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11 Prof. Ernesto Trinaistich. 22 Per risolvere i problemi relativi agli impianti chimici è necessario fare uso di equazioni, esse vengono classificate.

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1 11 Prof. Ernesto Trinaistich

2 22 Per risolvere i problemi relativi agli impianti chimici è necessario fare uso di equazioni, esse vengono classificate in : equazioni di bilancio e equazioni di trasferimento. equazioni di bilancio e equazioni di trasferimento. -Le equazioni di bilancio si basano sul principio di conservazione della massa e dellenergia in sistemi chiusi ( stazionari) e vengono utilizzate per determinare portate, composizioni, quantità di calore. -Le equazioni di trasferimento sono in genere relative al trasferimento del calore da un sistema ad un altro. Si definiscono operazioni unitarie le lavorazioni industriali che non portano a variazioni nella natura delle sostanze (interessano fenomeni fisici). (interessano fenomeni fisici). Sono operazioni unitarie la concentrazione, levaporazione, la distillazione, la filtrazione, lestrazione con solvente ecc. Si definiscono processi unitari le lavorazioni che portano ad una variazione nella natura delle sostanze trattate (interessano fenomeni chimici). (interessano fenomeni chimici). Sono processi unitari le Sintesi industriali. Sono processi unitari le Sintesi industriali.

3 33 Ritornando alle equazioni di bilancio si può dire che il sistema è in regime stazionario se non si ha accumulo. Per capire il concetto consideriamo un recipiente alimentato da una portata entrante di liquido F.in. ed una uscente F.us. Se Fi – Fu = 0 cioè Fi = Fu Se Fi – Fu = 0 cioè Fi = Fu tanto liquido entra tanto ne esce, quindi non si ha accumulo. Se Fi – Fu 0 cioè Fi Fu si ha accumulo e precisamente e precisamente Se Fi > Fu laccumulo è positivo Se Fi < Fu laccumulo è negativo F in F us

4 44 Possiamo dire: Portata entrante – Portata uscente = Accumulo Esprimendo laccumulo come variazione di volume nel tempo si ha: V V Fi – Fu = Fi – Fu = t t L unità di misura è in genere litri / minuti L unità di misura è in genere litri / minuti oppure m 3 / sec oppure m 3 / sec

5 55 BILANCIO DI ENERGIA Possiamo scrivere: En entrante – En uscente = Accumulo di energia In un sistema stazionario lAccumulo è zero. En entrante – En uscente = 0 Le forme di energie associate ai componenti del sistema sono molteplici, si va dalla energia cinetica a quella potenziale al contenuto termico o Entalpia H ; Pertanto: En.( Interna+Potenziale+Cinetica ) iniziale – En (I+P+C) finale + Calore assorbito dallesterno – Lavoro fatto = Accumulo di energia Considerando lenergia solamente come contenuto termico,se il sistema è conservativo o stazionario non cé scambio con lesterno pertanto il Contenuto termico iniziale, come somma di quello di tutti i partecipanti è uguale al Contenuto termico finale.

6 66 Contenuto termico entrante – Contenuto termico uscente = 0 Il Contenuto termico Q (o Entalpia H ) rappresenta il calore necessario per portare la massa da 0°C alla temperatura considerata cioè: Q = m ۰ cp ۰ (t - 0) = m ۰ cp ۰ t. Il calore così definito non è altro che lH della sostanza. Il calore così definito non è altro che lH della sostanza. Il contenuto termico a 0° C è posto = 0. Lunità di misura del calore è la Kcal o nel S.I. il Joule. Cp rappresenta il calore specifico, cioè il calore necessario per innalzare di un grado la temperatura dellunità di massa della sostanza. Q Kcal Joule Q Kcal Joule Cp = = ; nel S.I. = Cp = = ; nel S.I. = m*Δ t Kg ۰°C Kg۰ K m*Δ t Kg ۰°C Kg۰ K

