Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi

Presentazione sul tema: "Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi"— Transcript della presentazione:

1 Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi
Convegno UMI-CIIM, Salerno ottobre 2013 Fare matematica nella scuola di tutti dedicato a Emma Castelnuovo Una proposta per la matematica del Primo Biennio tra contenuti e attività (scuola sec. di II grado) Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi S

2 La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari di Matematica – I Biennio
Pierangela Accomazzo Marilina Ajello Gianpaolo Baruzzo Silvia Beltramino Sebastiano Cappuccio Maria Angela Chimetto Rossella Garuti Raffaella Manara Paola Ranzani Riccardo Ruganti Luigi Tomasi Sergio Zoccante S Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica, commissione permanente dell’UMI) per dare risposta a una precisa richiesta, da parte di molti docenti del biennio di Scuola Secondaria, di avere indicazioni più dettagliate e precise sui percorsi didattici da programmare e realizzare all’interno delle proprie classi. Coordinatore: Ercole Castagnola

3 Le linee guida indicate dalla CIIM:
Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in vigore sull’obbligo scolastico. Continuità con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del Primo Ciclo. Flessibilità delle proposte didattiche per un facile adattamento a ogni corso di studi della Scuola secondaria di II grado. Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilità e già sperimentati. Particolare attenzione alle “novità” delle Indicazioni relative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”. Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento informatico. Modalità per la realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale. Indicazioni su pratiche didattiche da evitare. Indicazioni sulle prove di verifica. S

4 Due proposte di percorso …
… a seconda degli ordini di scuola e degli orari curricolari per la matematica MATEMATICA Percorso ‘analitico’ Percorso ‘sintetico’ S

5 I quadri orari della scuola del riordino: i corsi con Matematica ‘debole’
COSA? Quali argomenti sono irrinunciabili? Che cosa considerare già svolto negli anni precedenti? COME? Con quale profondità, con quali metodologie? Che cosa? Quali argomenti irrinunciabili? L’attenzione a non escludere nuclei tematici importanti (es. Dati e previsioni) Come? Con quale profondità, con quali metodologie? Interpretare la verticalità dell’apprendimento: che cosa dare per “già noto”? Come valutare? trattazione approfondita – trattazione intuitiva; verticalità della formazione COME valutare?

6 Le scelte della Commissione:
Non penalizzare nessun ambito Evidenziare i collegamenti tra i vari ambiti in orizzontale (Nuclei diversi) in verticale (primo/secondo Ciclo) Articolare gli argomenti in ‘blocchi’ tematici, con indicazioni metodologiche numero di ore indicativo Per ogni ‘blocco’ si suggeriscono una o più attività s

7 e si apre la seguente pagina
Un esempio di attività di Aritmetica e algebra presente in rete: Il livello del mare Si parte dal sito: e si apre la seguente pagina s

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Si clicca su e si apre la pagina

9 Si clicca su NUMERI e si arriva alla pagina

10 dove sono contenute le attività m@t.abel attualmente
disponibili per il nucleo NUMERI. Scorrendo lungo la pagina si arriva a

11 Cliccando su «IL LIVELLO DEL MARE» si arriva a

12 da cui è possibile sia scaricare la versione testuale
(«zippata») che utilizzare la versione multimediale

13 I parte – Aritmetica e algebra
Le Indicazioni/Linee guida (Aritmetica e algebra) Una proposta di percorso (“sintetico”) per Aritmetica e algebra – I biennio Un’attività da fare in classe (Il livello del mare, Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica e algebra al termine del I biennio? Considerazioni didattiche s

14 La suddivisione oraria del primo anno
Aritmetica e algebra Aritmetica e algebra 15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli) Relazioni e funzioni 5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione 10 h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni) 10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni) 5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria 20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi Dati e previsioni 15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti) S P Percorso “sintetico”

15 Percorso “sintetico” – Primo anno
Aritmetica e algebra 15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli) Relazioni e funzioni 5h (R1): Introduzione al concetto di funzione. Raggruppamenti comuni 10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni) 10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni). 5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria 20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi. Dati e previsioni 15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti) Percorso “sintetico” S 15

16 Percorso “sintetico” – Secondo anno
Aritmetica e algebra 10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali. Relazioni e funzioni 15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2. Raggruppamenti comuni 5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni). 5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria). 10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria). Geometria 20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione. Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo). Dati e previsioni 15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). Percorso “sintetico” S 16

