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Riassunto delle puntate precedenti: Definizioni (informali) di enunciato, argomento, mondo possibile. Definizione (informale) di argomento corretto Definizione.

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1 Riassunto delle puntate precedenti: Definizioni (informali) di enunciato, argomento, mondo possibile. Definizione (informale) di argomento corretto Definizione (formale) del linguaggio della logica enunciativa. Definizione (formale) del concetto di formula ben formata del linguaggio della logica enunciativa. Definizione (formale) dellalgoritmo delle tavole di verità.

2 Estensione della logica enunciativa: la logica dei predicati (o predicativa o del primo ordine) Con la logica dei predicati è possibile trattare la struttura logica di argomenti più complessi, in particolare di argomenti che contengono importanti operatori logici detti quantificatori (operatori che determinano lestensione dellinsieme di oggetti che soddisfano una certa proprietà).

3 Lintroduzione del linguaggio enunciativo permette di fornire unanalisi logica astratta di unampia classe di enunciati e delle loro condizioni di verità. Questo consente a sua volta di verificare la correttezza di argomenti che abbiano come premesse e conclusioni un certo numero di enunciati.

4 Riprendiamo tuttavia largomentazione Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale e chiediamoci: 1) è possibile tradurre fedelmente largomentazione nel linguaggio enunciativo? 2) se è possibile, la traduzione è in grado di conservare la validità dellargomento?

5 Traduzione in linguaggio enunciativo (LE) Linguaggio naturaleLE Tutti gli uomini sono mortalip Socrate è un uomoq quindi Socrate è mortaler Questa traduzione è lunica possibile: gli enunciati dellargomento sono atomici e devono quindi essere rappresentate da singole variabili enunciative.

6 Conservazione della correttezza? La traduzione in linguaggio enunciativo è dunque possibile: ma conserva anche la correttezza? Per la traduzione, conservare la correttezza significa che – anche per largomento in LE – se le premesse sono vere allora deve essere vera anche la conclusione. In realtà, tutto ciò che può fare la traduzione è formulare gli enunciati in linguaggio naturale come variabili enunciative, e di per sé le semplici lettere p e q non sono costrette a implicare con necessità r.

7 In altri termini, non è contraddittorio ammettere che esista un assegnazione di valori di verità a p, q e r tale che pV qV rF Dove sta il problema?

8 Il problema sta nel fatto che, nel linguaggio enunciativo, p, q e r devono essere rappresentate da variabili enunciative atomiche, perché non contengono alcun connettivo. Ma ciò che garantisce la validità dellargomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale dipende proprio dalla struttura interna di queste proposizioni.

9 Per estendere linsieme di enunciati che è possibile analizzare dal punto di vista della logica, occorre allora analizzare la struttura interna degli enunciati atomici. Questo passo porterà ad estendere il linguaggio enunciativo verso un nuovo linguaggio artificiale, capace di rendere conto della validità di argomenti come Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale

10 Per analizzare la struttura interna di un enunciato atomico, ricorreremo a uno strumento di antica tradizione, lo schema soggetto-predicato. Consideriamo il semplice enunciato lerba è verde: in base allo schema soggetto-predicato, avremo erba soggetto essere verde predicato Il predicato non è altro che una proprietà attribuita al soggetto.

11 Enunciati come lerba è verde non sono tuttavia lunico tipo di enunciati di cui possiamo indagare la struttura interna. Consideriamo infatti un enunciato come Mario è più alto di Carlo Unapplicazione dello schema soggetto-predicato prescriverebbe Mario soggetto essere più alto di Carlo predicato

12 Il significato intuitivo dellenunciato sembra però compatibile anche con la scomposizione Carlo soggetto essere più basso di Mario predicato Sembra dunque che uno stesso contenuto concettuale sia associato a due enunciati con due soggetti diversi: con quale criterio scegliere?

13 Contenuto concettuale dellenunciato soggetto: Mario ? predicato: essere più alto di Carlo soggetto: Carlo predicato: essere più basso di Mario

14 Soluzione naturale: il contenuto concettuale dellenunciato riguarda una relazione tra due soggetti. Questo implica che lo schema dovrà contemplare almeno due casi possibili: Predicato attribuito a un soggetto: si tratta di una proprietà di quel soggetto. Predicato attribuito a n soggetti: si tratta di una relazione che sussiste tra quei soggetti. Una generica proposizione atomica può parlare allora di uno o più soggetti: si definisce termine singolare ogni espressione che si riferisca a un soggetto singolo.

