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Filosofia della matematica… matematica della filosofia.

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Presentazione sul tema: "Filosofia della matematica… matematica della filosofia."— Transcript della presentazione:

1 Filosofia della matematica… matematica della filosofia

2 Matematica in letteratura La vita, istruzioni per luso di Georges Perec. In questo romanzo Perec racconta come in un istantanea la vita di alcune persone che abitano in un condominio con 100 appartamenti: 10 piani con 10 appartamenti per piano. Supponendo che ad ogni azione o situazione della vita di tali persone corrispondano ad esempio delle lettere e dei numeri, si osserva che il condominio 10x10 è una quadrato alfanumerico: infatti sulla medesima riga o colonna non compare mai due volte la stessa lettera o lo stesso numero. Perec era membro di una associazione di cui facevano parte letterati che sinteressavano di matematica e viceversa matematici interessati di letteratura, l OuLiPo, Ouvrois de Littérature Potentielle. La vita, istruzioni per luso di Georges Perec. In questo romanzo Perec racconta come in un istantanea la vita di alcune persone che abitano in un condominio con 100 appartamenti: 10 piani con 10 appartamenti per piano. Supponendo che ad ogni azione o situazione della vita di tali persone corrispondano ad esempio delle lettere e dei numeri, si osserva che il condominio 10x10 è una quadrato alfanumerico: infatti sulla medesima riga o colonna non compare mai due volte la stessa lettera o lo stesso numero. Perec era membro di una associazione di cui facevano parte letterati che sinteressavano di matematica e viceversa matematici interessati di letteratura, l OuLiPo, Ouvrois de Littérature Potentielle. La disparition, lipogramma di Georges Perec. È interessante osservare come in tutto il romanzo, che supera le trecento pagine, non faccia mai uso della lettera e. La cosa divertente è che prima che si capisse a cosa si riferiva il titolo, la scomparsa, i critici avanzarono numerose ipotesi, e solo dopo che Perec stesso svelò il segreto si accorsero che a scomparire era stata proprio la lettere e!. La disparition, lipogramma di Georges Perec. È interessante osservare come in tutto il romanzo, che supera le trecento pagine, non faccia mai uso della lettera e. La cosa divertente è che prima che si capisse a cosa si riferiva il titolo, la scomparsa, i critici avanzarono numerose ipotesi, e solo dopo che Perec stesso svelò il segreto si accorsero che a scomparire era stata proprio la lettere e!.

3 Se una notte dinverno un viaggiatore, Italo Calvino Se una notte dinverno un viaggiatore, Italo Calvino Le avventure di Alice nel paese delle meraviglie, Lewis Carrol Le avventure di Alice nel paese delle meraviglie, Lewis Carrol Attraverso lo specchio e ciò che alice vi trovò, Lewis Carroll Possono essere letti come semplici romanzi, ma in cui un lettore competente può facilmente notare la presenza di una struttura legata alla matematica, nonché di continui riferimenti alla matematica od anche alla scienza. Attraverso lo specchio e ciò che alice vi trovò, Lewis Carroll Possono essere letti come semplici romanzi, ma in cui un lettore competente può facilmente notare la presenza di una struttura legata alla matematica, nonché di continui riferimenti alla matematica od anche alla scienza. Matematica in letteratura

4 La presenza di influenze matematiche in letteratura è stata raccolta in un antologia: Racconti Matematici curata da C. Bartocci.

5 Kant anticipa Gödel Nella Critica della Ragion Pura, Immanuel Kant evidenzia la presenza di tre idee trascendentali, che sorgono quando luomo spinge al limite alcuni aspetti di sé stesso o della realtà che conosce. Le tre idee sono: Mondo Mondo Anima Anima Dio Dio

6 Kant osserva che quando si cerca di trarre una conclusione a partire da tali idee o di dimostrare qualcosa riguardante le idee trascendentali si giunge a una contraddizione. Ad esempio fornisce una dimostrazione del fatto che luniverso è finito, mentre subito dopo riesce a dimostrare il contrario. Kant anticipa Gödel

7 Ciò può essere considerato come un esempio ante litteram dellindecidibilità Gödeliana. Ovvero è impossibile da essere umani, allinterno del nostro sistema, decidere se le proposizioni che si spingono al limite, come quelle riguardanti le idee trascendentali, siano vere o false. Esse sono infatti indecidibili. Kant anticipa Gödel

8 Russel e Frege Frege era un logicista: ovvero sosteneva che tutta la matematica poteva ricondursi alla logica. Dunque attraverso la logica si potevano dedurre i fondamenti e i comportamenti della matematica. Questo deriva dallipotesi che tutti i processi matematici siano di fatto analitici.

