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La sezione Aurea Liceo Artistico Statale Paolo Candiani di Busto Arsizio Montecchio Serena Classe 5sD Anno Scolastico 2005-2006.

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1 La sezione Aurea Liceo Artistico Statale Paolo Candiani di Busto Arsizio Montecchio Serena Classe 5sD Anno Scolastico

2 La sezione aurea è considerata la legge universale dell'armonia, la giusta proporzione tra due elementi perché essi appaiano armoniosi all occhio umano. Anoni mo

3 Quando si parla di SEZIONE AUREA si parla di un NUMERO molto speciale anche se la sezione aurea non corrisponde al numero aureo, tuttaltro: i due sono RECIPROCI. Molte realtà che si trovano in natura, letteratura, matematica, musica, arte anche se così diverse tra loro condividono un numero o una proporzione geometrica. Il RAPPORTO AUREO è un insieme di significati QUANTITATIVI (rapporto tra cose secondo grandezza o qualità) ed ESTETICI (rapporto tra cose armonioso).

4 Il fascino del RAPPORTO AUREO dipende dalla sua propensione a comparire dove meno lo si aspetta E così che nel corso degli anni, diversi teorici hanno studiato il RAPPORTO AUREO scoprendo e creando dei principi capaci di collegare esempi di fenomeni aurei. Forse l'uomo, quasi senza rendersene conto, ha riconosciuto in natura questo principio e lo ha utilizzato come strumento per giudicare e comprendere le opere d'arte. Tuttavia questi teorici non sono riusciti a dimostrare che il RAPPORTO AUREO è una regola universale utilizzata da pittori, artisti, architetti, musicisti etc.

5 Per studiare la sezione aurea in diversi ambiti, e il conseguente rapporto aureo interpretato nel corso degli anni, bisogna prima di tutto capire la SEZIONE AUREA e il NUMERO AUREO nel campo matematico reciproco SEZIONE AUREA NUMERO AUREO

6 La sua particolarità è dovuta dal fatto che compare negli ambiti più inaspettati: Matematica Natura Storia dellarte Architettura Musica

7 La Geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l altro è la Sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello. Johannes Keplero ( )

8 La sezione aurea La sezione aurea in Matematica - Procedimento con calcolo numericoProcedimento con calcolo numerico - Procedimento geometricoProcedimento geometrico Il numero aureo - La sequenza di Fibonacci e loLa sequenza di Fibonacci e lo studio di Luca Pacioli - Il triangolo aureoIl triangolo aureo - Il rettangolo aureoIl rettangolo aureo - La spirale logaritmicaLa spirale logaritmica

9 La sezione aurea viene indicata abitualmente con la LETTERA GRECA Φ (phi) e corrisponde ad un numero irrazionale legato a numerose costruzioni geometriche. La più semplice, dalla quale viene poi ricavato il suo valore, è riferita al segmento: dato un segmento AB; AB AB C ABC sezione aurea di AB si prende un punto C compreso tra A e B; il segmento AC medio proporzionale tra il segmento AB e il segmento CB è detto SEZIONE AUREA del segmento AB

10 Il valore della sezione aurea Φ viene calcolato con il: PROCEDIMENTO CON CALCOLO NUMERICO se il segmento AB ha lunghezza = L; AB L A C B la sezione aurea AC=x ha valore pari alla soluzione dellequazione: x L x 2 + Lx – L 2 = 0 x = (5 - 1)L / 2 Φ (5 - 1) / 2 = 0, … 61,8 % di L

11 Graficamente, la sezione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b, tali che il rapporto tra l'intero segmento a + b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga a e la parte più corta b ab a + b Anche le due parti a e b così ottenute sono tra loro in RAPPORTO AUREO, così come la parte più piccola con la differenza tra le due parti: a : b = b : (a – b) (a + b) : a = a : b (PROPORZIONE ESTREMA E MEDIA definita da EUCLIDE)

12 Costruzione della sezione aurea di un segmento: PROCEDIMENTO GEOMETRICO consideriamo il segmento AB facciamo centro con il compasso in B e riportiamo il punto D sul segmento AB ricavando il punto E AB tracciamo da uno dei suoi estremi (A) un segmento (AC) perpendicolare ad esso e lungo la metà di AB AB C uniamo gli estremi liberi (BC) ottenendo il triangolo ABC AB C puntiamo il compasso in C con apertura CA e riportiamo la misura sullipotenusa del triangolo ottenendo il punto D

13 AE è la sezione aurea del segmento AB Ponendo: AB = 2 Si può ricavare: AC=CD=1 BC=5 Considerando la proporzione estrema e media di Euclide si può dimostrare che: AB:AE=AE:EB AE= Φ =(5-1)/2 AE = sezione aurea del segmento AB

14 Il NUMERO AUREO (o proporzione divina) deriva dalla suddivisione in estrema e media ragione definita da Euclide ed è pari a: φ = f = (5 + 1) / 2 = 1, … Il NUMERO AUREO gode di molte proprietà inconsuete 1/f = f-1 f 2 = f+1 f 3 = 2f+1 f 4 = 3f+1 Ogni potenza è la somma delle due precedenti, come accade per la successione di Fibonacci Il numero aureo è il limite a cui tende il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi

