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A cura di Maria Giovanna Melis. Un possibile itinerario didattico RelazioniRelazioni legate a situazioni reali e loro rappresentazione: 1- fra due insiemi.

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Presentazione sul tema: "A cura di Maria Giovanna Melis. Un possibile itinerario didattico RelazioniRelazioni legate a situazioni reali e loro rappresentazione: 1- fra due insiemi."— Transcript della presentazione:

1 A cura di Maria Giovanna Melis

2 Un possibile itinerario didattico RelazioniRelazioni legate a situazioni reali e loro rappresentazione: 1- fra due insiemi diversi: 1a) relazioni di vario tipo: …è sorella di…; …è madre di…; …si nutre di… 2b) corrispondenze univoche e biunivoche:univochebiunivoche cartella – alunno; tappo – bottiglia; tazza – piattino 2- fra due insiemi uguali (in uno stesso insieme): 2a) relazioni di equivalenza:relazioni di equivalenza: …ha la stessa forma di…; …è nato nello stesso anno di…; …pratica lo stesso sport di… 2b) relazioni di ordine:relazioni di ordine …è più alto di…; è maggiore di…; …contiene più di… 3- Proprietà delle relazioni in un insieme: proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitivariflessivaproprietà simmetrica, transitiva 4- Relazioni inverseRelazioni inverse 5- Utilizzo delle relazioni nei diversi ambiti disciplinari. 6- Situazioni combinatorie Prodotto cartesiano di due insiemi:Prodotto cartesiano - individuazione di tutti i casi possibili di combinazione di oggetti o di attributi (coppie ordinate) - Rappresentazione con frecce, tabelle a doppia entrata, albero. Riferimenti : Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La scuola, 1993 Filipozzi Maricchiolo, Logica, probabilità, statistica e informatica, Fabbri editori, 1990 Tenuta, Itinerari di logica, probabilità, statistica, informatica, La scuola, 1992 Lanciotti, Marazzani, Logica, Carocci Faber, 2004

3 Coppiaordinata Una coppia ordinata è costituita da due elementi, per esempio a e b, uno dei quali viene indicato come primo elemento e laltro come secondo. Con i simboli: (a,b) Caratteristica delle coppie: (a,b) = (b,a). Essendo ordinate non possono essere la stessa coppia. Il concetto di coppia ordinata permette di definire linsieme prodotto di due insiemi. Dati due insiemi F, P si dice insieme prodotto o prodotto cartesiano di F e P linsieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene a F e il secondo elemento appartiene a P. Linsieme prodotto si indica con F x P Es: F= 0, 1, 2 ; P = a, b F x P = (0, a), (0, b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) Il prodotto cartesiano non è commutativo: F x P = P x F Il prodotto cartesiano può avvenire anche con linsieme per se stesso: F x F torna

4 F x F pera Utilizzando le sillabe pe – ra, costruiamo nella tabella linsieme di tutte le coppie PERA PEPEPEPERA RARAPERARA La stessa situazione può essere rappresentata con un grafico a frecce: PE RA

5 relazione Una relazione consiste in: 1- un insieme A 2- un insieme B 3- unespressione P (x, y) tale che è vera o falsa per ogni coppia ordinata del prodotto cartesiano A x B. Oppure : 1- un insieme A 2- unespressione P (x, y) tale che è vera o falsa per ogni coppia ordinata del prodotto cartesiano A x A. relazione èun sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B o A x A La relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B o A x A, poiché al loro interno si vanno a cercare le coppie che rispondono a tali relazioni. 1° esempio: A= 1, 2, 3, 4 e B= a, b R = > R= (2,a) (2,b) (4,a) (4,b). Su otto possibili coppie del prodotto cartesiano quattro rispondono alla relazione. 2° esempio: A= 1, 2, 3, 4 R = > R= (1,1) (2,2) (3,3) (4,4). Su sedici possibili coppie del prodotto cartesiano quattro rispondono alla relazione. torna

6 Corrispondenze univoche o applicazioni Una applicazione è una corrispondenza tra due insiemi che mette in relazione ogni elemento del primo insieme con un solo elemento del secondo insieme. Nella rappresentazione sagittale da ogni elemento del primo insieme parte una sola freccia. Per esempio, la relazione > tra linsieme degli alunni di una classe e linsieme dei mesi dellanno determina una corrispondenza univoca, in quanto ciascun alunno è nato in un mese e solo in quel mese. AB R A R B R R = …è figlio di… Luigi Martina Alessia Fabiana Mattia Giovanni Luca Stefano Piero

