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La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi FRASCATI, 16 ottobre 2011.

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1 La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi FRASCATI, 16 ottobre 2011

2 Il primo problema Il cavaliere de Méré propose a Pascal il seguene problema: E più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte 1 dado si presenti almeno una volta il 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte 2 dadi si presenti almeno una volta il doppio 6? Calcolo di de Méré: Il rapporto tra il numero dei lanci (4 o 24) e il numero dei casi possibili (6 o 36) è lo stesso: 4:6=24:36. Sembra che le due probabilità sia uguali. Calcolo di Pascal: E1: esca almeno una volta il 6 in 4 lanci E2: esca almeno una volta il doppio 6 in 24 lanci. P(E1)=1- (5/6) 4 = 0,5177… P(E2)=1-(35/36) 24 = 0,4914… FRASCATI, 16 ottobre /6+1/6+1/6+1/6=4/6=2/3 (1/6x1/6)+(1/6x1/6)+ ……=24x(1/36)=24/36=2/3

3 Il triangolo ottusangolo In un piano sono dati tre punti non allineati. Calcolare la probabilità che i tre punti siano vertici di un triangolo ottusangolo. (Lewis Carrol) FRASCATI, 16 ottobre 2011

4 Il triangolo ottusangolo Chiamiamo con AB il segmento maggiore. Tracciamo gli archi R 1 e R 2 aventi centro rispettivamente in A e in B, e raggio AB; chiamiamo con P il loro punto di intersezione. Il terzo punto C si trova nella regione di piano compresa tra il segmento AB e gli archi AP e BP. AB P C1C1 C2C2 FRASCATI, 16 ottobre 2011 Tracciamo un semicerchio di diametro AB. I segmenti AC e BC sono gli altri due lati di un triangolo. Se il punto C è interno al semicerchio il triangolo è ottusangolo.

5 Il triangolo ottusangolo La probabilità richiesta è il rapporto tra larea del semicerchio e larea della regione di piano individuata dal segmento AB e dai due archi AP e BP. AB P C Indipendentemente dallunità di misura, la probabilità è: p=(π/2)/((4π/3)-3) = 0,639… FRASCATI, 16 ottobre 2011

6 Le sfere multicolori Unurna contiene sfere di quattro colori: rosso, bianco, azzurro e verde. Estraendo contemporaneamente 4 sfere a caso, i seguenti eventi sono tutti ugualmente possibili: (a)4 sfere rosse (b)1 sfera bianca e 3 rosse (c)1sfera bianca, 1 azzurra e 2 rosse (d)4 sfere di colori diversi. Quante sfere ci sono al minimo nellurna? Indichiamo con r, b,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è: Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: rrrr a) = r x (r-1) x (r-2) x (r-3)/24 rrr b) =b x r x (r-1) x (r-2))/6 rr c) =b x axr x (r-1))/2 r d) =b x a x r x v I quattro prodotti devono essere uguali tra loro FRASCATI, 16 ottobre 2011

7 Le sfere multicolori Da a) e b) si ricava b=(r-3)/4 Da b) e c) si ricava a= (r-2)/3 Da c) e d) si ricava v= (r-1)/2 Indichiamo con r, b,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è:. FRASCATI, 16 ottobre 2011 Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: rrrr a) = r x (r-1) x (r-2) x (r-3)/24 rrr b) =b x r x (r-1) x (r-2))/6 rr c) =b x axr x (r-1))/2 r d) =b x a x r x v I quattro prodotti devono essere uguali tra loro Qual è il più piccolo numero che diviso per 4 dà resto 3, diviso per 3 dà resto 2 e diviso per 2 da resto 1? E il m.c.m tra2, 3 e 4, diminuito di 1, cioè 11. Da cui: n=21 r=11 b=2 a=3 v=5