15 La sequenza di Fibonacci Leonardo Pisano, matematico medioevale, nel 1202 scrive il trattato Liber Abbaci in cui rivela una magica e antica sequenza che solo in tempi più recenti prenderà il suo nome 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … La somma di due termini adiacenti è uguale al successivo Il quoziente di due numeri adiacenti tende man mano che i numeri diventano grandi al valore tre numeri consecutivi estrapolati in un punto qualsiasi della successione (fatta eccezione per i primissimi termini) sono, grazie ad una straordinaria approssimazione, eccellenti valori numerici per la realizzazione di segmenti in proporzione aurea. A partire da questa successione, se formiamo una serie di tipo frazionario emergono i seguenti rapporti: I valori approssimati sono: 1/1, 2/1,3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, … 1, 2, 1.5, 1.666, 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617, , , …

16 Il numero doro della sezione aurea è lunico numero esistente per cui valgono le seguenti condizioni: aggiungendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo quadrato 0,618 = 1/1,618 = 1,618 – 1 sottraendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo valore per inverso e cioè il valore della sezione aurea 1,618 ² = 2,618 = 1,

17 Luca Pacioli fu il primo ad esporre in modo chiaro e completo la secretissima scientia del numero doro in un trattato pubblicato nel 1509 dal titolo significativo De Divina proporzione in cui presentò 13 proprietà del rapporto aureo, allegate ai 5 disegni dei solidi platonici di Leonardo Da Vinci. Nellopera confluiscono studi su Platone, Euclide, Fibonacci, il pensiero di Piero Della Francesca, il sapere di Leon Battista Aberti, contatti con Albrecht Dürer: un concentrato di divina sapienza Divina proporzione; opera a tutti gli ingegni perspicaci e curiosi necessaria ove ciascun studioso di prospettiva, pittura, architettura, musica e altre matematiche soavissima sottile e ammirabile dottrina conseguirà e dilettarassi con varie questioni di segretissima scienza De divina proportione, Luca Pacioli Precedentemente Vitruvio, celebre architetto dell'antica Roma, scrisse il "De Architectura", un'opera in dieci volumi, tra il 25 e il 23 a.C., quando Augusto - a cui è dedicata l'opera - intraprendeva un grandioso programma di costruzioni pubbliche a Roma e nellImpero. Essa costituisce una fonte essenziale per la conoscenza delle tecniche edilizie e dei materiali da costruzione, degli edifici pubblici e privati, dell'urbanistica e dell'agrimensura dei Romani. Vitruvio descrisse le proporzioni del corpo umano e Leonardo Da Vinci le immortalò nel UOMO VITRUVIANO.

18 I Pitagorici studiando il numero doro scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio. disegniamo un decagono regolare e tracciamo le sue diagonali consideriamo un triangolo isoscele ABC: per le proprietà della geometria elementare langolo al vertice CÂB è pari a 36° mentre gli altri due, AĈB e CBA sono pari a 72° bisechiamo uno dei due angoli di 72° (AĈB) e otteniamo il triangolo CBD con gli stessi angoli di ABC con laiuto della geometria elementare e in accordo con la definizione di Euclide si può dimostrare che il punto D divide la linea AB secondo il rapporto aureo Triangolo aureo A CB D 36° 72° A CB 36° 72° 36°

19 In un decagono regolare (o pentagono regolare) il rapporto tra la diagonale e il lato è pari a Φ Il triangolo ABC è simile al triangolo DBC r : l = l : (r-l) l è sezione aurea del raggio r I Pitagorici costruendo il pentagono regolare intrecciato o stellato (ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no) si accorsero che la diagonale e il lato del poligono hanno come rapporto phi. Essi chiamarono il pentagono pentagramma, lo considerarono simbolo di armonia e lo assunsero come loro segno di riconoscimento. A CB D r l l r-l

20 disegnare un quadrato ABCD disegnare altri quadrati via via più piccoli disposti a spirale Il lato di ogni quadrato fratto il lato del quadrato che lo segue nella successione (AB/EF) è un rapporto aureo Il rettangolo così costruito è detto RETTANGOLO AUREO Rettangolo aureo A B D C A B D CE F

21 Chiamiamo rettangolo aureo un rettangolo che abbia come altezza il segmento AB e per base un segmento AE = ad AB più la sua sezione aurea BE. Disegnamo un quadrato ABCD, tracciamo la sua mediana verticale PQ, dividendolo in due rettangoli uguali, dopodiché tracciamo la diagonale PC di uno dei rettangoli così ottenuti. Prolunghiamo i due lati orizzontali del quadrato e puntando il compasso in P proiettiamo la diagonale del rettangolo PBCQ sul prolungamento del lato di base, ottenendo il punto E. Alziamo dal punto E la verticale e otteniamo il rettangolo aureo AEFD, la cui sezione aurea è costituita dal rettangolo (a sua volta aureo) BEFCD.

