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Relazioni binarie. Consideriamo due insiemi A e B A Palermo. Torino. Milano. Venezia..Sicilia.Veneto.Lazio.Piemonte.Toscana Catania. B R R ={(Catania,

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1 Relazioni binarie

2 Consideriamo due insiemi A e B A Palermo. Torino. Milano. Venezia..Sicilia.Veneto.Lazio.Piemonte.Toscana Catania. B R R ={(Catania, Sicilia) ; (Palermo, Sicilia) ; (Torino, Piemonte) ; (Venezia, Veneto)}

3 Una relazione tra due insiemi A e B è costituita da tutte le coppie ordinate (x,y) con x A e y B che rendono vera una determinata proposizione aperta p(x,y) che costituisce la legge della relazione Per definire una relazione sono necessari due insiemi e una proposizione logica aperta Insiemi A={Catania; Palermo;Torino;Venezia;Roma} B={Sicilia; Piemonte;Veneto;Toscana; Lazio} Legge della relazione p(x,y):<>

4 Dominio : Sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di B Codominio: Sottoinsieme di B che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di A D= D= {Catania; Palermo;Torino; Venezia} C= C= {Sicilia; Veneto, Piemonte} A Palermo. Torino. Milano. Venezia..Sicilia.Veneto.Lazio.Piemonte.Toscana Catania. BControimmagini Immagini

5 Esempio: 1 Legge della relazione P(x,y): > 5 R è pari, quindi 5 R 3 8 R è dispari, quindi 8 R 3 1 R è dispari, quindi 1 R 8 10 R è pari, quindi 10 R 12

6 Esempio: Legge della relazione p(x,y): > Modi per rappresentare una relazione Rappresentazione per elencazione R = {(1,0),(1,8),(1,12),(5,0),(5,8),(5,12),(8,3),(10,3)} Rappresentazione sagittale.0 B A

7 Esempio: Modi per rappresentare una relazione Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata Rappresentazione mediante diagramma cartesiano A\B VFVV 5VFVV 8FVFF 10FVFF x A y B Legge della relazione p(x,y): >

8 Legge della relazione p(x,y):<< x y>> Modi per rappresentare una relazione Quando gli insiemi A e B coincidono la rappresentazione sagittale assume una forma particolare Rappresentazione mediante grafo A=B= 2;3;4;6;

9 RELAZIONE INVERSA Dati due insiemi A e B e una relazione R s i chiama relazione inversa della R e si indica R –1 la relazione da B verso A che fa corrispondere alle immagini nellinsieme B le controimmagini nellinsieme A. Nella relazione inversa R –1 rispetto alla relazione R il dominio e il codominio si scambiano.

10 Esempio: RELAZIONE INVERSA A= 1;2;3;4;6 B= 2;3;4;6;9,12.2 B A B A Legge della relazione R p(x,y): > Legge della relazione R -1 Dominio della R Codominio della R Dominio della R Dominio della R -1 Codominio della R Codominio della R -1

11 Proprietà delle relazioni binarie Consideriamo il caso in cui gli insiemi A e B coincidono A = B

12 1 Proprietà Riflessiva xRxxRx Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando ciascun elemento è in relazione con se stesso In simboli

13 Proprietà Riflessiva esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > 3 R 3 perché 3 è multiplo di se stesso, 10 R 1 0 perché 10 è multiplo di se stesso, ………………………………., in generale x R x perché un numero x è multiplo di se stesso. x N x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

14 Proprietà Riflessiva esempio Relazione R definita da p(x,y)= 0>> 3 R 3 perché 3 +3 >0, Poiché abbiamo già individuato almeno un elemento di Z che non è in relazione con se stesso non vale la proprietà riflessiva R - 10 perché (-10)+(-10)<0. In simboli x Z x R x pertanto la relazione non gode della proprietà riflessiva

15 Proprietà Riflessiva esempio -5 R - 5 perché (-5) (-5) 0, 10 R 1 0 perché (10) (10) 0, 0 R 0 perché (0) (0) 0, x R x perché x x = x 2 0. Relazione R d efinita da P(x,y) = > x Z x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

16 Proprietà Riflessiva esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata A VVV 2VV 3VVV 4VV 5VVV La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che tutte le caselle della diagonale principale fanno parte della relazione. Diagonale principale

17 Proprietà Riflessiva esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante grafo La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che su ciascun elemento cè un arco che ritorna su se stesso

18 2 Proprietà antiriflessiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quando tutti gli elementi dellinsieme non sono in relazione con se stessi In simboli xRxxRx

19 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B=N Proprietà antiriflessiva In generale 5 R 5 perché 5+5 è pari 8 R 8 perché è pari x R x perché x + x = 2x che è sempre pari x Z x R x Pertanto vale la proprietà antiriflessiva

20 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } A VV 2VVV 3VV 4VV 5VV La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che nessuna delle caselle della diagonale principale fa parte della relazione. Diagonale principale Proprietà antiriflessiva

21 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante grafo La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che nessun elemento è dotato di un arco che ritorna su se stesso

