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Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Il Piano Cartesiano.

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Presentazione sul tema: "Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Il Piano Cartesiano."— Transcript della presentazione:

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2 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Il Piano Cartesiano

3 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Piano Cartesiano Il PIANO CARTESIANO è una struttura matematica che permette di identificare la posizione di un oggetto mediante numeri detti coordinate dimensione: Es. una fila. La posizione delloggetto è individuabile con UNA coordinata: (3) dimensioni: Es. battaglia navale. La posizione delloggetto è individuabile con DUE coordinata: (3; 2) 3 dimensioni: Es. oggetto nello spazio. La posizione delloggetto è individuabile con TRE coordinata: (3; 4; 2)

4 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Notazione Lasse orizzontale è chiamata asse delle ASCISSE o X asse delle ASCISSE X Lasse verticale è chiamata asse delle ORDINATE o Y asse delle ORDINATE Y

5 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Notazione asse delle ASCISSE X asse delle ORDINATE Y La posizione di un oggetto nel piano cartesiano è individuata da due numeri: COPPIA ORDINATA di COORDINATE (3; 2) ORDINATA perché la prima coordinata è SEMPRE la X la seconda coordinata è SEMPRE la Y (X; Y)

6 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione O X Y O O Tracciare lasse X e lasse Y Mettere la freccia verso destra sullasse X Mettere la freccia verso lalto sullasse Y Le frecce indicano la direzione crescente dei numeri Tracciare sugli assi le tacche delle coordinate Numerare le tacche Si noti che lintersezione (= incontro) degli assi è individuata da: coordinata X uguale a 0 coordinata Y uguale a 0 Per semplicità si preferisce indicare quel punto con la lettera O e chiamarlo ORIGINE: O (0; 0) Indicare con X lasse delle ascisse Indicare con Y lasse delle ordinate

7 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione di un Punto X Y O Un oggetto viene rappresentato con un PUNTO Al quale viene associata una lettera A, B, …. A

8 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento VERTICALE Due punti posti su un segmento verticale sono caratterizzati dalla stessa coordinata X A X Y O B La loro distanza AB si determina attraverso la relazione AB = Y A – Y B cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata Y del punto più alto e la coordinata Y del punto più in basso AB = Y A – Y B = 4 – 1 = 3 u

9 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza tra due Punti Distanza tra due punti posti su un segmento ORIZZONTALE Due punti posti su un segmento orizzontale sono caratterizzati dalla stessa coordinata Y A X Y O B La loro distanza AB si determina attraverso la relazione AB = X B – X A cioè … la distanza tra due punti posti su una verticale è la differenza tra la coordinata X del punto più a destra e la coordinata X del punto più a sinistra AB = X B – X A = 3 – 1 = 2 u

10 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Unità di Misura La lettera u che compare al termine dei calcoli sta per unità di misura Nel mondo reale le unità di misura sono rappresentate da metri, centimetri, chilometri, … Nel disegno, NON essendo sempre possibile riprodurre le distanze reali, viene utilizzata come unità di misura la distanza tra due tacche consecutive È sempre possibile risalire alle distanze reali se si conosce a quale lunghezza corrisponde lunità del disegno. Es. se un segmento nel disegno risulta lungo 5u e so che u=150m, posso affermare che la distanza reale tra i due punti è: distanza reale = 5u = 5 150= 750m

11 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Calcolare la distanza che deve percorrere Dino per recarsi a scuola, esprimere il risultato in metri e Km sapendo che una unità equivale a 105 metri. Comincio col disegnare il piano cartesiano X Y O Faccio coincidere la scuola con lorigine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D (4; 3) D Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) A Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità DA = Y D - Y A = 3 – 0 = 3u OA = X A – X O = 4 – 0 = 4u Percorso = DA + OA = = 7u Calcolo la lunghezza reale trasformando le unità prima in metri e poi i metri in chilometri Percorso = 7u = 7 x 105m = 735 mPercorso = 735m : 1000 = Km … Soluzione …