22 Spirale logaritmica La curva si aggira intorno al polo senza mai raggiungerlo All'interno di ogni quadrato è riportata la misura del suo lato. SPIRALE LOGARITMICA: curva matematica il cui grado di perfezione geometrico dipende esclusivamente dalle «proporzioni auree» che regolano lo sviluppo delle sue volute

23 La sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura La conchiglia del Nautilus pompilius segue una curva il cui fattore di crescita costante è rigorosamente «aureo», la sua forma è una spirale logaritmica La spirale che si forma in tre dimensioni prende il nome di elica conica. Le corna del Muflone sono quelle che meglio seguono una struttura ad elica conica

24 Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai. Come si vede dal grafico allinizio dellesperimento abbiamo 1 coppia di conigli giovani. Dopo un anno rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli ma adulti. Dopo 2 anni la femmina ha generato unaltra coppia di conigli, quindi nel recinto abbiamo 2 coppie. Al terzo anno la prima coppia ne ha generata unaltra, mentre la seconda non è stata in grado di procreare in quanto giovane, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro anno le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di anno in anno. (SERIE DI FIBONACCI) LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI

25 Ammirando un girasole è facile notare, al centro dellinfiorescenza linsieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità (SPIRALI LOGARITMICHE). La spirale rossa è costituita da 55 semi, quella verde 89: due numeri consecutivi della SERIE DI FIBONACCI, e più esattamente quelli che maggiormente si avvicinano alla sezione aurea il cui rapporto 89/55 dà 1,61818

26 cavolfiori con rami spiraliformi In molte specie di vegetali in particolar modo le astaracee il numero dei petali di ogni fiore è un NUMERO DI FIBONACCI come 5, 13, 21,55

27 Analizzando la fillotassi, cioè la distribuzione delle foglie sul fusto delle piante, costante in ogni specie, si ha un'ulteriore dimostrazione che sia la sezione aurea sia i NUMERI DI FIBONACCI sono presenti in natura. Fu Keplero a rivelare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima e a seconda delle specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia.

28 Laria umida in rotazione sale a SPIRALE e poi si allarga in quota Uragano "Linda" sorto durante un "el Nino" si sposta verso nord-est nel settembre del 1997 sforzando la costa occidentale del Messico. Con venti che soffiano a oltre 300 Km orari, Linda è tra le tempeste più violente mai registrate nell'Oceano Pacifico.

29 Parte della struttura interna dell'orecchio (coclea), è riconducibile ad una SPIRALE LOGARITMICA seguendo le leggi della sezione aurea Misurando le dita della nostra mano notiamo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei (PROPORZIONE EUCLIDEA) E aureo il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore

30 Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei: A/a= tra l'altezza e larghezza del viso. B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte. C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi. D/d= altezza e larghezza del naso. E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca. F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza. H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso. L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea.

31 Di questi numeri si servono gli architetti non confusamente e alla mescolata, ma in modo che corrispondano e consentano da ogni banda all armonia Leon Battista Alberti ( )

32 Piramidi egizie Partenone LArco di Costantino Castel del Monte Notre Dame & Palazzo di Vetro dellOnu Leon Battista Alberti Le Corbusier

33 Se dividiamo il perimetro della base quadrata dal numero π, si ottiene laltezza della piramide (AO). I 4 lati triangolari di questa piramide hanno una angolazione di 51,84° rispetto alla base. Se si misura la distanza fra la punta della piramide e il centro di un lato della base quadrata (AB), si nota che questa distanza è esattamente 1, volte la distanza fra il centro della piramide e il centro di un lato (OB). Spesso troviamo langolo di 51,84° associato alla sezione aurea, per questo viene chiamato ANGOLO AUREO PIRAMIDI EGIZIE Costanti fisse nel rapporto tra le varie misure della piramide di Cheope sono due numeri molto singolari : π = 3, e Φ = 1, A BO

34 La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza Il RETTANGOLO AUREO è ripetuto più volte sia nella pianta che nella facciata. PARTENONE ( 440 – 430 a. C. ) AB C D AB = 5*BC

35 LArco di Costantino, innalzato per celebrare la vittoria dellimperatore, è il più importante degli archi trionfali romani. Laltezza dellarco centrale divide laltezza totale secondo la divina proporzione mentre gli altri due archi soddisfano lo stesso principio nella distanza tra la base e il listello inferiore. ARCO DI COSTANTINO ( 313 d. C. )

36 Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia, è noto per la sua inconfondibile forma ottagonale, per le suggestioni simboliche e per essere il più misterioso tra gli edifici commissionati da Federico II di Svevia. Il portale può essere visto come un PENTAGONO STELLATO che detta le proporzioni della costruzione, in esso si va a sistemare una figura umana: luomo di Nettesheim ( ) Le due punte in basso della stella cadono a livello ed a metà delle basi delle lesene. Questultime salendo si arrestano esattamente in coincidenza del lato orizzontale del "pentacolo". La punta superiore della stella a sua volta va a coincidere con il vertice del timpano del portale, esso è un triangolo isoscele in cui i lati sono sezione aurea della base. CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )

37 Se uniamo i punti in cui il sole sorge e tramonta agli equinozi, alla latitudine di Castel del Monte otterremo un rettangolo in divina proporzione (la lunghezza del lato maggiore è ottenibile moltiplicando il lato minore per 1,618) e questo accade solo a questa latitudine. Castel del Monte si trova al centro di questo rettangolo. Le sale del castello hanno forma trapezoidale. Se moltiplichiamo il lato minore del trapezio per 1,618 otteniamo il lato maggiore. Se dividiamo il lato minore per la radice quadrata di 1,618 otteniamo la larghezza della sala. La presenza del numero aureo si trova ripetuto più volte nelle proporzioni del castello. CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )

38 Progettati seguendo le proporzioni del RETTANGOLO AUREO NOTRE DAME (Parigi 1163 – 1345) PALAZZO DI VETRO dellONU (New York 1949 – 1950)

