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Elementi di Logica matematica Prima parte a cura di Fabio Cipollone.

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Presentazione sul tema: "Elementi di Logica matematica Prima parte a cura di Fabio Cipollone."— Transcript della presentazione:

1 Elementi di Logica matematica Prima parte a cura di Fabio Cipollone

2 Definizione Si chiama proposizione o enunciato una frase di tipo dichiarativo per la quale si può stabilire senza ambiguità se essa è vera o è falsa. La verità o falsità di un enunciato viene detto valore di verità dellenunciato. Proposizioni

3 Sono proposizioni, ad esempio, le seguenti frasi: 2 è un numero primo 7 è multiplo di 3 Pescara è un capoluogo di provincia Fuori piove Francesca ha 18 anni Carlo è più alto di Matteo. Proposizioni

4 Le seguenti frasi, invece, non sono proposizioni: Che ore sono? Stai zitto! Che bella sorpresa mi hai fatto! Paolo è simpatico LInter questanno vincerà il campionato Proposizioni

5 Tre principi fondamentali: 1) Il principio di identità: ogni proposizione ha lo stesso valore di verità di se stessa 2) Il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa. Proposizioni

6 3) Il principio del terzo escluso: una proposizione o è vera, o è falsa, non esiste una terza possibilità. Poiché, per il principio del terzo escluso, si hanno solo due possibili valori di verità (vero o falso), si parla di logica binaria. Proposizioni

7 Definizione Una proposizione si dice semplice (o atomica) se contiene un solo predicato. Proposizioni

8 Ad esempio, le proposizioni inizialmente considerate: 2 è un numero primo 7 è multiplo di 3 Pescara è un capoluogo di provincia Fuori piove Francesca ha 18 anni Carlo è più alto di Matteo sono tutte proposizioni semplici. Proposizioni

9 Definizione Una proposizione si dice composta (o molecolare) se è formata da due o più proposizioni semplici, collegate tra loro mediante delle locuzioni dette connettivi logici: e, o,se… allora,se e solo se. Proposizioni

10 Ad esempio: Luca va a scuola in bici e cè il sole Se cè il sole, allora Luca va a scuola in bici sono proposizioni composte. Una proposizione composta si può considerare come il risultato di operazioni tra proposizioni semplici, in cui gli operatori sono i connettivi logici. Proposizioni

11 Il problema che si pone è allora il seguente: come si può stabilire il valore di verità di una proposizione composta, conoscendo il valore di verità delle proposizioni semplici da cui è composta? Di questo si occupa il calcolo delle proposizioni. Per svilupparlo si devono definire con precisione le operazioni tra le proposizioni e le regole con le quali si eseguono. Proposizioni

12 Operazioni logiche

13 Tavola di verità della congiunzione Operazioni logiche pq VVV VFF FVF FFF

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17 Tavola di verità della disgiunzione inclusiva Operazioni logiche pq VVV VFV FVV FFF

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21 Tavola di verità della disgiunzione esclusiva Operazioni logiche pq VVF VFV FVV FFF

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24 Tavola di verità della negazione Operazioni logiche p VF FV

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27 Tavola di verità dellimplicazione materiale Operazioni logiche Quindi: se lantecedente è vera, limplicazione è vera se e solo se anche la conseguente è vera; se lantecedente è falsa, limplicazione è vera qualunque sia il valore di verità della conseguente. pq VVV VFF FVV FFV

28 Operazioni logiche pq VVV Il professore ha detto il vero: lallievo ha studiato, ed è stato promosso. VFF Il professore ha detto il falso: lallievo ha studiato, ma non è stato promosso. FVV Il professore ha detto il vero in entrambi i casi: lallievo non ha studiato, cioè non ha rispettato la condizione posta dal suo professore, quindi ogni conseguenza è possibile, promozione o bocciatura! FFV

29 Operazioni logiche

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32 Tavola di verità della coimplicazione materiale Operazioni logiche pq VVV VFF FVF FFV

33 pq VVV Il professore ha detto il vero: lallievo è stato promosso, avendo studiato. VFF Il professore ha detto il falso: lallievo è stato promosso, pur non avendo studiato. FVF Il professore ha detto il falso: lallievo non è stato promosso, pur avendo studiato. FFV Il professore ha detto il vero: lallievo non è stato promosso, non avendo studiato.

34 Definizione Due proposizioni composte si dicono logicamente equivalenti se assumono lo stesso valore di verità in corrispondenza degli stessi valori di verità assunti dalle proposizioni componenti, se hanno cioè la stessa tavola di verità. Proposizioni logicamente equivalenti

35 Osservazione Unimplicazione materiale e la sua contronominale sono logicamente equivalenti. Per dimostrarlo basta confrontare le rispettive tavole di verità: Proposizioni logicamente equivalenti pq VVVFFV VFFVFF FVVFVV FFVVVV

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37 I connettivi logici con Excel

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40 Si può stabilire la seguente corrispondenza tra operazioni logiche ed insiemistiche: Operazioni logiche ed insiemistiche Operazione logicaOperazione insiemistica CongiunzioneIntersezione Disgiunzione incl.Unione NegazioneComplementare Per le operazioni tra proposizioni valgono le stesse proprietà delle corrispondenti operazioni tra insiemi:

41 Proprietà delle operazioni logiche

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43 Definizioni Una proposizione composta viene detta tautologia se essa è vera qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti. Una proposizione composta viene detta contraddizione se essa è falsa qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti. Tautologie e contraddizioni

44 Alcune tautologie notevoli


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