7 Corrispondenze biunivoche o biiezioni Una relazione tra A e B si dice corrispondenza biunivoca se essa associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e ogni elemento di B è associato a uno e un solo elemento di A (A e B potrebbero anche coincidere). R R = …è lo strumento di lavoro di… R A R B AB falegname imbianchino sarto muratore parrucchiere pennello asciugacapelli sega ago cazzuola

8 Tutte le attività di classificazione richiedono sostanzialmente di mettere in relazione attributi di oggetti in modo da stabilire uguaglianze o differenze. Diversi tipi di relazione: Relazione fra un insieme e i suoi elementi Relazione tra insiemiRelazione tra gli elementi di due insiemi. Si possono verificare due casi: I due insiemi sono diversisono diversi I due insiemi sono ugualisono uguali Rappresentazione grafica di una relazione grafica Alcune proprietà delle relazioni in un insieme Altre proprietàproprietà Torna a itinerario Vai a esempi di attività

9 torna uguali in un insieme Se i due insiemi sono uguali, cioè sono lo stesso insieme, si parla di relazioni in un insieme. AngeloCinziaLuigiAuroraCarla Angeloxx Cinziaxx Luigix Auroraxx Carlaxx A= Angelo, Cinzia, Luigi, Aurora, Carla R A R R = …ha il nome che inizia con la stessa lettera di…

10 Relazione fra gli elementi di due insiemi diversi A R B … è la casa di… A: 2, 3, 4, 5 B: 15, 16, 17, 18, 19, 20 A R B … è divisore di… cane gallina volpe cavallo nido passero pollaio canile stalla tana A B B A torna

11 Per semplicità, in ognuno degli esempi che seguono viene considerata una sola proprietà, anche se tale relazione gode di altre proprietà. A = 2, 3, 5, 7, 11, 13 R … è divisore di … A proprietà riflessiva Viene evidenziata la proprietà riflessiva della relazione, perché ogni elemento è in relazione con se stesso. torna

12 B = R R … ha lo stesso numero di lati di … proprietà simmetrica La relazione gode della proprietà simmetrica, perché per tutti gli elementi dellinsieme dato si verifica che: se un elemento a è in relazione con un elemento b, anche b è in relazione con a. B torna

13 R R … è più lungo di … C = proprietà transitiva La relazione gode della proprietà transitiva, perché per tutti gli elementi dellinsieme dato si verifica che: se a è in relazione con b e b è in relazione con c, anche a è in relazione con c. torna

14 Proprietà antiriflessiva P = Antonio, Bruno, Cristiano, Domenico P è un insieme di persone; sappiamo che: Antonio è il più vecchio di tutti, Domenico è il più giovane e Bruno è nato prima di Cristiano. Rappresentiamo con le frecce la relazione R R … è nato dopo di… Antonio Bruno Domenico Cristiano Nessun elemento è in relazione con se stesso: quando capita questa situazione si dice che la relazione considerata gode della proprietà antiriflessiva P torna

15 U : poligoni T : triangoli U T Appartenenza : Il triangolo appartiene allinsieme (è elemento dellinsieme) T dei triangoli. Si scrive: T Non appartenenza: Il pentagono non appartiene allinsieme T dei triangoli Si scrive: T torna

16 inclusione Relazione tra insiemi: linclusione U= numeri naturali fino a 10 A= numeri naturali pari fino a 10 Si scrive: A U Si legge: A è strettamente incluso in U U A Gli elementi dellinsieme A sono tutti anche elementi di U. Si dice che A è strettamente incluso nellinsieme U, cioè che A è un sottoinsieme di U. Per indicare che un insieme non è incluso in un altro si usa il simbolo: torna

17 Consideriamo i due insiemi: A= Parigi, Madrid, Roma, Bruxelles, Vienna = P, M, R, B, V B= Italia, Austria, Francia, Spagna, Belgio = I, A, F, S, B Determinare le coppie che soddisfano la relazione R > rappresentare graficamente R Si può rappresentare graficamente AxB e quindi il sottoinsieme R delle coppie che soddisfano la relazione in vari modi: Diagramma sagittale Tabella a doppia entrata Rappresentazione cartesiana torna

18 Diagramma sagittale B P M R B V A I A F S B Si uniscono con frecce gli elementi delle coppie appartenenti alla relazione. torna

19 Rappresentazione cartesiana rs r s Si reticola il piano secondo due direzioni perpendicolari (rette r e s ) e si evidenziano i punti di incrocio che rappresentano coppie appartenenti a R. (Non è un riferimento cartesiano perché r e s non sono orientate e su di esse non è stata fissata ununità di misura). P MRBV I A F S B s r torna