39 Leon Battista Alberti non parla mai nei suoi trattati delle proporzioni utilizzate nelle sue opere, come se volesse tenere segreto il metodo con cui riusciva ad ottenere quellaspetto di armonioso equilibrio. Ciò nonostante vennero fatte indagini con diagrammi e rigorose riproduzioni che hanno messo in evidenza che la DIVINA PROPORZIONE sia la regola che domina la connessione di tutte le parti di molte sue costruzioni. Il tempio Malatestiano a Rimini ( ), progettato secondo rigorosi moduli matematici e proporzionali basati sul quadrato. LEON BATTISTA ALBERTI ( )

40 Come spiega lo stesso Alberti nei suoi scritti, larmonia di un edificio (sinonimo di bellezza) è data dal rapporto delle parti fra loro con il tutto. Santa Maria Novella a Firenze ( ca) Linsieme della facciata risulterebbe frammentario se non fosse governato da un disegno fortemente unitario, geometrico e razionale. In Santa Maria Novella tale sistema di relazioni geometriche e proporzionali è regolato sulla base di un unico modulo, il QUADRATO. Lintera facciata è inscrivibile in un quadrato, che a sua volta è suddivisibile in vari quadrati, in un rapporto costante di 1:2 che lega il lato del quadrato più piccolo con il lato di quello più grande di appartenenza.

41 La viva curiosità di Le Corbusier per il rapporto aureo rimanda ad almeno due suoi interessanti precedenti: 1 - per le strutture sottostanti agli oggetti naturali; 2 - la coscienza dellimportanza cruciale dei rapporti numerici per almeno una forma di armonia: quella acustica (poiché proveniva da una famiglia che incoraggiava lo studio e la pratica per la musica). LE CORBUSIER ( ) Il suo valore risiede in questo: il corpo umano è scelto come base dei numeri… ecco la proporzione! La proporzione che ordina i nostri rapporti con ciò che ci circonda. In questi trentanni e più, la linfa della matematica è fluita nelle vene del mio lavoro, sia di architetto che di pittore; perché la musica è sempre stata presente dentro di me. La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò nellintroduzione di un nuovo sistema proporzionale, una GRIGLIA DI MISURE ARMONICHE per stabilire una serie di grandezze articolate tra loro dalla sezione aurea o numero aureo. Egli attento al rapporto con la società, non aveva costruito una griglia astratta su base puramente matematica (come le serie di numeri armonici stilata da Fibonacci), bensì aveva ripreso i principi su cui aveva lavorato Matila Ghyka intorno al 1930, e aveva definito la griglia relativamente alle DIMENSIONI PRINCIPALI DEL CORPO UMANO.

42 LE CORBUSIER ( ) MODULOR Nel 1947, durante una conferenza, Le Corbusier battezza il suo sistema MODULOR, e pubblica il libro nel quale illustra il frutto e la metodologia della sua ricerca Il Modulor. Saggio su una misura armonica alla scala umana universalmente applicata allarchitettura e alla meccanica Modulor 2 (la parola degli utenti) Nel secondo volume presenta un vero e proprio bilancio del metodo. Il disegno della figura umana su cui è costruita la griglia assurgerà a celebrità universale. Dopo aver messo a punto il sistema, Le Corbusier regolerà su di esso le misure di tutti gli elementi costitutivi dei suoi progetti.

43 Un uomo alto circa 1,83 m e con un braccio alzato (2,26 m) è inserito in un quadrato. LE CORBUSIER ( ) Nella versione finale del Modulor furono introdotte due scale dimensionali basate sulla SUCCESSIONE DI FIBONACCI (le serie rossa e blu). Queste misure devono essere usate da tutti gli architetti per costruire non solo spazi ma anche ripiani, appoggi, accessi che siano perfettamente in accordo con le misure standard del corpo umano. I due rapporti (1,13/0,70 e 1,40/0,86) sono ulteriolmente suddivisi in dimensioni minori secondo la serie di Fibonacci (essendo ciascun numero uguale alla somma dei due precedenti). IL MODULOR Il rapporto tra la statura delluomo (1,829 m) e la distanza dallombelico al suolo (1,13 m) è esattamente pari a Φ. Laltezza totale (dai piedi allestremità del braccio alzato) è diviso secondo il rapporto aureo (1,40 e 0,86 m) a livello del polso dellaltro braccio, che pende liberamente verso il basso.

44 LE CORBUSIER ( Villa De Monzie-Stein a Garches, 1927 ) Nella facciata della Villa De Monzie-Stein a Garches (nei pressi di Parigi) vi sono rapporti proporzionali regolati dalla sezione aurea.

45 " (…) Il principio fondamentale di questo edificio è di essere costruito su pilotis. Si entra a livello del suolo nel centro stesso dell'edificio, dove si trova la sala principale. La SPIRALE quadrata, che dI là inizia, permette un'interruzione nei percorsi, estremamente favorevole all'attenzione che si esige dal visitatore. Il mezzo dorientarsi nel museo è dato dai locali a mezza altezza che formano una svastica. Lelemento modulare, largo 7 m circa e alto circa 4,5 m, permette di assicurare unilluminazione regolare sulle pareti della spirale quadrata. Le aperture nelle pareti mettono in comunicazione i locali,aprono la prospettiva, permettono una quantità di sistemazioni diverse (…) Le Corbusier LE CORBUSIER ( Museo a crescita illimitata– 1939, Progetto) Schizzo di conchiglia. Il museo può essere iniziato senza denaro; infatti la prima sala può venir costruita con alcune centinaia di franchi. Lo si può continuare con una, due, quattro sale nuove, il mese dopo o due o quattro anni dopo, a volontà… Le Corbusier

