleprodotto notevoleprodotto notevole BINOMIO TRINOMIO QUADRINOMIO POLINOMIO ALTRIMENTI OPPURE RIASSUMENDO

9 9 faccio faccio il raccoglimento parziale. OPPURE

10 10 faccio il raccoglimento parziale. faccio il raccoglimento parziale.raccoglimento parziale.raccoglimento parziale. OPPURE RIASSUMENDO

11 11 BINOMIO Raccoglimento totale Raccoglimento totale Differenza di due quadrati Differenza di due quadrati ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati Somma di due quadrati NON SI PUO SCOMPORRE Somma di due cubi Somma di due cubi a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Differenza di due cubi Differenza di due cubi a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) TRINOMIO Raccoglimento totale Raccoglimento totale a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 Quadrato di un binomio Quadrato di un binomio a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole Trinomio notevole x 2 + sx + p = (x + a )(x + b ) Se s = a + b e p = ab Ruffini QUADRINOMIO Raccoglimento totale Raccoglimento totale Cubo di un binomio Cubo di un binomio a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = ( a + b ) 3 Raccoglimento parziale Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2 - 2ab – x 2 =(a - b) 2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ruffini POLINOMIO Raccoglimento totale Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Raccoglimento parziale Quadrato di un trinomio Quadrato di un trinomio a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 Ruffini

12 12 RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l M.C.D. dei monomiM.C.D. 3a 2 b 3a 2 b - 5a 3 b 4 5a 3 b 4 + a 4 b 6 a 4 b 6 = a2b a2b a2b a2b ( 3 - 5ab 3 5ab 3 + a 2 b 5 a 2 b 5 ) RIASSUMENDO

13 13 RACCOGLIMENTO TOTALE: raccolgo l M.C.D. dei monomiM.C.D. 3a 2 b - 5a 3 b 4 + a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5ab 3 + 4a 2 b 5 ) RIASSUMENDO

14 14 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a 3 b 10a 3 b + 2xb - 5a 3 5a 3 – x = ( b – 1 )+ 2x ( b - 1) 1) = ( b – 1 )( )( 5a 3 5a 3 + 2x ) RIASSUMENDO

15 15 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a 3 b + 2xb - 5a 3 – x = 5a 3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) = ( b – 1 )( 5a 3 + 2x ) ( b – 1 )( 5a 3 + 2x ) RIASSUMENDO

16 16 BINOMIO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 a 2 – b2 b2 b2 b2 ) = ( a – b )( a + b ) DIFFERENZA DI CUBI a 3 a 3 – b3 b3 b3 b3 = ( a – b )( a 2 a 2 +ab + b2 b2 b2 b2 ) SOMMA DI CUBI a 3 a 3 + b3 b3 b3 b3 = ( a + b )( a 2 a 2 –ab+ b2 b2 b2 b2 ) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

17 17 BINOMIO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( a 2 – b 2 ) = ( a 2 – b 2 ) = ( a – b )( a + b ) ( a – b )( a + b ) DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI a 3 – b 3 = a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab+ b 2 ) ( a + b )( a 2 – ab+ b 2 ) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati NON si scompone mai!!!) Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

18 18 TRINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati quadrati e dal doppio prodotto prodotto delle basi) 16a 4 16a 4 + b2 b2 b2 b2 - 8a 2 b 8a 2 b = (4a 2 (4a 2 - b) 2 TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre sempre del tipo : x 2 x 2 + sx sx + p con s= a + b e p= ab ) x 2 x 2 - 9x 9x – = ( x – 12 ) ( x + 3 ) Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

19 19 TRINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO (è un trinomio formato da: due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) due quadrati e dal doppio prodotto delle basi) 16a 4 + b 2 - 8a 2 b = (4a 2 - b) 2 (4a 2 - b) 2 TRINOMIO NOTEVOLE TRINOMIO NOTEVOLE ( deve essere sempre del tipo : x 2 + sx + p con s = a + b e p = ab ) x 2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

20 20 QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO (ci sono sono due cubi cubi e due tripli prodotti prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dellaltra) a3 a3 a3 a3 + b3 b3 b3 b3 + 3a 2 b 3a 2 b + 3ab 2 3ab 2 = ( a + b )3)3)3)3 DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il il quadrato di un binomio) a 2 a 2 + b 2 b 2 - 2ab 2ab – x2 x2 x2 x2 = (a - b) 2 b) 2 - x2 x2 x2 x2 = [ (a –b) –b) + x ] [ (a – x ] Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

21 21 QUADRINOMIO CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO (ci sono due cubi e due tripli prodotti di ognuna delle due basi per il quadrato dellaltra) a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = ( a + b ) 3 ( a + b ) 3 DIFFERENZA DI DUE QUADRATI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 + b 2 - 2ab – x 2 = (a - b) 2 - x 2 = (a - b) 2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x ] Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

22 22 POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre (tre quadrati quadrati e tre doppi prodotti prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a2 a2 a2 a2 + b2 b2 b2 b2 + c2 c2 c2 c2 + 2ab 2ab + 2ac 2ac + 2bc = ( a + b + c )2)2)2)2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

23 23 POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO (tre quadrati e tre doppi prodotti di ciascuna delle basi per le altre) a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI REGOLA DI RUFFINI Ritorna ai prodotti notevoli RIASSUMENDO

24 24 REGOLA DI RUFFINI x 5 – 10x – 12 = = ( x – 2 ) ( x4 x4 + 2x3 2x3 +4x2 +4x2 +8x + 6 )

25 25 M.C.D. fra polinomi L M.C.D. fra due o più polinomi è costituito SOLO SOLO dai fattori COMUNI, COMUNI, presi una sola volta con il minimo esponente Pertanto bisogna scomporre in fattori primi i monomi che compongono il polinomio e poi calcolare l M.C.D.

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