22 Proprietà riflessiva e antiriflessiva Spesso le relazioni non godono ne della proprietà riflessiva ne di quella antiriflessiva. Ciò avviene quando alcuni elementi, ma non tutti, sono in relazione con se stessi. Alcuni elementi sono in relazione con se stessi altri no

23 3 Proprietà Simmetrica Se x R y allora y R x Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando se lelemento x è in relazione con lelemento y anche y è in relazione con x In simboli

24 Proprietà Simmetrica esempio 9 R 3 perché è pari. 3 R 9 perché è pari (proprietà commutativa) Ragionando in generale abbiamo che: Relazione R d efinita da P(x,y) = > x N s e x R y anche y R x Pertanto vale la proprietà simmetrica

25 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata A/B VVV 2VV 3VVV 4VV 5VVV La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che la tabella è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Diagonale principale Proprietà Simmetrica

26 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante grafo La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che se esiste larco (freccia) in una direzione, esiste anche larco nella direzione opposta Proprietà Simmetrica

27 esempio x, y N; x R y : x è multiplo di y 9 R 3 perché 9 è multiplo di 3 non vale la proprietà simmetrica Basta questo per dire che 3 R 9 perché 3 non è multiplo di 9.

28 Proprietà Antisimmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica quando se lelemento x è in relazione con lelemento y allora y non è in relazione con x In simboli 4 Se x R y allora y R x

29 Proprietà antisimmetrica esempio 9 R 3 perché 9 è maggiore di 3 Ragionando in generale abbiamo che: Relazione R d efinita da p(x,y) = y >> 3 R 9 perché 3 non è maggiore di 9 x,y N s e x R y risulta y R x Pertanto vale la proprietà antisimmetrica

30 esempio Relazione R d efinita da P(x,y) = > A=B={ 1,2,3,4,5 } Rappresentazione mediante grafo La proprietà antisimmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che larco (freccia) esiste solo in una direzione ma non in quella opposta Proprietà antisimmetrica

31 Proprietà simmetrica e antisimmetrica Spesso le relazioni non godono ne della proprietà simmetrica ne di quella antisimmetrica. Ciò avviene quando alcune coppie di elementi sono in relazione solo in un verso e altre coppie in entrambi i versi.

32 Proprietà Transitiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà transitiva quando se x è in relazione con y e y è in relazione con z allora anche x risulta in relazione con z In simboli 5 Se x R y e y R z risulta x R z

33 5 Proprietà Transitiva esempio 27(x) R 9 (y) perché 27 è multiplo di 9, 9(y) R 3 (z) perché 9 è multiplo di 3. Infine 27(x) R 3(z) perché 27 è multiplo di 3. Relazione R d efinita da p(x,y) = > 36(x) R 6 (y) perché 36 è multiplo di 6, 6(y) R 2 (z) perché 6 è multiplo di 2. Infine 36(x) R 2(x) perché 36 è multiplo di 2.

34 5 R 0 perché è dispari, 0 R 9 perché è dispari, ma, 5 R 9 perché è pari e non dispari. Pertanto non vale la proprietà transitiva Proprietà Transitiva esempio Relazione R d efinita da p(x,y) = >

35 Proprietà Transitiva Se tre elementi sono mutuamente in relazione il senso di percorrenza degli archi deve essere non circolare. La proprietà transitiva non è immediatamente riconoscibile e verificabile con la rappresentazione mediante tabella o grafico cartesiano. Solo nella rappresentazione mediante grafo è possibile individuare detta proprietà Relazione transitiva z x y Relazione non transitiva z x y

36 Esercizi 1 Verificate di quali proprietà godono le seguenti relazioni definite in Z R definita da p(x,y) = > R definita da R definita da R definita da R definita da p(x,y) = 100 >> p(x,y) = >

37 Relazioni di equivalenza Una relazione, definita in un insieme A, si dice di equivalenza se e solo se gode delle proprietà Riflessiva Simmetrica Transitiva

38 esempio Riflessiva Simmetrica Transitiva x R x perché x + x = 2x che è pari. Se x R y allora x + y = 2a Se x R y allora x + y = 2a, Poiché anche y + x = 2a allora y R x. se y R z allora y + z = 2b. Sommando x + 2y + z = 2a + 2b da cui x + z = 2a + 2b - 2y ; x + z = 2(a + b - y) Ossia anche x + z è pari, ossia x R z Relazione R d efinita da P(x,y) = >

39 esempio Relazione R d efinita da Poiché la relazione considerata gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva essa è una relazione di equivalenza

40 Esercizi 1 Dite quali fra le seguenti relazioni definite in Z sono di equivalenza p(x,y) = > R definita da R definita da R definita da R definita da

41 Classi di equivalenza Data una relazione di equivalenza definita in A e x un suo elemento, una classe di equivalenza, indicata con [x], è un sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A in relazione con x.