7 77 Cp si considera a pressione costante, cioè comprensivo dellenergia spesa per il lavoro di espansione risulta quindi: Cp > Cv Cv è il calore specifico a volume costante Il calore necessario a provocare una variazione di temperatura nel sistema da t 1 a t 2 è: Q = m * Cp * ( t 1 - t 2 ). Analizziamo il bilancio di energia nella miscela di due liquidi. Considerando due liquidi aventi massa e, alle temperature e, miscelandoli in condizioni stazionarie avremo: di m 1 + Hi di m 2 = Hf di m 1 + Hf di m 2 Considerando due liquidi aventi massa m 1 e m 2, alle temperature t 1 e t 2, miscelandoli in condizioni stazionarie avremo: Hi di m 1 + Hi di m 2 = Hf di m 1 + Hf di m 2 - dove e sono le entalpie iniziali e finali - dove Hi e Hf sono le entalpie iniziali e finali - rappresenta la temperatura finale uguale per entrambi. - tf rappresenta la temperatura finale uguale per entrambi. Possiamo scrivere: Possiamo scrivere: m 1 cp 1 ( t 1 – 0 ) + m 2 cp 2 ( t 2 – 0 ) = m 1 cp 1 ( tf – 0 ) + m 2 cp 2 ( tf – 0 ) ( si consideri t 1 > t 2 ) da cui ( si consideri t 1 > t 2 ) da cui m 1 cp 1 t 1 + m 2 cp 2 t 2 = m 1 cp 1 tf + m 2 cp 2 tf m 1 cp 1 t 1 + m 2 cp 2 t 2 = m 1 cp 1 tf + m 2 cp 2 tf

8 88 La somma dei contenuti termici iniziali è uguale a quella finale. Lequazione rappresenta un bilancio di energia applicato ad una miscela. Lequazione può essere scritta : m 1 cp 1 ( t 1 - tf ) = m 2 cp 2 ( tf - t 2 ) Δ H 1 = Δ H 2 Δ H 1 = Δ H 2 Il primo membro rappresenta lenergia o calore ceduto dal primo liquido più caldo, mentre il secondo membro il calore acquistato dal liquido più freddo. Lequazione scritta costituisce un bilancio di trasferimento. Con semplici passaggi si ottiene: m1 cp1 t1 + m2 cp2 t2 Tf= m1 cp1 + m2 cp2

9 9 TRASFERIMENTO DEL CALORE: CONDUZIONE – CONVEZIONE - IRRAGGIAMENTO. Le equazioni di trasferimento si riferiscono al trasporto di calore o di materia tra un sistema ed un altro. Una equazione di trasferimento mette in relazione la grandezza oggetto del trasferimento ( energia o massa ) con le grandezze fisiche che la influenzano.. Ad esempio il trasferimento del calore tra due corpi dipende dalla loro differenza di temperatura e dalle caratteristiche costruttive ( materiali, forma). Lequazione di trasferimento è del tipo: Forza spingente Portata della grandezza trasferita = Resistenza al trasferimento La forza spingente è la causa che determina il trasferimento ( esempio la differenza di temperatura). La resistenza dipende dal mezzo attraverso cui avviene il trasferimento.

10 10 TRASFERIMENTO DEL CALORE TRASFERIMENTO DEL CALORE. Condizione indispensabile è che i due corpi abbiano diversa temperatura. Lo studio del trasferimento si propone di descrivere quali grandezze influenzano lo scambio, così pure il ruolo della forma geometrica dei corpi interessati. Il trasferimento del calore tra due corpi può avvenire per: CONDUZIONE CONVEZIONE IRRAGGIAMENTO.

11 11 LA CONDUZIONE Il meccanismo della conduzione non implica spostamento di materia. I metalli in genere sono buoni conduttori del calore e questo è da attribuire alla grande mobilità che hanno gli elettroni di muoversi nella materia. Consideriamo il trasferimento del calore attraverso una superficie piana isolata dallambiente esterno. T1 > T2 interno Parete 1 Parete 2 T1 T2 Profilo della temperatura (rappresentazione grafica del valore della t°): Maggiore è linclinazione minore è la conducibilità termica del materiale. Q calore scambiato esterno

12 12 Lequazione di trasferimento del calore per conduzione è lequazione di Fourier: Δ T Q = K * A * Q rappresenta la quantità di calore scambiata s nellunità di tempo Kcal / h o W nell S.I. K rappresenta la conducibilità termica del materiale in Kcal / h m °C. Capacità del materiale a condurre il calore. A è la superficie di scambio perpendicolare al Flusso. In m 2 ΔT differenza di temperatura T 1 - T 2 in Kelvin. s è lo spessore in m. Δ T Gradiente termico Il rapporto è definito Gradiente termico ( spinta ) s ( che rappresenta la condizione sufficiente affinché si manifesti il trasferimento).

13 13 Il profilo della temperatura sarà tanto più inclinato in funzione della differenza di temperature tra le due facce. Considerando la quantità di calore scambiato Q come rapporto tra una forza spingente e la resistenza si ha: Δ T forza spingente Q = s resistenza K * A Se la parete è composta da più materiali, considerando sempre il sistema isolato, a regime la quantità di calore che attraversa la parete 1 è uguale a quella della 2 e a quella della tre, cioè il trasferimento è da considerarsi un flusso.