8 La mancia e gli scacchi Papà mi regali 10 Euro? Sapendo che Paolo, nel gioco degli scacchi è più debole del padre ma più forte della madre, quale sarà la sua scelta nellordine delle partite per avere la maggiore probabilità di guadagnarsi i 10 Euro? No Paolo, devi guadagnarteli! Facciamo tre partite a scacchi, contro di me e contro tua madre. Puoi scegliere lordine delle partite tra: padre-madre-padre oppure madre-padre-madre. Se vinci almeno due partite consecutive ti sarai guadagnato i 10 Euro. FRASCATI, 16 ottobre 2011

9 La mancia e gli scacchi Facciamo una simulazione. Indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. Supponiamo che le due probabilità siano rispettivamente: p=0,20 e q=0,70. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Nel caso madre-padre-madre: q x p x q = 0,7 x 0,2 x 0,7=0,098 q x p x (1-q) = 0,7 x 0,2 x 0,3 =0,042 (1-q) x p x q = 0,3 x 0,2 x 0,7 =0,042 La probabilità totale è: 0,182 Nel caso padre-madre-padre: p x q x p = 0,2 x 0,7 x 0,2 = 0,028 p x q x (1-p) = 0,2 x 0,7 x 0,8 = 0,112 (1-p) x q x p = 0,8 x 0,7 x 0,2 = 0,112 La probabilità totale è: 0,252 FRASCATI, 16 ottobre 2011

10 4-La mancia e gli scacchi Generalizziamo: indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Nel caso madre-padre-madre: q x p x q = q 2 x p q x p x (1-q) = p x q- q 2 x p (1-q) x p x q = p x q- q 2 x p La probabilità totale è: 2 x p x q- q 2 x p Nel caso padre-madre-padre: p x q x p = p 2 x q p x q x (1-p) = p x q- p 2 x q (1-p) x q x p = p x q- p 2 x q La probabilità totale è: 2 x p x q- p 2 x q Dal confronto dei risultati si ha: 2 x p x q- p 2 x q > 2 x p x q- q 2 x p infatti: - p 2 x q > - q 2 x p o q 2 x p > p 2 x q perché q>p Paolo ha una maggiore probabilità di avere 10 Euro giocando in successione con Padre - Madre - Padre FRASCATI, 16 ottobre 2011

11 Il dado irregolare In un dado irregolare la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. p(1) = 1/21 p(2) = 2/21 p(3) = 3/21 p(4) = 4/21 p(5) = 5/21 p(6) = 6/21 FRASCATI, 16 ottobre 2011

12 Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?

13 Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? /212/213/214/215/216/21 1 1/21 2 2/21 3 3/21 4 4/21 5 5/21 6 6/21 Il dado irregolare

14 Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? /212/213/214/215/216/21 1 1/21 2:1/4413:2/4414:3/4415:4/4416:5/4417:6/ /21 3:2/4414:4/4415:6/4416:8/4417:10/4418:12/ /21 4:3/4415:6/4416:9/4417:12/4418:15/4419:18/ /21 5:4/4416:8/4417:12/4418:16/4419:20/44110:24/ /21 6:5/4417:10/4418:15/4419:20/44110:25/44111:30/ /21 7:6/4418:12/4419:18/44110:24/44111:30/44112:24/441 Il dado irregolare FRASCATI, 16 ottobre 2011

15 Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? Il dado irregolare Somma 8: 70/441 Somma 9: 76/441 Somma 10: 73/441 FRASCATI, 16 ottobre 2011

16 Ho un asso! Alice sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: Ho un asso!. 5359/14498, meno di 1/2 Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? FRASCATI, 16 ottobre 2011

17 Ho un asso di quadri! Bob sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: Ho un asso di quadri! 11686/20825, più di 1/2 Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? FRASCATI, 16 ottobre 2011

18 7/a Ho un asso! Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1), asso di quadri (1), due di fiori ( 2) e cinque di cuori ( 5 ). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Alice annuncia: Ho un asso! Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? Probabilità:1/ ALICE BOB FRASCATI, 16 ottobre 2011

19 7/a Ho un asso quadri! Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1), asso di quadri (1), due di fiori ( 2) e cinque di cuori ( 5 ). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Bob annuncia. Ho un asso di quadri!. Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? Probabilità:1/ BOB ALICE FRASCATI, 16 ottobre 2011

