La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dellInsubria Facoltà di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dellInsubria Facoltà di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo."— Transcript della presentazione:

1 Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dellInsubria Facoltà di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo

2 Introduzione alla probabilità definizioni Probabilità discreta Variabile aleatoria Evento elementare Spazio campionario in cui linsieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile Analisi degli esiti di esperimenti aleatori Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento Risultato del lancio Mano di poker Esito di un esperimento aleatorio Insieme degli eventi elementari Evento Sottoinsieme dello spazio campionario testa testa TT {TT, TC, CT, CC } {TT, TC, CT} di due monete

3 Probabilità classica di un evento E _____________ P(E)= Casi favorevoli Casi possibili Proprietà E = esce almeno una testaIEI = 3 Ω = spazio campionario del lancio di due I Ω I = 4 P(E) = ¾ monete 0P(E) 1 P(E c )=1-P(E) E c = non esce alcuna testa IE c I = 1 P(E c ) = 1/4 E F P(E) > P(F) F= esce una testa = {TC, CT} IFI=2 P(F)=1/2 TT CC TC CT Ω E F

4 Strumenti matematici per lo studio della probabilità Disposizione semplice Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n Elenco degli studenti seduti nella prima fila Primi tre classificati di una gara Problema: quante disposizioni si presentano nellestrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse? Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24

5 Regola: Altri esempi e relative soluzioni: Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 · 89 · 88 ·87 · 86 > Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1) Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1 ottengo: D k,n = _____ n! (n-k)!

6 Disposizione con ripetizione Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione Pin del telefono Lancio di tre dadi Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre? Soluzione: 9 possibilità per la prima cifra Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 9 3

7 Altri esempi e relative soluzioni: Regola: Il numero di colonne possibili del totocalcio è 3 13 = il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è 10 4 · 26 2 = Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = n k … nota il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2) 8

8 Permutazione (semplice) Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi È una n-disposizione semplice di n elementi Ordine di arrivo ad una gara Posizione dei libri in una libreria Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe? Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho 25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25! Regola Le permutazioni di n elementi sono P n = n!

9 Estrazioni del lotto Combinazioni Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n = possibili sottoinsiemi Studenti interrogati Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25? Soluzione: Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21! Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo lordine corrispondono alla stessa composizione Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4! Le combinazioni sono 25! ____ 21!4!

10 Altri esempi e relative soluzioni: Regola: Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione nè n! (n-k)!k! C k,n = ______ 90! 84!6! Definisco coefficiente binomiale il valore ( ) nknk (n-k)!k! ______ n! =

11 Probabilità composta definizioni X, Y variabili indipendenti A, B eventi indipendenti I Ωx J Ωy si ha A A P(I J) = P(I) · P(J) P(A B) = P(A) · P(B) Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo. Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda A ={TT, TC}B = {TC, CC} X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado TT TC CC CT

12 Regole con E F = Φ ho Dati due eventi E e F P(E F) = P(E) + P(F) - P(EF) P(E F) = P(E) + P(F) TTT TTC TCC CCC CTT TCT CTC CCT E F Ω E = esattamente due teste F = la prima è testa E = esattamente due teste F = esattamente una testa CTC CCT TCC TTT CCC CTT TCT TTC Ω F E Nota: nel caso di tre eventi P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(EF) - P(EG) - P(FG) + + P(EFG)

13 Diagramma ad albero struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati Ogni foglia può discendere da un solo predecessore (padre) Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli) Lancio di tre dadi T C V V VV V V I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento

14 Principio di moltiplicazione Sia E levento che si ottiene percorrendo un ramo dellalbero dalla radice alla cima ed e i gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E P(E) = P(e i ) Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera 1 ½ 1 1 ½ 0123 … 9 1/10 ab… ywz 1/26 P(-1,1,9,y)= ½½ 1/101/26 = ··· __