14 14 Quindi: T 1 Ta Tb T 2 Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q T 1 – Ta Q 1 = K 1 * A * s 1 Ta - Tb Q 2 = K 2 * A * s 2 Tb – T 2 Q 3 = K 3 * A * Profilo della temperatura s 3 Ricavando le differenze di temperature dalle tre equazioni si ha: Q * s 1 Q * s 2 Q * s 3 T 1 – Ta = ; Ta – Tb = ; Tb – T 2 = K 1 * A K 2 * A K 3 * A

15 15 Sommando e semplificando viene : Q s 1 s 2 s 3 T 1 – T 2 = * + + A K 1 K 2 K 3 Da cui : Δ T Q = s 1 s 2 s K 1 A K 2 A K 3 A

16 16 Interessante è il caso di conduzione attraverso una parete cilindrica cava ( tubo). Il tubo ha raggio interno ri, superficie interna Si, e allesterno: re e Se. La lunghezza del tubo è L. La superficie interna sarà: Si = 2 π ri L e la Se = 2 π re L Si consideri Ti interna > di Te esterna La superficie interna è minore di quella esterna pertanto è necessario adattare la formula di Fourier. Si può ovviare considerando lo spessore come somma di infinitesimi a cui si associa una differenza estremamente piccola di temperatura. Il calcolo matematico ci permette di ricavare una formula adattabile al nostro caso: Δ T Q= 2 π * K* L re ri re ln ri Ti Te

17 17 LA CONVEZIONE Il trasferimento del calore avviene a seguito di spostamento di massa ( moti convettivi). Si può avere convezione naturale e forzata. E come moto può essere laminare o turbolento. A stretto contatto con la parete è presente un film di liquido per il quale non si ha convezione ma si può considerare presente solo conduzione. Il calore trasferito Q è uguale = A h ( t 2 – t 1 ) h rappresenta il coefficiente di trasferimento per convezione o coefficiente di pellicola. ( W / m 2 * K ) Maggiore è la turbolenza maggiore è la quantità di calore trasferito. A contatto della parete il moto è laminare poi si passa a turbolento. Il coefficiente h dipende dalle proprietà fisiche del liquido e dalle condizioni operative ( velocità, diametro e superficie) Il valore dellh, coefficiente di pellicola, non è di facile reperibilità. Un metodo è lanalisi dimensionale. Il meccanismo consiste nellindividuare le grandezze che influenzano il fenomeno (temperatura, forma e dimensioni, velocità, cp, viscosità, densità, espansione termica ecc.).

18 18 Si scrive poi lequazione come h = funzione di (….). del tipo: h = Ψ ( Δta * Lb * Ve * Kd * Cpe * ρf * μg * ( β * g ) *h Cioè il coeff. di pellicola è uguale ad una costante Ψ moltiplicata per le varie grandezze che influenzano il trasferimento, elevata ognuna ad un opportuno esponente. β dipende dallaumento di volume per grado Kelvin. Lanalisi dimensionale si basa sul principio di omogeneità tra il primo e il secondo membro. Ne viene fuori una equazione dove figurano gruppi di quantità dimensionali. L Calore complessivo scambiato Numero di Nusselt = Nu = h * = K Calore trasferito per conduzione. ρ * vel * L Q. di moto con meccanismo turbolento Numero di Reynolds = = μ Quantità di moto con meccanismo viscoso

19 19 Cp * μ Q. di moto con meccanismo viscoso Numero di Prandtl = Pr = = K Calore trasferito per conduzione β*g*Δt*L 3 *ρ 2 Forza ascensionale Numero di Grashov = Gr = Re = μ 2 Forza viscosa Si può scrivere Nu = Ψ * (Re α * Pr β * Gr γ ) Dove Ψ, α, β, γ assumono valori dipendenti dalle caratteristiche del sistema. Prove sperimentali hanno dimostrato che il numero di Gr non ha influenza nella convezione forzata, mentre Re non ha influenza nella convezione naturale.

20 20 Convezione naturale Vediamo alcuni casi : Pareti solide immerse in aria Δt 1/4 -Cilindri orizzontali h = 3,58 * D Δt 1/4 -Piani verticali h = 3,72 * L (L è laltezza in cm) Piani orizzontali faccia superiore: h = 2,149 * Δt 1/4 Piani orizzontali faccia inferiore : h = 1,131 * Δt 1/4 Pareti solide immerse in acqua Δt 1/4 -Cilindri orizzontali h = 62,87* D Δt 1/4 -Piani verticali h = 345,47* ( D, diametro, è in cm) L Le temperature sono in gradi C°.