46 LE CORBUSIER ( Unità di abitazione, Marsiglia ) LUnité d'Habitation di Marseille rappresenta una delle realizzazioni pratiche, purtroppo rare, delle teorie di Le Corbusier sul nuovo modo di costruire la città ed è uno dei punti fondamentali di arrivo del Movimento Moderno nel concepire larchitettura e l'urbanistica. Ogni appartamento ha un doppio ingresso, distribuito su due piani: i due livelli comunicano tramite una scala interna. La cellula è larga 3,66 metri e alta 2,26, che diventano 4,84 metri nella porzione a doppia altezza del soggiorno. È disposta lungo lasse nord-sud e si compone di 330 appartamenti di 23 tipologie diverse. Eccetto quelli a sud, godono di un doppio orientamento. Diciasette coppie di pilotis formano altrettanti portici che sostengono un volume tecnico al di sopra del quale si erge la struttura in cemento armato. Allinterno dei pilotis trovano posto gli impianti idraulici e il sistema di scarico dei rifiuti. MODULOR. Tutte le dimensioni dellUnità ( struttura su un modulo quadrato di 4,19 metri di lato) sono impostate sul MODULOR.

47 La matematica non possiede soltanto la verità, ma anche la bellezza suprema, una bellezza fredda ed austera, come quella della scultura. Bertrand Russell ( )

48 Policleto Individuare una sezione aurea in un dipintoIndividuare una sezione aurea in un dipinto Leonardo da Vinci Sandro Botticelli Piet Mondrian & Salvator Dalì

49 POLICLETO (Doriforo – copia della fine del II secolo a. C. da un originale in bronzo del 440 a.C.) Per rilevare lutilizzo della sezione aurea nella rappresentazione del corpo umano possiamo applicare il PROCEDIMENTO GEOMETRICO: ricavando il punto di sezione aurea sullasse longitudinale del Doriforo, notiamo che esso coincide esattamente con lombelico. Policleto utilizza un preciso ordine formale. Solitamente gli artisti per creare un insieme proporzionato utilizzano ununità di misura (modulo proporzionale), così definiscono la grandezza delle singole parti in rapporto a essa: le dimensioni di ogni elemento saranno ottenute moltiplicando o dividendo tale modulo di base. Nella rappresentazione della figura umana, il modulo proporzionale è spesso dato dalla lunghezza della testa, calcolata dal mento allapice del cranio: se si misura laltezza complessiva del Doriforo si scopre che essa equivale a sette volte tale modulo.

50 Per verificare che una composizione sia strutturata sulla base della sezione aurea si procede così: identificare su ogni lato dellopera il punto di sezione aurea con il PROCEDIMENTO GEOMETRICO; tracciare, a partire dai punti individuati, le parallele ai lati del dipinto; verificare se tali linee intercettano elementi importanti, quali, per esempio, lorizzonte, il profilo di un edificio o un personaggio rilevante. INDIVIDUARE LA SEZIONE AUREA IN UN DIPINTO Applichiamo questo procedimento allanalisi di un dipinto di Georges Seurat (Une baignade (Asnières), ), il pittore neoimpressionista di fine Ottocento. Notiamo che le linee di struttura ottenute concorrono a determinare, la posizione dei personaggi principali nella scena.

51 LEONARDO DA VINCI (La Gioconda) Anche se di notevole rilevanza, non analizziamo questo dipinto poiché esso è largomento di un tale numero di scritti, sia specialistici che divulgativi, da rendere pressoché impossibile giungere a conclusioni non ambigue.

52 LEONARDO DA VINCI (Annunciazione, ca; Donna scapigliata, 1490 ca; Lultima cena, ) Nell Annunciazione la figura e la postura dellangelo sono in PROPORZIONE AUREA rispetto alla sua distanza dalla Vergine. Ne Lultima cena Gesù, il personaggio divino, racchiuso in un RETTANGOLO AUREO è dipinto con le proporzioni divine. Nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un RETTANGOLO AUREO, il volto è in proporzione aurea rispetto ai fascia dei capelli, linclinazione del capo segue la diagonale del quadrato.

53 LUomo Vitruviano illustra il canone di proporzioni umane che Vitruvio, larchitetto romano del I secolo a.C., aveva postulato a premessa della sua teoria architettonica. La teoria vuole dimostrare che le proporzioni umane sono perfettamente inscrivibili in due figure geometriche perfette: il CERCHIO e il QUADRATO. Corpo dell'uomo ideale: il viso misurato dal mento alla sommità della fronte e alla radice dei capelli corrisponde a 1/10 dell'altezza del corpo (così come nella mano aperta se viene misurata dalla sua articolazione fino alla punta del dito medio); l'altezza del viso si divide in tre parti uguali 1- dal mento alla base delle narici, 2- dal naso fino al punto d'incontro con le sopracciglia e 3- dalle sopracciglia alla radice dei capelli. il piede è la sesta parte dell'altezza del corpo e così via. Rispettando tali proporzioni i pittori e gli scultori dell'antichità ottennero grandi elogi. Quadrato: laltezza delluomo è uguale alla lunghezza delle braccia distese. Il centro del corpo umano è inoltre per natura lombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, lestremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi ( De Architectura, Vitruvio ) LEONARDO DA VINCI (Uomo Vitruviano, 1490) ( )

54 BOTTICELLI ( ; La nascita di Venere, ca) Se misuriamo laltezza da terra dellombelico e laltezza complessiva della Venere il loro rapporto sarà 0,618. Il rapporto della distanza tra il collo del femore e il ginocchio, e la lunghezza dellintera gamba è in sezione aurea; così come il rapporto tra la distanza del gomito e la punta del dito medio, e la lunghezza del braccio.