9 Definizione di numero per Frege: Il numero n è la classe che raccoglie tutti gli insieme di n elementi. Ma nella definizione del concetto di numero si fa riferimento al concetto stesso. Si utilizza quindi la corrispondenza biunivoca, giungendo alla seguente definizione Russel e Frege

10 I numeri sono classi di insiemi che hanno la seguente proprietà: tutti gli insiemi della medesima classe possono essere messi in corrispondenza biunivoca, ovvero: Se A,B appartengono alla medesima classe, ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B. Russel e Frege

11 Ma Bertrand Russel si accorse di una contraddizione, di un problema nella definizione di insieme e di classe di insiemi, che rendeva vano il tentativo logicista di Frege per formalizzare logicamente la matematica. La contraddizione è evidenziabile nella nota antinomia di Russel. Russel e Frege

12 Si provi a definire il seguente insieme come: Linsieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elemento. La contraddizione a cui si giunge è evidente. Il problema nella definizione di insieme rende allora vana anche tutta la formalizzazione che da tale concetto scaturisce. Russel e Frege

13 Funzioni ricorsive Consideriamo la funzione definita nel modo seguente: Questa è la formulazione ricorsiva (implicita) della famosa sequenza di Fibonacci. Si osserva come sia una funzione che vada dai naturali ai naturali. E se volessimo una formulazione esplicita f(n)=…?

14 La forma esplicita della funzione è: Dove Φ è il numero aureo: È interessante dunque osservare che per passare dalla formulazione implicita a quella esplicita i numeri naturali, allinterno di cui la funzione stessa è definita, non bastano più: compare infatti la radice quadrata di 5, un numero irrazionale! Funzioni ricorsive

15 Consideriamo ora questa funzione in forma implicita: Proviamo dunque a calcolarla effettivamente: È evidentemente una serie infinita di condizioni! Funzioni ricorsive

16 Si osserva però che la forma esplicita di tale funzione è davvero semplicissima! Dunque è importante anche la forma con cui viene espressa una funzione matematica. Forme diverse hanno conseguenze diverse: si veda lesempio precedente in cui, per una formulazione esplicita della serie di Fibonacci, non bastavano più i numeri naturali. Funzioni ricorsive

17 Il ruolo delle dimostrazioni Le dimostrazioni servono ad accertare (appunto dimostrare) la verità di un teorema, di un asserto matematico. Sono dunque la garanzia, la prova effettiva della verità. Ma sono soltanto questo?

18 No! Infatti si può giungere allo stesso risultato (la verità di un teorema) attraverso diverse strade, con diversi metodi dimostrativi. Dimostrazioni diverse possono portare a sviluppi diversi in quellambito di studio! Il ruolo delle dimostrazioni

19 La serie armonica converge? Apparentemente, sembra convergere, visto che il termine ennesimo, diviene sempre più piccolo. Di ciò fu data una dimostrazione visiva (falsa). Il ruolo delle dimostrazioni

20 Sommando spicchietti sempre più piccoli: Sembra si ottenga una area limitata..in realtà… Il ruolo delle dimostrazioni

21 È possibile raggruppare gli elementi della serie armonica in gruppi aventi per somma un valore maggiore di ½: Dunque la serie armonica maggiora la serie ½+½+½+…, la cui somma evidentemente diverge, dunque a maggior ragione deve divergere anche la serie armonica! Il ruolo delle dimostrazioni

22 I numeri primi sono infiniti? Euclide dimostrò per primo che essi sono infiniti. Il ruolo delle dimostrazioni

23 Siano p 1, p 2, p 3, …, p n gli unici n numeri primi. Costruiamo allora il numero: p 1 p 2 p 3 ·…·p n +1 È evidente che tale numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi conosciuti. Dunque o esiste un altro primo per cui esso sia divisibile, o è esso stesso un primo. Il ruolo delle dimostrazioni