20 Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dallurna C. Se si ignora quale urna contenga le palle nere, la probabilità di estrarre una palla nera dallurna C è 1/3. ABC Qual è la probabilità che sia nera? FRASCATI, 16 ottobre 2011

21 Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dallurna C. Se si sa che lurna A contiene solo palle bianche, la probabilità di estrare una palla nera dallurna C è 1/2. ABC Qual è la probabilità che sia nera? FRASCATI, 16 ottobre 2011

22 Un problema di Laplace (1814 Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dallurna C. Se si sa che le urne A a e B contengono solo palle bianche, si ha la certezza che la palla estratta dallurna C è nera. ABC Qual è la probabilità che sia nera? FRASCATI, 16 ottobre 2011

23 Un problema di Lewis Carroll (1897) Un amico mi presenta un sacco che contiene quattro gettoni, ognuno dei gettoni può essere bianco (B) o nero (N). Mi invita ad estrarre due gettoni: sono entrambi bianchi. Poi mi dice: Volevo dirti, prima di farti estrarre i gettoni, che almeno uno è bianco. Ma ora già lo sai, non ho più bisogno di dirtelo. Prendi ora un altro gettone 1) Qual è la probabilità di estrarre il terzo gettone bianco? 2) Quale sarebbe la probabilità se mi avesse detto prima del gettone bianco? FRASCATI, 16 ottobre 2011

24 E: prima estrazione due gettoni bianchi F: seconda estrazione un gettone bianco 1– /16 4/16 6/16 4/16 1/16 P(E) = 1x1/16 + 1/2 x 4/16 + 1/6 x 6/ x 4/ x 1/16 = 1/4 P(EF) = 1x1/16 + 1/4 x 4/ x 6/ x 4/ x 1/16 = 1/8 P(F/E) = P(EF/E) = (1/8) / (1/4) = 1/2 Un problema di Lewis Carroll (1897) FRASCATI, 16 ottobre /2 0

25 E: prima estrazione due gettoni bianchi F: seconda estrazione un gettone bianco 1– /16 1/8 4/16 3/8 6/16 3/8 4/16 1/8 P(E) = 1x1/8 + 1/2 x 3/8 + 1/6 x 3/8 + 0 x 1/8 = 3/8 P(EF) = 1x1/8 + 1/4 x 3/8 + 0 x 3/8 + 0 x 1/8 = 7/32 P(F/E) = P(EF/E) = (7/32) / (3/8) = 7/12 Un problema di Lewis Carroll (1897) FRASCATI, 16 ottobre 2011

26 La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, laltro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, del il timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? FRASCATI, 16 ottobre 2011

27 La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, laltro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, dal timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? Entrambe le località sono nomi formati da sette lettere; in ognuna si possono avere 6 coppie di lettere consecutive: BO – ON – ND – DO – ON - NE CO - ON – ND - DI – IN - NO La probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO è 1/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

28 QUADRATILANDIA Sono in visita a Quadratilandia. Parto da un incrocio e vado verso Nord (vedi la figura). Ad ogni incrocio lancio una moneta: se viene Testa giro a destra, se viene Croce giro a sinistra. Qual è la probabiltà che dopo aver lanciato 7 volte la moneta e percorso 8 tratti, mi ritrova nellincrocio da cui sono partito? FRASCATI, 16 ottobre 2011

29 Indichiamo con +i uno spostamento unitario verso Nord, con –i uno spostamento unitario verso Sud, con +1 uno spostamento unitario verso Est e con -1 uno spostamento unitario verso Ovest. Gli otto possibili spostamenti unitari sono, nellordine: +i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1. Si fa ritorno al punto di partenza se la somma degli otto movimenti è 0. La somma dei diversi i (+i, ±i, ±i, ±i) si può scrivere in 2 3 =8 modi diversi e 3 di questi hanno somma 0: (+i, +i, -i, -i) (+i, -i, +i, -i) (+i, -i, -i, +i) La somma dei diversi 1 (±1, ±1, ±1, ±1) si può scrivere in 2 4 =16 modi diversi e 6 di questi hanno somma 0: (+1, +1, -1, -1) (+1, -1, +1, -1) (+1, -1, -1, +1) (-1, +1, +1, -1) (-1, +1, -1, +1) (-1, -1, +1, +1) La probabilità che mi ritrova al punto di partenza è 3/8 x 6/16 = 9/64 QUADRATILANDIA FRASCATI, 16 ottobre 2011