42 esempio E facile vedere che tale relazione è di equivalenza perché soddisfa le proprietà riflessiva simmetrica transitiva R d efinita da p(x,y) = > A=B= {x | x è una retta del piano} x Se xRy allora yRx y xRx x Se xRy e yRz allora xRz y z

43 esempio Ogni classe di equivalenza individua quella che viene detta Direzione R definita da p(x,y) = > A=B= {x | x è una retta del piano}

44 Relazioni di ordine Una relazione, definita in un insieme A, si dice di ordine se e solo se gode almeno delle proprietà 1 2 Antisimmetrica Transitiva Una relazione è di ordine largo se gode anche della proprietà Riflessiva Una relazione è di ordine stretto se gode anche della proprietà Antiriflessiva

45 esempio Antisimmetrica Transitiva Se x R y perché x è multiplo di y Se x R y e y R z allora anche x R z y R x perché y non può essere multiplo di x Consideriamo ad esempio x=18 y=9 z=3 Relazione R d efinita da p(x,y) = > Poiché la relazione gode della proprietà antisimmetrica e transitiva è una relazione dordine 18 R 9 e 9 R 3 anche 18 R 3 Poiché la relazione gode della proprietà riflessiva (ogni numero e multiplo di se stesso) la relazione di ordine largo

46 Una relazione dordine totale Una relazione dordine totale si ha quando gli elementi dellinsieme sono tutti confrontabili, cioè per ogni coppia di elementi deve esistere la relazione in un senso o in quello opposto Una relazione dordine parziale Una relazione dordine parziale si ha quando gli ele- menti dellinsieme non sono tutti confrontabili tra di loro

47 esempio Questa è una relazione dordine totale perché tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro Relazione R d efinita da p(x,y) = > Le relazione dordine totale operano un ordinamento completo degli elementi dellinsieme

48 esempio Questa è una relazione dordine parziale perché esistono almeno due elementi che non sono confrontabili tra di loro es. (24,60) e (24,36) Relazione R d efinita da p(x,y) = > Le relazione dordine parziale operano un ordinamento parziale degli elementi dellinsieme

49 FUNZIONI B A Si chiama funzione o applicazione di A in B una relazione che ad ogni elemento dellinsieme A fa cor- rispondere uno ed un solo elemento dellinsieme B. Le funzioni sono quindi particolari relazioni in cui il dominio coincide con linsieme A e ad ogni elemento di A deve essere associato un solo elemento di B

50 FUNZIONI Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che non è in relazione con nessun elemento di B B A B A Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che è in relazione con più di un elemento di B

51 FUNZIONI Una funzione si indica con la seguente simbologia f : AB o anche con y = f(x) B A Funzione f : AB definita da y = x 2 esempioA={1,-2,2,3,-4,5} B={1,4,9,16,25} xy y = 1 2 = 1 y = (-2) 2 = 4 y = 2 2 = 4 y = 3 2 = 9 y = (-4) 2 = 16 y = 5 2 =

52 FUNZIONI f : NN definita da y = 2x+1 esempioA=B=N xy y = 2.1+1=2+1=3 y = 2.2+1=4+1=5 y = 2.3+1=6+1=7 y = 2.4+1=8+1=9 ……………………..….. y = =24+1=25 ……………………….... y = =200+1=201 …………………………. La x che fissiamo noi si chiama variabile indipendente La y che viene calcolata in base alla legge della funzione si chiama variabile dipendente

53 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Una funzione f: A B si dice iniettiva quando ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B Funzione iniettiva B A B A Funzione non iniettiva Funzione iniettiva

54 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Una funzione f: A B si dice suriettiva quando il codominio coincide con linsieme B Funzione suriettiva Funzione non suriettiva Funzione suriettiva B A B A

55 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Una funzione f: A B si dice biiettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva Funzione biiettiva Funzione non biettiva Funzione biiettiva B A B A

56 Funzione suriettiva e non iniettiva Funzione biiettiva B A B A B A B A Funzione generica Funzione iniettiva e non suriettiva

57 PRODOTTO DI FUNZIONI Date le funzioni f: A B e g: B C si chiama prodotto delle funzioni gf la funzione k : A C che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di C f A C B k = g f g

58 PRODOTTO DI FUNZIONI f : ZZ definita da y = x+1 esempioA=B=C=Z xy =f(x)=x y = -4+1=-3 y = -2+1=-1 y = 1+1= 2 y = 3+1= 4 ………….. g: ZZ definita da z = 2y-1 yz =g(y)=2y z = 2. (-3)-1=-6-1=-7 z = 2. (-1)-1=-2-1=-3 z = 2.2-1=4-1=3 z = 2.4-1=8-1=7 ………………. Funzione f Funzione g

59 PRODOTTO DI FUNZIONI f : ZZ definita da y = x+1 esempioA=B=C=Z g: ZZ definita da z = 2y-1 Z Z Z

60 PRODOTTO DI FUNZIONI f : ZZ definita da y = x+1 esempioA=B=C=Z xz = g[f(x)] =2x y = 2(-4)+1=-8+1=-7 y = 2(-2)+1=-4+1=-3 y = 2.1+1=2+1=3 y = 2.3+1=6+1=7 ………….. g: ZZ definita da z = 2y-1 Funzione k = g f z = g(y) = g[f(x)] = 2y-1 = 2(x+1)-1 = 2x+2-1 = 2x+1 in definitiva z = 2x+1 Z Z k = g f


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