17 Nelle Indicazioni nazionali si legge:
“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico” […] “lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica” ARITMETICA E ALGEBRA P Le proprietà delle operazioni negli insiemi numerici devono essere interiorizzate e non date per scontate, per arrivare a riconoscere l’equivalenza fra formule apparentemente diverse; la “decantazione” del significato deve poggiare su basi ben solide per poter applicare, quando necessario, la "macchina del calcolo". È stato sottolineato che l'obiettivo dell'insegnamento dell'algebra è far sì che "gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura segnica. D'altra parte non si tratta di fare cose diverse o in più rispetto a quelle che di solito si fanno; si tratta solo di farle con una prospettiva, una metodologia e in un contesto diverso". Nel trasformare una formula si può produrre nuova informazione e rivelare aspetti inconsueti della situazione a cui la formula si riferisce. La “sensazione” dei simboli guida nella manipolazione di espressioni del linguaggio algebrico, passando a espressioni equivalenti (ossia aventi lo stesso significato), ma più adeguate a scoprire proprietà. (da “Algebra, fra tradizione e rinnovamento”, MIUR, 2005).

18 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica
L’uso delle lettere non si riduca al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda e serva ad esprimere le proprietà dei numeri Indicazioni del “Percorso Sintetico” Pensa un numero intero somma ad esso 12 moltiplica il risultato per 5 sottrai 4 volte il numero pensato somma al risultato 40 Che numero hai ottenuto? L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica n …+12 …5 … - 4… …+40 Cosa ottieni? 7 7+12 (7+12)5 (7+12)5 – 47 [(7+12)5 - 47]+40 P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate. Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato 5( n + 12) – 4n + 40 = n

19 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica
La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici” Considera il prodotto 15·25 puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5) quindi per la solita proprietà, hai 20· ·5 – 5·20 − 5·5 dopo le semplificazioni ottieni 20· ·5 – 5·20 − 5·5 Cioè 202 − 52. Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti: 28·32 =…………………………………………………………… 97·103 =…………………………………………………………… Eseguire operazioni tra numeri a mente con gli usuali algoritmi scritti con strumenti valutando quale strumento può essere più opportuno Indicazioni del “Percorso Sintetico” L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule esprimere con parole e con formule le regolarità osservate Indicazioni del “Percorso Sintetico” P la Geometria è una parte fondamentale del curricolo di matematica ed offre la base intuitiva per una visualizzazione di molti dei concetti matematici che si riscontrano sia nel mondo reale che negli altri ambiti di contenuto

20 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica
Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito? Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione: i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi Indicazioni del “Percorso Sintetico” L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica P

21 Il livello del mare Un esempio di attività per il I anno m@t.abel
Il livello del mare L'attività affronta i problemi legati alle stime degli ordini di grandezza. In effetti, saper stimare correttamente un ordine di grandezza, o saper approssimare dei valori, rappresenta una difficoltà diffusa. Proponendo problemi anche legati a situazioni reali, si capisce che in certi casi è importante l'ordine di grandezza, mentre il numero di cifre significative diventa secondario. All'inizio dell'attività si introduce la notazione scientifica per rappresentare i numeri e si discute l'uso di questa scrittura per valutare l'ordine di grandezza. Si tratta di strumenti fondamentali per un cittadino, perché spesso arrivano dai mass media informazioni che vengono accolte con scarsa capacità di analisi e senza un adeguato "senso dei numeri". Analizzando e ragionando su un importante tema d'attualità ("di quanto si innalzerebbe il livello dei mari se tutti i ghiacciai si sciogliessero?"), si affrontano in un caso concreto le diverse problematiche inerenti l'ordine di grandezza, la precisione, l'approssimazione. Il livello del mare P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

22 Notazione scientifica dei numeri: precisione e ordine di grandezza
(5,6 E 5) + (1,4 E 5) (3,6 E 2) + (1,1 E 5) (7,2 E 3)  (5,4 E 2) (4 E 2)  (1,1 E 5) (4 E 8)  (3 E 1) (9,6 E 2) + (1,4 E 0) (3,6 E 2)  (1,1 E 5) (3,6 E 2)  (1,1 E 4) (3,6 E 2) : (4 E 5) Qual è il risultato? Un punto critico nel trattare le operazioni con la notazione scientifica è la propagazione degli errori nel calcolo approssimato. Il livello del mare P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

23 Consigli e sconsigli È importante mantenere forte, soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso. Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento. P Da Numeri: i concetti e le capacità di calcolo siano acquisiti in modo corretto, motivato, e rimangano quindi stabilmente nelle conoscenze e nelle competenze degli alunni individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento: la sicurezza nel calcolo si raggiunge anche con la consapevolezza dei procedimenti seguiti

24 Consigli e sconsigli Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a esprimere con parole e con formule le regolarità osservate (eventualmente anche mediante rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici algoritmi implementabili sul calcolatore P