30 Le scelte di Ali-Baba Il sultano disse ad Ali-Baba: Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

31 Il sultano disse ad Ali-Baba: Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? (1/2)x1 + (1/2)x12/25 = 27/50 Le scelte di Ali-Baba FRASCATI, 16 ottobre 2011

32 Triangoli Ci sono cinque segmenti lunghi rispettivamente 2,4,6,8,10 cm. Scegliendo a caso tre segmenti, che probabilità abbiamo di poter costruire un triangolo? Le terne possibili sono 1Solo le terne (4,6,8) – (4,8,10) – (6,8,10) soddisfano la condizione per costruire un triangolo. La probabilità è 3/10 FRASCATI, 16 ottobre 2011

33 Divisori M è un numero intero che ha la proprietà che se scegliamo a caso un numero x dallinsieme dei primi 1000 numeri interi positivi, la probabilità che x sia un divisore di M è 1/100. Se M1000, trovare il massimo valore che può assumere. Il numero deve avere esattamente 10 divisori, la sua scomposizione in fattori primi deve essere tale che abbia due soli fattori, uno con eponente 4 e laltro con esponente 1. M=976 Il fattore elevato alla quarta potenza deve essere < 5 perché 5 4 =625 (che dovremmo poi moltiplicare per il secondo fattore primo). Restano due soli casi possibili: 2 4 x61=976 (2 4 x 67=1072) 3 4 x11=891 (3 4 x13=1053) FRASCATI, 16 ottobre 2011

34 Bob è stato invitato ad una serata a casa di Alice, una amica matematica. Quando Bob arriva alla festa, Alice lo accoglie calorosamente con queste parole: Grazie al tuo arrivo, ora siamo in numero sufficiente affinchè la probabilità che almeno due dei presenti festeggino il loro compleanno nello stesso giorno è maggiore di ½, escludendo naturalmente il caso che uno sia nato il 29 febbraio. Qual è la probabiltà che almeno uno dei presenti festeggi il compleanno nello stesso giorno di Bob? FRASCATI, 16 ottobre 2011 La data di compleanno

35 FRASCATI, 16 ottobre 2011 Probabilità che due persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 Probabilità che tre persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 x 363/365 Probabilità che quattro persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 x 363/365 x 362/365 La data di compleanno

36 FRASCATI, 16 ottobre 2011 NUMERO DI AMICI ULTIMO FATTORE PRODOTTI SUCCESIVI POTENZE DI 365 PROBABILITA DATA DIVERSA PERCENTUALE DATA UGUALE ,997260, , , , , ,77E+100, , ,21622E+126,48E+120, , ,23162E+152,36E+150, , ,98921E+178,63E+170, , ,85215E+203,15E+200, , ,01536E+231,15E+230, , ,60454E+254,2E+250, , ,27601E+281,53E+280, , ,50431E+305,59E+300, , ,58552E+332,04E+330, , ,56517E+357,45E+350, , ,94781E+382,72E+380, , ,79785E+409,92E+400, , ,36565E+433,62E+430, , ,20881E+451,32E+460, , ,84025E+484,83E+480, , ,79886E+501,76E+510, , ,37081E+536,43E+530, , ,15619E+562,35E+560, , ,95416E+588,57E+580, , ,34837E+613,13E+610,431356, ,58445E+631,14E+640, , ,55413E+664,16E+660, , ,25296E+681,52E+690, , ,77025E+715,55E+710, , ,94803E+732,03E+740, , ,99259E+767,39E+760, , ,65525E+782,7E+790, , ,2162E+819,85E+810, , ,35778E+833,59E+840, , ,43542E+861,31E+870, , ,0369E+884,79E+890, , ,64414E+911,75E+920, , ,67278E+936,38E+940, , ,836E+962,33E+970, , ,24536E+988,5E+990, , ,0047E+1013,1E+1020, , ,7354E+1031,1E+1050, , ,1445E+1064,1E+1070, , ,0125E+1091,5E+1100, , ,2502E+1115,5E+1120, , ,0401E+1142E+1150, , ,3178E+1167,3E+1170, , ,0551E+1192,7E+1200, , ,3446E+1219,8E+1220, , ,0569E+1243,6E+1250, , ,3292E+1261,3E+1280, , ,0454E+1294,8E+1300, , ,272E+1311,7E+1330, , ,0209E+1346,3E+1350, , ,1749E+1362,3E+1380, , ,8422E+1388,4E+1400, , ,0412E+1413,1E+1430, , ,367E+1431,1E+1460, , ,8757E+1464,1E+1480, , ,7995E+1481,5E+1510, , ,6839E+1515,5E+1530, , ,1589E+1532E+1560, , ,4722E+1567,3E+1580, , ,4659E+1582,7E+1610, , ,2472E+1619,7E+1630, ,76831