12 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Esercizio La casa di Dino, rispetto alla scuola, è posta alle coordinate (4; 3). Sapendo che Dino per andare a scuola percorre Km determinare a quanti metri corrisponde una unità Comincio col disegnare il piano cartesiano X Y O Faccio coincidere la scuola con lorigine, come dice il testo, e pongo la casa di Dino nel punto D (4; 3) D Traccio un possibile percorso che Dino può percorrere per recarsi a scuola (questo sarà composto SOLO da segmenti rettilinei orizzontali e verticali perché sono i soli per i quali ho imparato a calcolare la lunghezza) A Ora calcolo le distanze DA e AO; sommandole ottengo la lunghezza del percorso espresso in unità DA = Y D - Y A = 3 – 0 = 3u OA = X A – X O = 4 – 0 = 4u Percorso = DA + OA = = 7u Calcolo a quanti metri corrisponde una unità Km x 1000 = 1225 m 1u = 1225 m : 7 = 175 m … Soluzione … Trasformo i Km in m Calcolo la lunghezza reale di una unità

13 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Prima di proseguire apriamo una parentesi per rivedere alcuni concetti riguardanti Rette parallele Rette perpendicolari. E fornire alcuni simbolismi e notazioni che serviranno da qui in avanti. sono state inserite slide prese dalla presentazione rette e segmenti

14 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Notazione

15 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Notazione Punto: lettere MAIUSCOLE dellalfabeto latino: A; B … P Segmento: la coppia di lettere MAIUSCOLE che rappresentano gli estremi del segmento: AB; … P Q Retta: lettere minuscole dellalfabeto latino: a; b … r Angolo: Lettere dellalfabeto greco: ; ; …

16 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rette Perpendicolari

17 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano 90° rette PERPENDICOLARI ( ) 2 rette si dicono PERPENDICOLARI se intersecandosi formano 4 angoli retti s r perché rette incidenti formanti 4 angoli retti 90° w v perché le rette incidenti NON formano 4 angoli retti w v s r w v ?

18 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano w è ASSE di PQ ? w NON è ASSE di PQ perché NON passa per M ASSE del SEGMENTO si chiama ASSE del SEGMENTO la retta PERPENDICOLARE al segmento passante per il suo PUNTO MEDIO r è ASSE di AB perché r AB r passa per M (punto medio di AB) r AB M Evidenziamo il punto medio MPQ w w MPQ w NON è ASSE di PQ perchè w PQ

19 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano PH è il segmento più corto Forma un ANGOLO RETTO con la retta DISTANZA punto-retta La DISTANZA di un punto da una retta è il segmento PIÙ CORTO congiungente il punto con la retta Quale è il segmento più corto ? Cosa si può dire riguardo langolo formato con la retta ? r A B C H D E P

20 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano PIEDE dellALTEZZA Il PIEDE dellALTEZZA è il punto dintersezione H di r con la perpendicolare condotta da P a r r H P piede dellaltezza

21 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rette Parallele

22 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano rette PARALLELE (//) 2 rette si dicono PARALLELE se NON si intersecano mai 2 rette sono PARALLELE se la loro distanza NON cambia w // v ? r s P P' Q Q' R R' = = w v w // v perché la loro distanza CAMBIA

23 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza tra due Rette

24 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza tra due rette È possibile calcolare (misurare) la distanza tra due rette SOLO se le due rette sono PARALLELE

25 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano DISTANZA tra due RETTE Vediamo come determinare la distanza tra due rette parallele r s Scegliere su una delle due rette un punto Tracciare da questo punto la perpendicolare alla seconda retta. ( chiamiamo H lintersezione tra la perpendicolare e la seconda retta ) H A La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele

26 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano DISTANZA tra due RETTE r s H A La lunghezza del segmento AH è la distanza tra le due rette parallele La distanza AH cambia se si prende A in unaltra posizione sulla retta r ? NO La distanza AH cambia se si prende A sulla retta s ? NO

27 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Chiudiamo la parentesi e vediamo come applicare questi concetti in un piano cartesiano

28 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione di una Retta X Y O Detta volgarmente una retta è: una linea dritta infinita r In un piano cartesiano una retta può essere rappresentata in tre modi: Perpendicolare allasse X (oppure parallela allasse Y) Perpendicolare allasse Y (oppure parallela allasse X) Obliqua rispetto gli assi