21 21 Consideriamo il caso della trasmissione del calore attraverso una parete (conduzione) a contatto con due fluidi a temperature diverse. E praticamente il caso di una parete di un appartamento a contatto con lambiente interno e con lesterno. La parete avrà una propria conducibilità K e spessore s. In regime stazionario il flusso del calore che attraversa la parete è unico, per cui T 1 il calore trasferito dal fluido 1 alla parete per convezione, quello che attraversa la parete per conduzione e quello che viene T trasferito dalla pare al fluido 2 per Fluido 1 T Convezione, sono uguali: T 2 Q = Q 1 = Q 2 = Q 3 parete Fluido 2

22 22 Analizziamo i tre casi: 1) da fluido 1 a parete : convezione Q = h 1 * A * (T 1 – T ) K * A * (T – T ) 2) attraverso la parete : conduzione Q = s 3) da parete a fluido 2 : convezione Q = h 2 * A * (T – T 2 ) Q 1 s 1 T = T 1 – T 2 = * + + A h 1 K h 2 A contatto della parete si ha moto laminare poi, attraverso una zona di transizione, si ha moto nettamente turbolento.

23 23 La formula può essere scritta come rapporto tra forza spingente e resistenza. A * ( Ti – Te) Q = 1 s hi K he (Il calore trasmesso fa riferimento allunità oraria) Il denominatore rappresenta la resistenza al passaggio del calore attraverso la parete (convezione, conduzione, convezione). 1 s 1 1 Resistenza= + + ; che si indica = hi K he U Dove U, coefficiente 1 globale di scambio è = 1 s hi K he

24 24 Pertanto la formula che permette il calcolo del calore, che prende il nome di Equazione globale di scambio diventa: Q = A * U * Δt ; dove la Δt è la differenza ( t° fluido 1 - t° fluido 2). Il coefficiente U ( si misura in W m -2 K -1 ), viene ottenuto sperimentalmente e ciò evita il calcolo di hi e he, coefficienti di pellicola interno ed esterno, difficili da determinare. A seguito della presenza di incrostazioni, alla resistenza vista vanno aggiunti dei fattori (di sporcamento) quantificati sperimentalmente: 1 1 = + R 1 + R 2 U D U

25 25 Nel caso di un tubo contenente un fluido 1 a contatto allesterno con un fluido 2, si procede come nel caso precedente considerando però per il tubo la superficie curva. Il flusso di calore sarà unico: Q = Q 1 = Q 2 = Q 3 Le formule sono scritte come rapporto tra forza spingente e resistenza. Fluido 1 Fluido 2 ri re

26 26 (Ti – T ) 1) Convezione interna: Q = 1 hi Ai (T – T ) 2) conduzione parete curva: Q = De ln Di 2 π K L (T – Te ) 3) Convezione esterna: Q = 1 he * Ae

27 27 T i – T e Globalmente Q = De ln 1 Di hi * Ai 2 π * K* L he * Ae Il denominatore rappresenta la resistenza complessiva allo scambio termico.

28 28 In pratica la resistenza dovuta alla conduzione è trascurabile perché i tubi di uno scambiatore sono di materiale ad alta conducibilità termica. Pertanto la formula relativa alla resistenza risulta funzione solamente dei fenomeni convettivi: Resistenza = + cioè = hi * Ai he * Ae U * Ae Dove U rappresenta il coefficiente globale di scambio = + = + U U * Ae hi * Ai he * Ae

29 29 Che con semplici passaggi diventa: 1 Ae 1 1 Ae 1 = + = + U hi * Ai he U hi * Ai he Essendo il rapporto delle superfici uguale a quello dei rispettivi diametri, si può scrivere: 1 De 1 1 De 1 = + = + U hi * Di he U hi * Di he Lequazione globale di scambio è: Q = A * U * Δ t Lequazione globale di scambio è: Q = A * U * Δ t

30 30 TRASMISSIONE DEL CALORE PERIRRAGGIAMENTO TRASMISSIONE DEL CALORE PER IRRAGGIAMENTO: La trasmissione del calore avviene in assenza di materia interposta, per mezzo di radiazioni elettromagnetiche. Le radiazioni rientrano: nel campo del visibile: tra 0,4 – 0,7 μm di lunghezza donda ( m) ( frequenza circa 1015 sec -1 ) nellinfrarosso: da 0,7 μm a 102 mm ( m) Lunghezza donda e frequenza sono legate dalla relazione λ = c / ν, λ rappresenta la lunghezza donda cioè la lunghezza di una oscillazione completa, c è la velocità della luce mentre ν (ni) è la frequenza cioè il numero di oscillazioni nellunità di tempo. Il tempo di una oscillazione completa prende il nome di periodo T.