55 Il pittore olandese Mondrian è noto soprattutto per il suo stile geometrico, da lui chiamato neoplasticismo. In particolare, molta della sua arte è caratterizzata da composizioni che contengono solo linee verticali e orizzontali e impiegano unicamente i colori primari (e talvolta il nero e alcune sfumature di grigio) contro uno sfondo bianco, come in Broadway Boogie-Woogie. Le linee curve, lillusione della tridimensionalità e le rappresentazioni realistiche sono totalmente escluse da questa parte della sua produzione. Fondamentale è laccostamento di quadrati e RETTANGOLI AUREI. PIET MONDRIAN ( ) Broadway Boogie-Woogie Le dimensioni del quadro Il sacramento dellultima cena del 1955 sono in rapporto molto vicino a quello aureo. Rilevante è lenorme dodecaedro (un solido a dodici facce ognuna delle quali è un PENTAGONO REGOLARE) che flutta sopra la tavola e la circonda. SALVATOR DALI ( )

56 ...le proporzioni delle voci sono armonia delle orecchie, così quelle delle misure sono armonia degli occhi nostri... A.Palladio ( )

57 Nozioni base Guillame Dufay Béla BartókBéla Bartók Claude Debussy Violino e Pianoforte Musica rock - Genesis

58 I primi studi sullapplicazione della sezione aurea alle strutture formali della musica risalgono alla metà del XX secolo. Il musicologo ungherese Ernö LENDVAI fu il primo vero specialista in materia. Fece degli studi sulla sezione aurea nelle strutture musicali bartòkiane che, grazie alle numerose pubblicazioni e traduzioni (dal 1955 in poi), hanno ampliato la diffusione della conoscenza di una disciplina che fino ai primi anni settanta era appannaggio di pochi iniziati. Il musicologo Roy HOWAT, tra il 1977 e il 1986, esaminò più approfonditamente la materia fermandosi in particolar modo sullopera compositiva di Debussy ( ) e cercò di revisionare le analisi lendvaiane. Tappe fondamentali della ricerca musicologica sulla sezione aurea Nel 1950 venne pubblicato un articolo di J. H. Douglas Webster (in Music&Letters) in cui vennero citati numerose partiture nelle quali riscontrarono proporzioni auree.

59 Un criterio a cui la sezione aurea fu particolarmente legata è quello di suddividere la composizione in sezioni proporzionali tra di loro, ripetendo due volte la stessa musica con precisi rapporti di durata tra i due ritornelli. Allinterno delle strutture della musica composta nel secolo appena conclusosi la sezione aurea trovò terreno fertilissimo e si propagò a dismisura Stravinsky Xenakis Debussy, Stravinsky, Bartòk, Xenakis, Stockhausen, Nono, Ligeti, Gubajdulina… Una melodia proposta in ritmo di 2/4, ad esempio, veniva ripetuta in 4/4 con le durate delle note raddoppiate. Tinctoris con il trattato Proporzionale musices ( ) e Gaffurio (pratica musicae, 1496) giunsero alle più elevate teorizzazioni circa questi metodi.

60 Dai primi rapporti della serie di Fibonacci possiamo scoprire interessanti relazioni tra la sezione aurea e l'armonia. Il rapporto 1/1 ci da' la corda intera, lUNISONO (Es. Do1) Il rapporto 2/1 ci da' la sua OTTAVA (Do2 un ottava superiore) Il rapporto 3/2 di da la QUINTA GIUSTA (nella musica greca la diapente) (Do, sol) Il rapporto 5/3 e' il valore della SESTA MAGGIORE (Do La) Lintervallo di si sesta minore ( Mi e Do2), complementare all'intervallo di terza maggiore (Do1 e Mi), ha per misura 5/8

61 Chanson-mottetto suddiviso in due sezioni corrispondenti alle due ripetizioni del tenore, in cui il ritmo passa (in notazione moderna) da 3/4 a 4/4. Nel quattrocento un compositore fiammingo, Guillame Dufay, dà lavvio per un utilizzo in larga scala della sezione aurea nelle composizioni musicali. Lamentazio Sanctae Matris Ecclesiae Constantinopolitanae GUILLAME DUFAY ( ) 1- la prima sezione è sezione aurea dellintero brano; 2- la seconda è sezione aurea della prima. Inoltre tutti gli altri eventi salienti (cadenze ed entrate delle voci) avvengono secondo precise collocazioni venendo a definire sezioni auree sempre più piccole, a formare una struttura ad incastro.