29 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare allasse X (oppure parallela allasse Y) Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA X X Y O r È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: X = 2

30 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione di una Retta Retta perpendicolare allasse Y (oppure parallela allasse X) Dal disegno si osserva che tutti i punti della retta hanno la STESSA COORDINATA Y X Y O r È quindi possibile identificare la retta con la coordinata comune a tutti i suoi punti retta: Y = 3

31 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rappresentazione di una Retta Retta OBLIQUA Dal disegno si osserva che i punti della retta cambiano sia la COORDINATA Y che la COORDINATA X Q UINDI È TROPPO DIFFICILE DESCRIVERLA ORA, LO SI FARÀ ALLA SCUOLA SUPERIORE. X Y O r

32 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano X Y O Esercizio Descrivere la retta disegnata nel piano cartesiano … Soluzione … r r r X = 3 X = 1 Y = 4 r Y = 3 r Y = 1 r Y = 0 r X = 0

33 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza Punto - Retta Vediamo come determinare la distanza tra un punto e una retta X Y O Determinare la distanza tra il punto P (1; 2) e la retta r: X=3 P 1.- Rappresentiamo il problema H 2.- Tracciamo laltezza tra P e r, chiamiamo H il piede dellaltezza r La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H Lascissa di H la ricavo dalla retta : X H = 3 Lordinata di H la ricavo è quella del punto : Y H = Calcoliamo PH PH = X H – X P = 3 – 1 = 2u

34 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza Punto - Retta Ora prova da solo X Y O Determinare la distanza tra il punto P (3; 1) e la retta r: Y=4 P 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Tracciamo laltezza tra P e r, chiamiamo H il piede dellaltezza La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata Per determinare PH dobbiamo conoscere le coordinate di H 3.- Determiniamo le coordinate di H Lordinata di H la ricavo dalla retta : Y H = 4 Lascissa di H la ricavo è quella del punto : X H = Calcoliamo PH PH = Y H – Y P = 4 – 1 = 3u H r

35 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza Retta - Retta X Y O 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata 4.- Calcoliamo PH d(r,t) = PH = Y H – Y P = 4 – 1 = 3u H Nelle slides 23, 24, 25 è stato mostrato come calcolare la distanza tra due RETTE PARALLELE r: y=4 t: y=1 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e laltra retta, sia H il piede dellaltezza P Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ascissa e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate y Le coordinate y dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette.

36 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza Retta - Retta X Y O 1.- Rappresentiamo il problema 2.- Scegliamo (a caso) un punto P su una delle due rette La lunghezza del segmento PH è la distanza cercata 4.- Calcoliamo PH d(r,t) = PH = X H – X P = 4 – 0.5 = 3.5u H Prova da solo r: x=0.5t: x=4 3.- Tracciamo la perpendicolare tra P e laltra retta, sia H il piede dellaltezza P Vediamo che i punti P e H hanno la stessa ordinata e quindi la loro distanza è data dalla differenza delle coordinate x Le coordinate x dei due punti sono date dalle equazioni delle due rette. Determinare la distanza tra le rette r: x=0.5 e t: x=4 … Soluzione …

37 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Distanza Retta - Retta Riassumendo X Y O H r: x=0.5t: x=4 P DIFFERENZA DELLE COORDINATE NOTE Date due rette parallele X Y O H r: y=4 t: y=1 P d(r,t) = X H – X P d(r,t) = Y H – Y P Date due rette parallele, la loro distanza è data dalla …

38 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rette perpendicolari Le rette parallele allasse x sono perpendicolari alle rette parallele allasse y X Y O t: x=3 r: y=2

39 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano Rette perpendicolari - INTERSEZIONE Le rette parallele allasse x sono perpendicolari alle rette parallele allasse y X Y O t: x=3 r: y=2 P Determiniamo le coordinate del punto P intersezione delle due rette Pè un punto della retta verticale e quindi ha la stessa ascissa di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio x=3 Pè un punto della retta orizzontale e quindi ha la stessa ordinata di tutti gli altri punti della retta. Nel nostro esempio y=2 Quindi le coordinate di P sono P = (3; 2)

40 Scuola Media Liceo Scientifico Salesiani – Rainerum Il Piano Cartesiano


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