31 31 Emissione ed assorbimento delle radiazioni. Lenergia emessa da un corpo per irraggiamento è legata alla frequenza da; E= h * ν dove h costante di Planck vale 6,6 * , ed è tanto più grande quanto maggiore è la ν e più piccola λ. Le radiazioni che colpiscono un corpo vengono in parte assorbite, in parte riflesse e in parte attraversano il corpo. Indicando con: α - fattore di assorbimento come rapporto tra lEnergia assorbita / lE totale incidente; ρ – fattore di riflessione (ro) come rapporto tra lEnergia riflessa / lE totale incidente; τ – fattore di trasmissione (tau) come rapporto tra lEnergia trasmessa / lE totale incidente Indicando con Ei lenergia incidente sul corpo essa risulterà uguale alla somma delle tre forme di energia: assorbita = α * Ei, energia riflessa = ρ * Ei, energia che attraversa il corpo = τ * Ei Ei = α * Ei + ρ * Ei + τ * Ei

32 32 Si definisce corpo nero un sistema capace di assorbire tutta lenergia incidente, Corpo nero – α = 1 mentre ρ = 0 e τ = 0 Corpo riflettente – α = 0 mentre ρ = 1 e τ = 0 Corpo trasparente – α = 0 mentre ρ = 0 e τ = 1 Si definisce corpo opaco un sistema che non si lascia attraversare, per cui vale: α + ρ = 1 Un corpo nero può essere una sfera cava con un foro dal quale entra la radiazione. A seguito delle numerose riflessioni che si hanno allinterno il raggio non può più fuoriuscire. Lassorbimento in genere varia con la lunghezza donda λ della radiazione incidente, questo perché lenergia, da parte della sostanza, non viene assorbita in maniera continua perché, così come si ha per lemissione, sono fenomeni che avvengono in maniera discontinua ( per pacchetti- Planck). Un corpo è definito grigio se assorbe in maniera costante al variare della λ.

33 33 I corpi neri, oltre ad assorbire tutta la radiazione incidente, se messi in condizione di emettere energia, emettono secondo la legge Q = σ * T 4 Legge di Stefan – Boltzmann. La sigma σ è = 5,672 * W/ m 2 * K 4 oppure = 4,878 * Kcal / m 2 * h *K 4. Q rappresenta lenergia totale emessa nellunità di tempo per unità di superficie ( W / m 2 ). Per ogni temperatura esiste una λ a cui si ha il massimo di emissione. La relazione tra la Temp.e la lunghezza donda è la legge di Wien: T * λmax = 2,8 * m*K La quale mostra come la λ di massima emissione diminuisce allaumentare della T. Per corpi diversi dal corpo nero lenergia emessa è una frazione di quella calcolata con la legge di Stefan-Boltzmann, cioè Q = ε * σ * T 4 ( ε epsilon )

34 34 la ε è detto fattore di emissività ed è definito come rapporto: Energia emessa da un corpo non nero ε = ed è < 1 Energia emessa da un corpo nero alla stessa temperatura Trasmissione per irraggiamento tra due pareti piane. 1 2 T 1 T 2

35 35 Consideriamo due pareti piane 1 e 2 di uguale superficie, rispettivamente alle temperature T 1 e T 2. Se si comportano da corpi neri, lenergia emessa dalla parete 1 è interamente assorbita dalla parete 2 e viceversa. Q 1 = σ *A * T 1 4 ( energia emessa da 1 nellunità di tempo) Q 2 = σ *A * T 2 4 ( energia emessa da 2 nellunità di tempo) Se la T1 è > T2 si avrà trasferimento di calore da 1 a 2, dato dalla differenza : Q 1 - Q 2 = Q netto = σ *A * ( T T 2 4 ) dove Q netto è il calore scambiato tra le due pareti nellunità di tempo. Lespressione vale per i corpi neri. Per i corpi non neri è necessario scrivere: Q netto = ε * σ *A * ( T T 2 4 ) Vale per un corpo sottoposto a irraggiamento.

36 36 Si dimostra sperimentalmente che per ogni materiale vale la legge di Kirchhoff che afferma: per un corpo non nero i coefficienti di emissione ε e di assorbimento α sono uguali. La legge di Stefan-Boltzmann può essere scritta con una equazione analoga a quelle usate per la conduzione e per la convezione, introducendo un coefficiente per irraggiamento hirr: Q = hirr. *A * ( T 1 - T 2 ) ; ε * σ * ( T T 2 4 ) con hirr. = T 1 - T 2

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