24 Reiterando il processo, si giunge alla conclusione che i primi non possono essere finiti, ma sono necessariamente infiniti. Non è però lunica dimostrazione. Eulero dimostrò la stessa cosa in modo completamente diverso… Il ruolo delle dimostrazioni

25 Partiamo dallassunto che la serie armonica diverge. Ipotizziamo ora, per assurdo, che esista un solo numero primo. Allora tutti i numeri sono esprimibili come potenze di quellunico numero primo. La serie armonica diventa dunque: Il ruolo delle dimostrazioni

26 Ma questa è una serie geometrica di ragione 1/p, e poiché p>1, converge ed ha per somma: Il ruolo delle dimostrazioni

27 Si conclude che la serie armonica converge: il che è evidentemente assurdo, dunque i numeri primi sono più di uno. E se fossero due? Il ruolo delle dimostrazioni

28 Se vi fossero due numeri primi p e q, allora tutti i numeri dovrebbero essere fattorizzabili secondo prodotti di potenze di p e di q. In tal caso la serie armonica si può riscrive nel modo seguente: Il ruolo delle dimostrazioni

29 Ovvero:

30 Ma entrambi i termini fra parentesini sono progressioni geometriche di ragione <1, dunque convergono. Il prodotto di termini finiti è ancora finito: si giunge nuovamente ad un assurdo. In generale dunque se i primi sono finiti si ha: Il ruolo delle dimostrazioni

31 Dunque se i primi sono finiti, la serie armonica dovrebbe convergere. Dal momento che si dimostra che la serie armonica diverge, i numeri primi non possono essere finiti. Si giunge alla stessa conclusione di Euclide: i primi sono infiniti! Il ruolo delle dimostrazioni

32 La dimostrazione di Eulero fu però molto più importante per il futuro della matematica. Si arriverà in seguito infatti a definire una funzione molto importante, detta zeta di Riemann: Il ruolo delle dimostrazioni

33 Esempi di incompletezza Ogni intero sta fra due quadrati consecutivi. Utilizzando la notazione [x] per indicarne la parte reale si ha infatti:

34 In questo caso però, partendo da un asserto che riguarda solo i numeri interi, la dimostrazione ricorre ai numeri irrazionali… È una dimostrazione per così dire impura. Esempi di incompletezza

35 La radice di 2 è razionale? La domanda si traduce matematicamente: Con X e Y interi. Una prima possibile dimostrazione dellirrazionalità della radice quadrata di due è la seguente: Esempi di incompletezza

36 Da cui risulta che x devessere pari, in quanto il suo quadrato è pari. Dunque possiamo porre: Da cui risulta che x devessere pari, in quanto il suo quadrato è pari. Dunque possiamo porre: Ma allora anche y è necessariamente pari: ciò significa che la frazione x/y non è ridotta ai minimi termini. Si può quindi procedere allinfinito senza trovare una frazione ridotta ai minimi termini. Radice di 2 non è razionale. Esempi di incompletezza

37 Altra dimostrazione: X 2 è un quadrato, dunque, scomposto in fattori primi, avrà tutti gli esponenti dei suoi fattori primi PARI. Lo stesso vale per Y 2. Ciò vale dunque anche per lesponente relativo al fattore 2: m ed n sono pari. Esempi di incompletezza

38 Ma allora si ottiene luguaglianza: Dove m è pari ed n+1 è dispari: non è possibile dunque che i due numeri siano uguali!!! Esempi di incompletezza

39 Possiamo ora considerare un sistema formale costruito a partire da proprietà comuni ai reali e agli interi: ad esempio proprietà commutativa delladdizione..ecc. Consideriamo la proposizione: Esempi di incompletezza

40 Essa è vera per gli interi, ma non è più vera per i reali. Nel sistema formale da noi creato, è una proposizione indecidibile!!! Esempi di incompletezza

41 La matematica dunque contiene già in sé il germe della filosofia, in quanto medita sempre su sé stessa. Le dimostrazioni non sono soltanto una prova della verità, Filosofia e Matematica

42 bensì sono già una prima meditazione sulla matematica stessa, sono esse stesse proposizioni metamatematiche. Filosofia e Matematica

43 Dunque: MEDITATE GENTE, MEDITATE!


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