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1 Università della Liberetà 2007-08 mbassi alcuni esempi.

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Presentazione sul tema: "1 Università della Liberetà 2007-08 mbassi alcuni esempi."— Transcript della presentazione:

1 1 Università della Liberetà mbassi alcuni esempi

2 2 Carl Friedrich GAUSS ( ) Il più grande matematico dellinizio del XIX secolo era tedesco ….. Figlio di un operaio di Braunschweig, da fanciullo frequentò la scuola locale dove linsegnante aveva la fama di essere molto esigente nei riguardi dei suoi allievi. Un giorno per tenerli occupati, assegnò loro lesercizio di sommare tutti i numeri da uno a cento, chiedendo che ciascuno deponesse la sua lavagnetta su un tavolo non appena avesse finito il calcolo. Quasi immediatamente Carl depose sul tavolo la propria lavagnetta dicendo ecco fatto; linsegnante gli diede unocchiata sprezzante ….. Quando alla fine, linsegnante esaminò i risultati ottenuti dai vari allievi, trovò che la lavagnetta di Gauss era lunica a presentare il calcolo esatto, 5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo, che aveva allora dieci anni, evidentemente calcolato mentalmente la somma della progressione aritmetica: … , utilizzando forse la formula m (m+1) ……… 2 Storia della matematica tratto da: Storia della matematica di Carl B. Boyer una CURIOSITÀ

3 3 DEFINIZIONE progressione aritmetica ragione Si chiama progressione aritmetica una SUCCESSIONE ( ) ottenuta a partire da un primo termine addizionando ogni volta lo stesso numero. Tale numero è detto ragione della progressione Queste definizioni consentono la costruzione dei termini di una successione con un algoritmo iterativo DEFINIZIONE progressione geometica ragione Si chiama progressione geometica una successione ottenuta a partire da un primo termine moltiplicando ogni volta lo stesso numero (diverso da 0). Tale numero è detto ragione della progressione Si chiama SUCCESSIONE una funzione il cui insieme di definizione è N, oppure un suo sottoinsieme numerabile ( )

4 4 Es. 1) … Es. 2) … Es. 4) Es. 3) … 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 … progr. aritm. di ragione 9 progr. aritm. di ragione 3 progr. geom.. di ragione 3 progr. geom.. di ragione 3 progr. geom.. di ragione x Es. 5) … … … progr. aritm. di ragione 0 o progr. geom. di ragione 1 I termini di una progressione aritmetica si indicano con I termini di una progressione aritmetica si indicano con a 1, a 2, a 3, ……… a n, …… ; a n è il termine n-simo (occupa il posto n) Gli infiniti termini di una progressione aritmetica sono determinati, una volta che si conoscono il termine iniziale a 1 e la ragione d a n = a 1 + (n – 1) d

5 5 TeoremaLennesimo termine di una progressione aritmetica di valore iniziale a 1 e di ragione d è : Teorema Lennesimo termine di una progressione aritmetica di valore iniziale a 1 e di ragione d è : dimostrazione a 1 a 2 =a 1 + a 3 =a 1 + a 4 =a 1 + ………. a n =a 1 +(n-1) d + d +d +d + d +d +d Esempio trovare il ventesimo termine della progressione aritmetica che ha come primo termine -2 e come ragione 1/2 I primi termini sono : -2 -3/ /2 0 1/2 1 …. Il ventesimo termine è a 20 = -2 + (20 - 1) 1/2 = /2 = 15/2 d2d3d

6 6 TeoremaLa somma S n dei primi n termini di una progressione aritmetica è n volte la media aritmetica tra il primo e lennesimo termine Teorema La somma S n dei primi n termini di una progressione aritmetica è n volte la media aritmetica tra il primo e lennesimo termine S n = n a 1 + a n 2 Esercizio Calcolare la somma dei primi n numeri dispari I numeri dispari costituiscono una progressione aritmetica di ragione 2. L ennesimo numero dispari è: a n = 1 + 2(n – 1) La somma è perciò: S n = n S n = n (n – 1) 2 = n 2 dimostrazione

7 7 dimostrazione S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n-1 + a n S n = a n + a n a 2 + a 1 Sommando membro a membro le due uguaglianze si può scrivere 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n-1 ) + … + (a n-1 +a 2 ) + (a n +a 1 ) TEOREMA In una progressione aritmetica finita, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi TEOREMA In una progressione aritmetica finita, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi termini equidistanti dagli estremi termini equidistanti dagli estremi tali espressioni sono tutte uguali ad (a 1 +a n ) 2S n = (a 1 + a n )n da cui Sn =Sn =Sn =Sn = a 1 + a n S n = n a 1 + a n 2 2 n

8 8 I numeri quadrati perfetti si ottengono addizionando i successivi numeri dispari 1 4 = = = n 2 = (n – 1) 2 + (2n -1) 3° numero 4° numero 16 = = 4 + 5

9 9 PROBLEMI 1.Il nono termine di una progressione aritmetica è 4 e il quarto termine 5. Trovare la ragione d e il primo termine 2.In una progressione aritmetica la somma del primo e del quinto termine è 18 e la somma dei primi dieci termini è 165. Trovare la ragione d. 3.Quanti termini della progressione aritmetica 1; 5; 9; … … devono essere considerati se si vuole che la loro somma sia 190? Qual è il numero minimo di termini che deve essere preso perché la loro somma superi 900? RISPOSTE 1) -1/5; 28/5 2) 3 3) 10; 22

10 10 PROBLEMI ancora … alcuni 4.I tre lati di un triangolo rettangolo sono in progressione aritmetica. Sapendo che il cateto maggiore è di 24 cm., determinare gli altri lati del triangolo. 5.Verificate che un triangolo avente gli angoli in progressione aritmetica e un angolo di 30° è necessariamente rettangolo 6.Un orologio a pendolo batte un colpo alluna e alle tredici, due colpi alle due e alle quattordici, e così via. Quanti colpi batte in ventiquattro ore? 7.Una lumaca deve salire un muro alto 17 m. Ogni giorno sale di 3 m., ma di notte scivola in giù di un metro. Dopo quanti giorni raggiungerà la cima del muro? RISPOSTE 4) 18cm. ; 30cm; 6) 156 7) 8 giorni

11 11 PROBLEMI e … altri 8.Nellipotesi che la temperatura del sottosuolo cresca di 1°C ogni 30 metri di profondità e che alla superficie la temperatura sia di 20°C, quale temperatura si avrà a 600 metri di profondità? 9.Due veicoli partono rispettivamente da A e da B e percorrono il tratto rettilineo in senso opposto, il primo percorre 2 metri nel primo minuto, 3m. nel secondo, 4 m. nel terzo e così via. Il secondo percorre 1 m. nel primo minuto, 3 m. nel secondo, 5 m. nel terzo e così via. Sapendo che la distanza AB è di 630 m., dopo quanti minuti si incontreranno i due veicoli? E a quale distanza da A? 10.Un tale per estinguere un debito di 3.300, paga il primo mese 150 e in ciascun mese successivo 40 in più del precedente. In quanti mesi estinguerà il debito? RISPOSTE 8) 40°C ; 9) 20 minuti; 230 metri 10) 10

12 12 Maraschini – PalmaMaraschini – Palma multi FORMAT multi FORMAT moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore e altro … … e altro … … tratte liberamente da…..

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