62 Guillame Dufay scrisse il mottetto NUPER ROSARUM FLORES in occasione della consacrazione di SANTA MARIA DEL FIORE a Firenze il 4 marzo Questo fa si che le durate siano diverse per ciascuna sezione pur restando identico il numero di battute (56 battute, di cui le prime 28 sono intonate solamente da motetus e triplum e nelle restanti si uniscono i due tenores con la melodia dellintroito). La struttura (in quattro sezioni) delle parti vocali del tenor e del contratenor (le voci principali) fu costruita da Dufay secondo un preciso piano aritmetico correlato alle proporzioni dimensionali dellarchitettura della chiesa dedicataria e della cupola del Brunelleschi in particolare. E un mottetto celebrativo destinato alla celebrazione sonora solenne di grandi avvenimenti pubblici, ripartito in quattro voci (tenor, contratenor, motetus e triplum). Lossatura formale è costituita da un cantus firmus che i due tenores eseguono a note lunghe e ritmicamente sfalsata a distanza di una quinta sul motivo Terribilis est locus iste. Il brano si divide in quattro parti ciascuna delle quali comprende unesposizione del cantus firmus con indicazioni metriche sempre differenti (in notazione moderna si passa dal ritmo 6/4 a 2/2, 2/4 e 6/8). Se uguale è il numero di battute è però differente il tactus (corrispondente allunità di misura della pulsazione, in questo caso del valore di 2/4), per ciascuna sezione si ottengono i seguenti valori: 168, 112, 56 e 84, che divisi per 28 danno i rapporti 6:4:2:3. ascolta il midi

63 Se si osserva la struttura della cattedrale fiorentina si riscontrano facilmente le ricorrenze di questi numeri La partitura musicale riesce a descrivere sulla carta i suoni proprio come un progetto architettonico è in grado di schematizzare attraverso piante e sezioni una complessa opera tridimensionale. la modularità è data da un blocco della misura di 28 braccia; la navata è composta da 6 moduli; i transetti da 2 moduli ciascuno per un totale di 4; la zona absidale da 2 moduli; 3 moduli separano il soffitto della cupola dalla quota di pavimento. Ritorna quindi lo schema 6:4:2:3 già visto allinterno del mottetto. In più i rapporti tra i due involucri della cupola ricalcano esattamente le proporzioni tra le altezze delle note dei due tenori.

64 Lungherese Béla Bartók è un celebre compositore che ha fatto largo uso del rapporto aureo. Virtuoso del pianoforte ed esploratore della musicologia etnica, Bartók ha fuso leredità dei maestri classici a lui più vicini (Strauss, Liszt e Debussy). Oltre alle melodie, la forza ritmica della sua musica e un uso sagace delle simmetrie formali contribuiscono a fare di questo musicista uno dei compositori più originali del XX secolo. Analizziamo il primo movimento (una fuga) della Musica per archi, percussioni e celesta. BÉLA BARTÓK ( ) Il movimento di 89 battute è diviso in 2 parti: una da 55 battute e una da 34, dal punto di massima intensità sonora. Ulteriori suddivisioni corrispondono allaggiunta e rimozione delle sordine (dispositivi applicati agli strumenti per smorzare il suono) e ad altri cambiamenti timbrici. Tutti i numeri delle battute sono numeri di Fibonacci, coi rapporti tra le parti principali (per esempio 55/34) che si approssimano al rapporto aureo.

65 CLAUDE DEBUSSY ( ) Il compositore francese Claude Debussy, le cui innovazioni armoniche hanno profondamente influenzato generazioni di compositori, si è servito del rapporto aureo in numerose occasioni. Reflets dans leau (pezzo per pianoforte solo contenuto nella serie Images,1912). La prima ripresa del rondò giunge dopo 34 battute, che segnano il punto di sezione aurea tra linizio del brano e la sua parte culminante a partire dalla cinquantacinquesima battuta. 34 e 55 sono due numeri di Fibonacci e 34/21 è una buona approssimazione a Φ. Nella seconda parte la struttura è divisa secondo il rapporto 24/15 (8/5 altri due numeri di Fibonacci). Analoghe suddivisioni sono state rivelate sono state rivelate nei tre schizzi sinfonici intitolati La mer (Durand 1905), nella composizione per pianoforte solo Jardins sous la pluie e in altre opere. Quando si ascolta La mer si ha limpressione di ascoltare non solo il ritratto musicale del mare e della sua potenza (ispirato allopera del pittore inglese Turner), ma anche la rievocazione di un periodo tumultuoso della vita dellautore. La Cathédrale Engloutie è un preludio per pianoforte di 89 battute, con le prime 68 battute che hanno un tempo doppio delle restanti 21, in sostanza alla battuta 68 rallenta alla metà del tempo, quindi delle prime 68 battute è come se in realtà ce ne fossero la metà, cioè 34. Tutto ciò comporta che il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89.

66 Alcuni dei violini più celebri furono costruiti da Antonio Stradivari ( ), massimo esponente della celebre scuola cremonese. Disegni originali mostrano che Stradivari usava particolare cura nel collocare gli occhi dei fori a effe (le due aperture della cassa armonica la cui forma ricorda questa lettera) in posizioni determinate geometricamente dal RAPPORTO AUREO. Esso inoltre è contenibile entro quattro pentagoni regolari. In pochi credono che luso del rapporto aureo sia il motivo dellinimitabile timbro dei violini Stradivari. Più spesso la verniciatura, il trattamento dei legni e la perizia complessiva dellartigianato sono considerati i possibili ingredienti del segreto di un ottimo violino. VIOLINO

67 PIANOFORTE Nella tastiera del pianoforte lottava corrisponde a 13 tasti, otto bianchi e cinque neri. A loro volta i tasti neri sono riuniti in un gruppo di due o tre tasti. I numeri citati (2, 3, 5, 8 e 13) formano una sequenza di 5 numeri di Fibonacci consecutivi. La sesta maggiore e la sesta minore sono tra i più piacevoli intervalli musicali e sono legati dal rapporto aureo. Il tono standard usato per accordare gli strumenti è LA (frequenza di 440 cicli al secondo). Un accordo di sesta maggiore si ottiene combinando con il LA il DO (frequenza di 264 cicli al secondo). Il rapporto delle frequenze corrisponde alla frazione 5/3, cioè il rapporto di due numeri di Fibonacci successivi. Un accordo di sesta minore si ottiene da un DO alto (528 cicli al secondo) e da un MI (330 cicli al secondo). Il rapporto può essere semplificato in 8/5, anchesso un quoziente di due numeri di Fibonacci, e molto vicino al rapporto aureo.