25 Non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune
Non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero PROVE INVALSI Classe II sup. – 2011 P Soluzioni: Ordine di grandezza - l’ordine di grandezza di 10^ ^38 è 10^38, Raccoglimento a fattor comune se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica ) l'espressione simbolica x37+x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero. Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

26 È difficile non essere d’accordo con quanto riportato sul Quaderno SNV
Solo poco più del 20% degli studenti riconosce che = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovrebbero risultare palesemente scorrette in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco. È plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica ) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero. In ogni caso la presenza di un numero così rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria, invita a una riflessione sull’opportunità didattica di molte attività di manipolazione simbolica fini a se stesse che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso più che sufficienti per determinare la risposta corretta). S

27 Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso. I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati. PROVE INVALSI Classe II sup. – 2012 P

28 Ma già alla fine del I Ciclo i problemi non mancano!
[da PN 2012] PROVE INVALSI Classe II sup. – 2012 P

29 Percorso “analitico” – Aritmetica e algebra
Conoscenze Abilità Competenze Attività Equazioni e disequazioni Equazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici  “Relazioni e funzioni”, funzioni lineari Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti. Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa. Impostare e risolvere problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado. Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico 1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni 2F - Equazioni e disequazioni di primo grado 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni 4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni (IPRASE) Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo. 5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito: Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi. 6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa) 7F – Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa) Percorso “analitico” – Aritmetica e algebra S 29

30 Un esempio di attività di Geometria presente in rete:
Ombre e proporzionalità Si parte dal sito: e si apre la seguente pagina s

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disponibili per il nucleo GEOMETRIA. Scorrendo lungo la pagina si arriva a

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35 da cui è possibile sia scaricare la versione testuale
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36 II parte - Geometria Le Indicazioni/Linee guida (Geometria)
Una proposta di percorso (“sintetico”) per la Geometria – I biennio Un’attività da fare in classe (Ombre e proporzionalità, Cosa ci dicono le prove INVALSI sulla geometria al termine del I biennio? Considerazioni didattiche s

37 La suddivisione oraria del primo anno
Geometria La suddivisione oraria del primo anno Geometria Aritmetica e algebra 15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli) Relazioni e funzioni 5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione 10 h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni) 10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni) 5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria 20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi Dati e previsioni 15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti) Percorso “sintetico” P

38 Percorso “sintetico” – Primo anno
Aritmetica e algebra 15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli) Relazioni e funzioni 5h (R1): Introduzione al concetto di funzione. Raggruppamenti comuni 10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni) 10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni). 5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria 20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi. Dati e previsioni 15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti) Percorso “sintetico” S 38

39 Percorso “sintetico” – Secondo anno
Aritmetica e algebra 10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali. Relazioni e funzioni 15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2. Raggruppamenti comuni 5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni). 5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria). 10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria). Geometria 20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione. Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo). Dati e previsioni 15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). Percorso “sintetico” S 39

40 Nelle Indicazioni nazionali si legge:
“Il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano…. l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica”. […] “La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (riga, compasso,…) sia mediante strumenti informatici di geometria.” GEOMETRIA P Le proprietà delle operazioni negli insiemi numerici devono essere interiorizzate e non date per scontate, per arrivare a riconoscere l’equivalenza fra formule apparentemente diverse; la “decantazione” del significato deve poggiare su basi ben solide per poter applicare, quando necessario, la "macchina del calcolo". È stato sottolineato che l'obiettivo dell'insegnamento dell'algebra è far sì che "gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura segnica. D'altra parte non si tratta di fare cose diverse o in più rispetto a quelle che di solito si fanno; si tratta solo di farle con una prospettiva, una metodologia e in un contesto diverso". Nel trasformare una formula si può produrre nuova informazione e rivelare aspetti inconsueti della situazione a cui la formula si riferisce. La “sensazione” dei simboli guida nella manipolazione di espressioni del linguaggio algebrico, passando a espressioni equivalenti (ossia aventi lo stesso significato), ma più adeguate a scoprire proprietà. (da “Algebra, fra tradizione e rinnovamento”, MIUR, 2005).

41 Ombre e proporzionalità
Si affronta il nodo concettuale delle similitudini, partendo dall’analisi di situazioni reali fino a giungere al nodo cruciale del teorema di Talete, unitamente alle sue conseguenze nel piano favorendo l’acquisizione della consapevolezza del suo ruolo fondamentale nella geometria piana. Indicazioni del “Percorso Sintetico” Un esempio di attività per il II anno Ombre e proporzionalità Gli studenti sono coinvolti in situazioni problematiche, in cui devono individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalità diretta,…), quindi costruire modelli a partire da dati, utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari,…). Infine entrando nello specifico delle similitudini, da un punto di vista teorico, ne analizzano proprietà e invarianti, collegandole alle situazioni reali ad esse riconducibili. Ombre e proporzionalità P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

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Talete e l’altezza della piramide Ombre e proporzionalità P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate. Quanto è alto questo lampione?