15 Probabilità condizionata e inversa P(F|E) = Probabilità che levento F si realizzi nellipotesi che levento E si sia già realizzato F = due esiti su tre sono testaE = il primo esito è testa P(F)=3/8 P(F|E)=2/4 TTT TTC TCC CCC CTT TCT CTC CCT E F Ω TTC TCT E F = Ω TCC TTT

16 Regola P(F|E)= P(FE) P(E) _______ Nota: F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F) se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(EF) P(FE)=2 Riferendosi allesercizio precedente P(E)= 4P(F|E)= 2/4

17 Problema della probabilità inversa Problema: Lurna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, lurna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dallurna 1? Soluzione Uso il diagramma ad albero: r b Evento elem. P(e 1 ) ½ ½ I II r b 2/5 3/5 ½ ½ 3/10 1/5 1/4 P(b)=9/20 P(r)=11/20 Costruisco il diagramma inverso: P(e 2 ) P(E i ) i=1…4

18 b r I II I 9/20 11/20 x = 4/9 5/9 6/11 5/11 Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi: 9/20 · x = P(E 2 ) = 1/5 3/10 1/5 1/4 P(bI) P(b) P(I|b) Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dellurna I condizionata allaver pescato b P(II|r) = 5/11 P(I|r) = 6/11 P(II|b) = 5/9 P(I|b) = 4/9

19 Formula di Bayes Problema: Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare H i al primo stadio nota la probabilità dellevento E al secondo stadio Regola P(H i |E) = ________________ P(E|H i ) · P(H i ) Σ P(E|H k ) · P(H k ) = __________ P(E|H i ) · P(H i ) P(E)

20 Probabilità discreta e continua definizioni Dato uno spazio campionario discreto Ω def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione P : Ω [0,1]che soddisfi P(Ω) = 1 P( A k ) = P(A k ) * * Finito o numerabile 1) 2)

21 Probabilità classica Ω finito o numerabile con Ω = { w i } IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω P(E) = IEI IΩIIΩI ___ E Ω A definizione equivalente alla probabilità classica: Sia m(x) una funzionem : Ω [0,1]con P(Ω) = 1 m(x) =1 detta funzione di distribuzione di Ω Sia E un sottoinsieme di Ω definisco P(E) := m(x) P : Ω [0,1] con

22 Le proprietà sono quelle già viste. le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi per il caso numerabile le somme diventano serie studio della convergenza (esistenza di una somma finita)

23 X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria Ω = ( 0,2]Si voglia P(E) con E = (,2] Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza M: (x,y)(x,y) [-1,1] x [-1,1] con x 2 +y 2 1 LHp corrisponde a X lato del triangolo equilatero. M è interno alla circonferenza di raggio ½ Caso continuo

24 Nota: Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR 2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area P(E) = =1/4 ______ π(½) 2 π(1) 2 Paradosso di Bertrand: P(E) = 1/4 1/2 1/3 M:(ρ;θ) M:(x;y) A:(1;α)B:(1;β) Nota: Area e integrale

25 definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se Proprietà è monotona non decrescente è continua da destra:

26 definizione f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale P(a x b) = IR Scelta la variabile X non è detto che esista f(x) + f(x) non è una probabilità. P(X E) = purché lintegrale esista Proprietà

27 Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x) Teorema Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X, e si ha Da ciò potremmo introdurre un diversa definizione di funzione densità: f: IR IR + t.c.

28 Esempi significativi di distribuzioni e densità Distribuzione uniforme discreta Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω di dimensione n La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante continuaDistribuzione uniforme Attenzione! Sia Ω numerabile e m(x) = costante diverge

29 Funzione di densità gaussiana f x = ______ 1

30 FINE


Scaricare ppt "Calcolo delle probabilità Progetto lauree scientifiche Università dellInsubria Facoltà di Matematica Como Paola BertoncelloNatalina Drappo."

Presentazioni simili


Annunci Google