68 MUSICA ROCK (ANNI 70) Anche la musica Rock in special modo il così detto rock progressive, si è confrontata con la relazione esistente fra musica e matematica in special modo è stata attratta dagli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea e più precisamente dalla serie di Fibonacci. Oltre ai Genesis, i quali più di qualsiasi altro gruppo si sono ispirati alla sezione aurea, ce ne sono altri che hanno usato nelle loro composizioni i numeri aurei, anche se in poche occasioni, come ad esempio i Deep Purple nel loro brano Child in Time. Lesempio più emblematico per quanto riguarda questo genere musicale, è la musica dei GENESIS (gruppo progressive rock sviluppatasi in Inghilterra durante la prima metà degli anni settanta), i quali usano assiduamente la serie fibonacciana per costruire larchitettura armonica- temporale dei loro brani, uno di essi, più significativo in questo senso, è Firth of Fifth tutto basato su numeri aurei.

69 n. sezionetonalitàbattutesegnaturamm.ss. 1)Pf. (preludio)Si bem. magg.34 (54+1)var. (su 390/16)0:00 2)Voce (I parte)Si magg.31½4/41:07 3)ponte mod.-74/43:05 4)Fl. (tema)Mi min.13¼4/43:30 5)Pf. (svil. tema)Do min.8½4/44:10 6)Synth (solo)Si bem. magg.34 (54+1)var. (su 390/16)4:34 7)Chit. el. (solo)Mi min./magg.554/45:46 8)ponte mod.-24/48:27 9)Voce (II p. ripr.)Si magg.114/48:34 10)Pf. (coda in dissol.)Mi magg.(8)13/169: :33 Il numero delle battute è riconducibile ai valori della serie di Fibonacci ( etc.); fondamentale è la struttura fortemente asimmetrica dei due assolo tastieristici, organizzati su segnature di tempo del tutto inusitate per un brano rock, la cui metrica, in continua variazione fra binario e ternario, conferisce ai due episodi una tensione dinamico-propulsiva di grande efficacia. Questa complessa struttura dà così origine ad una sorta di nucleo generativo sfociante: il primo (pf), nell'attacco della prima sezione vocale, ed il secondo (synth), nel vasto assolo di chitarra elettrica, entrambi, non a caso, su segnatura 4/4, giusta e distesa risoluzione del primigenio turbine ritmico precedente. Firth of Fifth del 1973 (album SEBTP, Genesis) GENESIS ascolta la canzone

70 Questi due episodi strumentali, dal punto di vista strutturale e metrico-ritmico, sono assolutamente identici: si tratta di una struttura formale AABCDAA che si sviluppa su 390 semicrome che corrispondono anche alle 390 semicrome della linea melodica conduttrice. Studiando approfonditamente la partitura ed evidenziando segnature di tempo, numero delle battute, scomposizione ritmica e sottoscomposizione metrica non appare troppo arduo risalire (calcolando il numero di semicrome per sezione) ad una serie matematica ricorrente di derivazione fibonacciana, i cui valori corrispondono appunto, al numero totale delle semicrome contenute nelle varie sezioni del solo, mentre le sommatorie parziali, per aggregazione strutturale delle medesime, porta, sempre tramite i valori della serie che qui andiamo ad indicare, al totale di 390/16: si tratta dei primi 7 valori della serie di Fibonacci ( ), ma ciascuno moltiplicato per 30 GENESIS

71 BIBLIOGRAFIA : - Antoccia Luca et al. (2000), Leonardo arte e scienza. Firenze, Giunti gruppo editoriale. - Boesiger Willy (1977), Le Corbusier. A cura di Emilio Pizzi, Bologna, Zanichelli - Bora Giulio et al. (2003), I luoghi dell arte vol.3 Dal gotico internazionale alla maniera moderna. Roma, Electa Bruno Mondadori. Bora Giulio et al. (2003), I luoghi dell arte vol.4 dall età della maniera al rococò. Roma, Electa Bruno Mondadori. Bouleau Charles, La geometria segreta dei pittori. Roma, Electa. - Jenger Jean (1993), Le Corbusier. L architettura come armonia. Parigi, Gallimard. - Livio Mario (2003), La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni. Traduzione di Stefano Galli, Milano, Rizzoli. - Vitali Umberto et al. (2006), L arte tra noi. Strumenti. Roma, Electa Bruno Mondadori. - Wittkower Rudolf (1962), Principi architettonici nell età dell Umanesimo. Torino, Giulio Einaudi Editore.

72 Links: - c.asp?TOPIC_ID= n.html - rea_2.htm - o/2B/Mandelli/Sezione%20Aurea.pdf archivio.pdf


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