15 Termini Singolari Nomi propri (Mario, Carlo, ecc.) Pronomi dimostrativi ed espressioni che cominciano con un aggettivo dimostrativo (questo, quel tavolo) Pronomi personali singolari (io, egli, ecc.) Descrizioni definite, vale a dire espressioni che cominciano con un articolo determinativo singolare (il presidente della Repubblica, il sindaco di Berlino, ecc.) e che hanno un unico individuo come riferimento.

16 Consideriamo i seguenti esempi. Mario è alto Mario e Carlo sono fratelli Mario è più alto di Carlo Il predicato è ciò che resta quando vengono eliminati dallenunciato i termini singolari: Mario è alto Mario e Carlo sono fratelli Mario è più alto di Carlo

17 ..... è alto Predicato a 1 posto (proprietà)..... e..... sono fratelli Predicato a 2 posti (relazione)..... è più alto di..... Predicato a 2 posti (relazione) Attenzione! La relazione essere fratelli è simmetrica (lordine non conta), ma quella essere più alto di non lo è.

18 La nozione di funtore Abbiamo già incontrato la nozione di descrizione definita: unespressione come Il presidente del Senato denota un unico individuo e si comporta dunque come un termine singolare. Possiamo però generalizzare la situazione e introdurre unespressione come Il presidente di […] Questa espressione può essere associata a una operazione che associa a un certo gruppo lindividuo che ne è il presidente.

19 Possiamo quindi rappresentare più in generale la situazione nel modo seguente: Il presidente di : R S In un caso particolare, possiamo quindi avere Senato Il presidente del Senato Il presidente di Questo tipo di operazioni sono casi particolari di un concetto più generale, quello di funzione.

20 Una funzione f: S T è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi dellinsieme S associa uno e un solo elemento dellinsieme T. Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è detto largomento della funzione e y è detto il valore della funzione. Linsieme S è detto dominio della funzione, mentre linsieme T è detto codominio della funzione. Attenzione: la definizione appena fornita consente il caso che S = T, cioè che dominio e codominio coincidano.

21 Esempio 1: Se S = insieme dei bambini di una scuola elementare (con maestra unica!) T = insieme delle maestre della scuola indichiamo con lespressione Maestra di: S T la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).

22 Esempio 2 La funzione aritmetica quadrato di, che a ogni numero naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) n n, può essere rappresentata come quadrato di: N+ N+ In questo caso, dominio e codominio coincidono.

23 Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di argomenti. Esempio 3 La funzione somma di è definita per coppie di numeri: se con N denotiamo linsieme dei numeri naturali, la funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero naturale n + m. La notazione è la seguente: + : {N x N} N + : {n,m} n+m

24 Torniamo al nostro argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale Il linguaggio enunciativo non è in grado di esprimere la struttura interna di nessuna delle proposizioni dellargomento, mentre lo schema soggetto- predicato ci permette di esprimere la struttura della seconda premessa e della conclusione. Come fare con la prima premessa?

25 Essa appare cruciale, perché esprime la validità di una proprietà per tutti gli individui di un certo insieme. Perché il linguaggio possa esprimere questo tipo di enunciati, sarà necessaria una riformulazione dellenunciato stesso nei seguenti termini: Per ogni possibile x, se x è un uomo allora x è mortale. Questa riformulazione introduce due nozioni essenziali che dovranno far parte del linguaggio: le variabili e i quantificatori.

26 Una variabile non è altro che un termine singolare generico, cioè un termine che può assumere valori diversi. Quando per esempio si scrive x+y = y+x, si intende con ciò che quella uguaglianza è valida per qualunque numero si decida di sostituire a x e y.