37 Scegliendo a caso 24persone quale ritenete sia la probabilità che due o più di esse abbiano lo stesso giorno di nascita? FRASCATI, 16 ottobre 2011 La data di compleanno

38 La suddivisione dei bastoni Se rompiamo uninfinità di bastoni, qual è la probabilità che almeno uno sia rotto esattamente a metà? (Lewis Carrol) Immaginiamo di dividere ogni bastone in (n+1) parti con n numero dispari e che gli n punti abbiano tutti la stessa probabilità di essere punto di rottura. FRASCATI, 16 ottobre 2011

39 La suddivisione dei bastoni La probabilità che 1 bastone non sia diviso nel suo punto centrale è (n-1)/n. La probabilità che con n bastoni nessuno sia diviso nel suo centro è ((n-1)/n)^n = (1-1/n)^n. La probabiltà che con n bastoni almeno uno sia diviso al suo centro è: 1- (1-1/n)^n. Al tendere di n allinifnito si ha: lim (n ) (1- (1-1/n)^n) = 1- 1/e 0,632 FRASCATI, 16 ottobre 2011

40 Il paradosso di Pietroburgo Si lancia una moneta da 1 centesimo. Se viene testa il lanciatore paga 1 dollaro allavversario; se viene croce il lancio viene ripetuto e se ora viene testa il lanciatore paga 2 dollari. Se viene croce si ripete il lancio e se viene testa il lanciatore paga 4 dollari. In breve, la posta viene raddoppiata ad ogni lancio e si continua sinchè non viene richiesto il pagamento. Quanto dovrebbe mettere di posta lavversario per avere il privilegio di giocare a questo gioco? Lavversario ha sempre il diritto di scegliere se iniziare una nuova partita o di finire il gioco. (Daniel Bernoulli) 1$ T C TC 2$ TC 4$ TC 8$ FRASCATI, 16 ottobre 2011

41 Il paradosso di Pietroburgo Qualsiasi somma, diciamo pure un milione di dollari per ogni singola partita. In ogni singola partita si ha la probabilità: ½ di vincere 1 $ ¼ di vincere 2 $ 1/8 di vincere 4$ ……. La vincita totale prevedibile è. (1x1/2)+(2x1/4)+(4x1/8)….. La somma di questa serie illimitata è infinita Qualsiasi somma pagasse in anticpito per ogni singola partita lavversario vincerebbe alla fine giocando un sufficiente numero di partite. Si suppone che si disponga di un capitale illimitato e che si possa giocare un numero illimitato di partite. 1$ T C TC TC TC FRASCATI, 16 ottobre 2011

42 Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). FRASCATI, 16 ottobre 2011

43 Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? ?? ? Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). ±±± FRASCATI, 16 ottobre 2011

44 Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? ?? ? Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). ±±± FRASCATI, 16 ottobre 2011


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