20 Tabella a doppia entrata IAFSB P M R B V A B Si evidenziano con un simbolo le caselle corrispondenti ad un elemento di R. Si usa mettere linsieme di partenza a sinistra e quello di arrivo in alto. torna

21 relazioni di equivalenza 1- relazioni di equivalenza : Le relazioni di equivalenza si ricavano dal prodotto cartesiano AxA. Si tratta di una relazione binaria che gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Torna a itinerario

22 A = R ha la stessa forma di… R = …ha la stessa forma di… Q Si può ottenere una partizione dellinsieme A in sottoinsiemi, mediante la relazione. Si formeranno tre sottoinsiemi E, F, G. Ciascun sottoinsieme è detto classe di equivalenza e il loro insieme, che è quindi un insieme di insiemi, è detto insieme quoziente. Si usa indicare tale insieme con Q. E F G Q Q = A/R = E, F, G

23 U = Poligoni R R = …ha lo stesso numero di lati di… Tale relazione è di equivalenza e le classi di equivalenza sono: triangoli quadrilateri esagoni Linsieme quoziente è: Q = triangoli quadrilateri esagoni, … Quadrilateri Esagoni Triangoli

24 2- relazioni di ordine: Tra le diverse relazioni che legano gli oggetti, i fatti e le situazioni, alcune si configurano come relazioni dordine, di queste fanno parte anche le successioni spazio-temporali. La relazione dordine si ricava dal prodotto cartesiano AxA. Si tratta di una relazione binaria e può essere di due ordini: Ordine stretto - Ordine stretto: è una seriazione che gode della proprietà transitiva, antisimmetrica e non riflessiva. Ordine largo transitivariflessivaantisimmetrica - Ordine largo: è una seriazione che gode della proprietà transitiva, riflessiva e antisimmetrica Torna a itinerario Hasse Hasse I diagrammi di HasseHasse

25 relazione dordineinsieme finito. I diagrammi di Hasse (Helmut Hasse 1898 – 1980) servono a rappresentare una relazione dordine su un insieme finito. Sono una semplificazione dello schema sagittale della relazione stessa: R R = > Osserviamo questa relazione in due insiemi diversi: R A = 1, 3, 9, 27 R è di ordine totale Diagramma a frecce Diagramma di Hasse

26 R B = 1, 2, 3, 4, 6, 12 R è di ordine parziale Diagramma a frecceDiagramma di Hasse Nei diagrammi di Hasse si sopprimono i cappi che indicano la riflessività 2-Quando una freccia va da x a y e unaltra da y a z, si sopprime la freccia che va da x a z. 3-Le frecce rimanenti sono rimpiazzate da un semplice tratto e gli elementi sono disposti in modo che un elemento precede (nel senso della relazione) tutti gli elementi posti più in alto di quello considerato. Riferimento: Bozzolo, Primi elementi di logica, insiemi, relazioni, La Scuola, 1993 Torna a itinerario

27 Una relazione è di ordine largo se gode della proprietà transitiva, della proprietà riflessiva e della proprietà antisimmetrica Es. A: 2, 3, 4, 5 R R: … è minore o uguale a …(< ) A Si formano le coppie: (2,2), (2,3), (2,4), (2,5) (3,3), (3,4), (3,5) (4,4), (4,5) (5,5) La relazione è riflessiva: (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) La relazione è transitiva: (2,3), (3,4), (2,4) La relazione è antisimmetrica: (2,2)…

28 I cappi risultano assenti: nessun numero è maggiore di se stesso. Non ci sono frecce di andata-ritorno perché la relazione non è simmetrica (se a è maggiore di b, b non è maggiore di a). Vale però la proprietà transitiva. Ogni freccia corrisponde ad una coppia ordinata di numeri; nellinsieme dato, la relazione è soddisfatta dalle coppie: (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) (4,3) (4,2) (4,1) (3,2) (3,1) (2,1) ordine totale Tutte le coppie di elementi dellinsieme sono tra loro confrontabili: la relazione si dice di ordine totale se a ogni coppia si fa corrispondere un punto avremo lo schema: A A = primi sei numeri naturali R R = …è maggiore di…

29 x x x x x x x x xxxxxxx x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x xxxxxxx x x x x x x x x x x xxx x U= 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 15 R= …è multiplo di…R= …è divisibile per… Tutte le caselle della diagonale principale sono contrassegnate (riflessività): (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4), …. Sono contrassegnate le caselle (12,4) e (4,2) e anche la casella (12,2) (proprietà transitiva) Non è contrassegnata né la casella (15,6) né la casella (6,15), perché lordine indotto dalla relazione non è totale Lenunciato aperto > è equivalente a > sulle coppie ordinate di numeri naturali, con il secondo elemento diverso da 0, pertanto definisce la medesima relazione dordine