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Bastoncini, gnomoni, obelischi Ombre e proporzionalità P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

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La similitudine: applicazioni ed approfondimenti con un software di geometria dinamica Ombre e proporzionalità P l’utilizzo delle lettere precede l’usuale calcolo algebrico, ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo. giochi di "magia matematica" e sfide di capacità di calcolo mentale sono il cuore di questa attività in cui si affronta il nodo concettuale linguaggio naturale e linguaggio algebrico. Ci riferiamo all'introduzione delle regole del calcolo algebrico e alle difficoltà che lo studente incontra quando deve tradurre algebricamente ("mettere in formula") un problema. In concreto, si tratta di dare significato al calcolo algebrico, evitando che i nostri alunni interpretino le formule algebriche come pure sequenze di segni. Si propongono così situazioni problematiche in cui il linguaggio dell'algebra supera quello dell'aritmetica e diventa strumento per esprimere relazioni e generalizzare: un linguaggio utile sia per comprendere sia per dimostrare. Scopo principale dell'attività è allora giungere alle regole di calcolo comprendendone il significato e di usare il calcolo algebrico per risolvere problemi. Si tratta anche di cercare di presentare la matematica come strumento di pensiero, mettendone in luce gli aspetti concettuali. Obiettivi dell'attività: - comprendere che le regole di calcolo simbolico sono le proprietà che valgono negli insiemi numerici, applicate in un contesto più generale; - saper manipolare consapevolmente formule algebriche per ricavare nuove informazioni sui problemi ai quali le formule stesse sono applicate.

45 Consigli (geometria) Non partire da un’impostazione assiomatica, ma mettere in evidenza l’importanza dei teoremi, senza far imparare troppe dimostrazioni; è impossibile, non c’è il tempo e si perderebbe il significato di quelle poche che sono veramente importanti: dimostrare tutto è come non dimostrare nulla. Argomentare e congetturare vengono prima di dimostrare GEOMETRIA Mantenere la geometria connessa agli altri ambiti e sottolineare continuamente i collegamenti tra di loro La geometria non è un formulario per trovare lunghezze, aree e volumi; è necessario presentarla come un ambito molto importante per scoprire, sperimentare, visualizzare, argomentare proprietà e collegamenti tra una teoria matematica e il mondo reale P Da Numeri: i concetti e le capacità di calcolo siano acquisiti in modo corretto, motivato, e rimangano quindi stabilmente nelle conoscenze e nelle competenze degli alunni individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento: la sicurezza nel calcolo si raggiunge anche con la consapevolezza dei procedimenti seguiti

46 e… Sconsigli (geometria)
Si sconsiglia di trascurare la geometria: vuol dire privare gli allievi di un ambito estremamente importante per l’apprendimento della matematica e tarpare le ali anche agli altri ambiti del sapere matematico Si sconsiglia di chiedere definizioni imparate solo a memoria; prima occorre capire e costruire i concetti e poi definire; gli allievi comprendono anche se non sanno ancora definire GEOMETRIA P Si sconsiglia di presentare una dimostrazione in modo dettagliato (mettendo cioè in evidenza i vari passi e che cosa si utilizza per giustificarli) se prima non è chiaro il significato che ha “il dimostrare” e che cosa esso presuppone (una teoria, degli assiomi,…) 46

47 Da fare! GEOMETRIA - PROVE INVALSI Classe II sup. – 2011 Item Mancata
P Soluzioni: Ordine di grandezza - l’ordine di grandezza di 10^ ^38 è 10^38, Raccoglimento a fattor comune se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica ) l'espressione simbolica x37+x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero. Da fare! Item Mancata risposta OPZIONI A B C D D7_b 5,9 33,1 30,6 24,8 5,7 47

48 GEOMETRIA - PROVE INVALSI
Classe II sup. – 2012 P 48

49 Un cenno al problema della verifica e della valutazione
L’attenzione ai comportamenti degli studenti Una griglia per l’osservazione in laboratorio Prove che tendano a verificare la spendibilità delle nozioni apprese in contesti diversi P

50 s

51 http://www.umi-ciim.it/ Un’osservazione importante sul
percorso e sulle attività proposte Il documento CIIM che abbiamo presentato sarà disponibile sul sito CIIM: Non tutte le attività per il secondo biennio sono attualmente disponibili sul sito precedentemente indicato: Poiché si tratta di «lavori in corso», sarà opportuno tornare periodicamente su tale sito e controllare le attività presenti. s 51 51