27 Un quantificatore è invece un operatore logico presente in proposizioni che affermano per quanti individui di un dato insieme valgono una certa proprietà o una certa relazione. Saranno introdotti due quantificatori: Quantificatore universale xPx per ogni x, x è P Quantificatore esistenziale xPx esiste un x che è P

28 Linguaggio della logica predicativa (LP) Alfabeto logico: Connettivi enunciativi e quantificatori, Alfabeto descrittivo: AD-1) Un insieme infinito di variabili individuali x, y, z,... (eventualmente con apici e indici) AD-2) Un insieme infinito di costanti individuali (eventualmente con apici e indici) AD-3) Un insieme infinito di costanti predicative P, Q, R,... (eventualmente con apici e indici) AD-4) Un insieme infinito di costanti funtoriali f 1, f 2, …. Alfabeto ausiliario: Parentesi e virgole

29 Definizione ricorsiva di termine individuale di LP BASE: Sono termini individuali le variabili individuali e le costanti individuali. PASSO: Se t 1, …, t n sono termini individuali e f n è una costante funtoriale n-aria, anche f n (t 1, …, t n ) è un termine individuale. CHIUSURA: Nientaltro è un termine individuale.

30 Formule atomiche di LP Se t 1, …, t n sono termini individuali di LP e P è una costante predicativa n-aria di LP, allora P(t 1, …, t n ) è una formula atomica di LP.

31 Esempio 1 Mario = m (costante individuale) Mario è alto = Am è alto = A (predicato a 1 posto) formula atomica di LP Attenzione! Am è un esempio della forma generale P(t 1,...,t n ): infatti si pone P=A e t 1 = m (in questo caso n=1).

32 Esempio 2 Mario, Carlo = m, c (costanti individuali) Mario e Carlo sono fratelli = F(m,c) essere fratello = F (predicato a 2 posti) formula atomica di LP Attenzione! F(m,c) è un esempio della forma generale P(t 1,...,t n ): infatti si pone P=F, t 1 =m, t 2 =c (in questo caso n=2).

33 Definizione ricorsiva di formula ben formata di LP BASE: Ogni formula atomica di LP è una fbf di LP. PASSO: 1) Se è una fbf di LP, allora anche è una fbf di LP. 2) Se, sono fbf di LP, allora anche è una fbf di LP. 3) Se, sono fbf di LP, allora anche è una fbf di LP. 4) Se, sono fbf di LP, allora anche è una fbf di LP. 5) Se è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora anche x è una fbf di LP. 6) Se è una fbf di LP e x una variabile individuale, allora anche x è una fbf di LP. CHIUSURA: Nientaltro è una fbf di LP.

34 Variabili libere e vincolate In espressioni come x x la potrebbe in generale contenere altre variabili oltre a x. Se poniamo per esempio Px Qy, si ottengono le fbf [1] x(Px Qy), [2] x(Px Qy) In generale, si dice che una variabile occorre vincolata quando dipende da un quantificatore (da cui, appunto, è vincolata), e libera altrimenti. Nelle [1] e [2] la x occorre vincolata, mentre la y occorre libera. Sempre la definizione di fbf in LP permette casi come xPy,dove Py. In questo caso, la quantificazione opera a vuoto e si dice muta o vacua.

35 Una formula che contiene almeno unoccorrenza libera di una variabile è detta formula aperta. Una formula che non contiene occorrenze libere di alcuna variabile, cioè che - o non contiene alcuna variabile - o, se ne contiene, nessuna occorrenza di tali variabili in è libera è detta formula chiusa (= enunciato). Esempi: P(r,t), xPx Qs, x y(Px Qy) sono formule chiuse, mentre P(r,x), xPx Qy, x y(Px Qy Rz) sono formule aperte.

36 Dati una formula, un termine t e una variabile x, si dice sostituzione di x con t in la fbf che si ottiene rimpiazzando uniformemente ogni occorrenza libera di x con t: tale fbf sarà denotata dallespressione [x/t] Per esempio, data la fbf P(x) P(x), la sostituzione in essa di x con r è la fbf P(r) P(r).

37 Formalizzazione : qualche esercizio Linguaggio naturaleLE p = «piove», n = «nevica» «Piove ma non nevica» p n «Non è vero che sia piove sia nevica» (p n) «Piove se e solo se nevica» p n «Se piove e nevica, allora nevica» (p n) n «O piove e nevica, o piove ma non nevica» (p n) (p n)

38 Linguaggio naturaleLP Bruno = b, Carla = c, Aldo =a amare = A, essere fabbro = F, vedere = V, essere medico = M presentare = P «Bruno non ama niente» x Abx oppure x Abx «Un fabbro si ama» x (Fx Axx) «Aldo vede ogni fabbro» x (Fx Vax) «Se Bruno ama qualcosa, allora ama qualsiasi cosa» x Abx x Abx «Aldo ha presentato un fabbro a un medico» x y ((Fx My) Paxy)


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