30 Nellinsieme dei numeri naturali lenunciato aperto > induce una relazione binaria: riflessiva -riflessiva, perché ogni numero naturale è in relazione con se stesso; transitiva -transitiva, in quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di c, allora a è multiplo di c; antisimmetrica -antisimmetrica, in quanto se a è multiplo di b e b è multiplo di a, allora a è uguale a b. relazione dordine Si tratta, dunque, di una relazione dordine ; tuttavia, lordinamento non è totale, poiché vi sono coppie di numeri naturali che non rendono vero lenunciato aperto. Riferimento: Bozzolo, Costa, Nel mondo dei numeri e delle operazioni, volume 4, Erickson, 2003

31 R = … è multiplo di… A

32 Per es., dal 2 parte una freccia che torna su se stessa e una freccia che va ad 1, perché il 2 è multiplo di se stesso e multiplo di 1. Pertanto: - Ogni numero è multiplo di se stesso: quindi nel grafico ogni numero risulta dotato di cappio (riflessività); -Nessuna coppia di numeri risulta collegata da frecce di senso opposto perché se a è multiplo di b allora b non può risultare multiplo di a (cioè la relazione non è simmetrica); - se a è multiplo di b e b è multiplo di c, a è multiplo di c (transitività). Cè da notare, però, che la relazione > non consente di confrontare tra loro tutte le coppie di numeri dellinsieme (ad esempio, tra 2 e 3 non cè relazione, per cui tale relazione va considerata di ordine parziale

33 Relazione inversa conversa Relazione inversa (o conversa) di una relazione R inversa di R. Data una relazione R fra A e B, invertendo tutte le frecce si ha una relazione fra B e A, che si dice inversa di R. Ecco alcuni esempi di predicati che danno luogo a relazioni una inversa dellaltra: >, > E da notare come, quasi sempre, se una relazione è espressa in forma attiva la sua inversa è in forma passiva e viceversa.

34 E adesso si gioca…. Torna a itinerario

35 Al parco si incontrano dei bambini. Gabriele, Luigi, Mario e Eleonora incontrano per prima Sonia, la sorella di Luigi e Mario. Più avanti, incontrano Matteo, il fratello di Eleonora, che gioca a rincorrersi con Sandra, la sorella di Sonia. Traccia le frecce che vogliono dire: …è il fratello di… Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Non avere sorelle Gabriele Luigi Mario Eleonora Sonia Matteo Sandra Aiutino?

36 Gabriele Luigi Mario Eleonora Sonia Matteo Sandra Avere almeno un fratello Non avere fratelli Avere almeno una sorella Luigi, Mario, Sonia, Sandra Matteo Non avere sorelle EleonoraGabriele torna

37 In un insieme di maschi e femmine, le frecce indicano la relazione: > a b c de c non ha fratelli; ab a è una femmina che ha come fratello b de d e e sono due maschi

38 La freccia indica la relazione > Che numeri potrebbero rappresentare le lettere a, b e c? a b c I valori di a, b e c dovranno soddisfare la relazione c < b < a

39 Traccia delle frecce da ogni quadrato verso tutti quelli più piccoli

40 Ecco un insieme di parole. Traccia tutte le frecce che significano: termina con la stessa sillaba di.. colazione pala ricreazione mela scuola lago pergola azione

41 Unisci le sillabe per formare delle parole. Le frecce che collegano le sillabe di una stessa parola devono essere dello stesso colore. pa la go co sto ma Puoi scrivere nel quaderno le parole che hai trovato pala

42 Questa è una famiglia composta da papà, mamma e un figlio che si chiama Rinaldo. Che cosa può dire Rinaldo alla mamma e al papà con la stessa freccia rossa? Che cosa dice il papà a Rinaldo, con la freccia gialla? Che cosa dice la mamma a Rinaldo, con la freccia verde?

43 Questi tre animali si parlano con la freccia rossa che vuol dire: Io sono più alto di te. Dicono tutti la verità oppure cè qualcuno che dice una bugia? Guarda le zampe di questi animali; sapresti far parlare gli animali con una freccia verde che dice: Io ho lo stesso numero di zampe che hai tu? Tutti dicono la verità Non tutti dicono la verità

44 Ogni volta che un ragazzo, nella fila, sta davanti ad un altro, si scrive 1 nella casella che rappresenta la coppia formata da questi due ragazzi; altrimenti si scrive 0. Usa le indicazioni della tabella per scrivere il nome di ogni ragazzo nella tabella di arrivo. Sta davanti MarcoLuigiPieroMarioMatteo Marco Luigi Piero Mario Matteo ° 2° 3° 4° 5° fine


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