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Corso di Fisica Generale II Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il principio di Relatività di Galilei 2)Il teorema di.

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1 Corso di Fisica Generale II Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il principio di Relatività di Galilei 2)Il teorema di addizione delle velocità 3)Inconsistenza dellElettromagnetismo con la Meccanica Classica 4)Lesperimento di Michelson e Morley 5)I principi della Relatività di Einstein 6)Simultaneità di due eventi e sincronizzazione 7)Le trasformazioni di Lorentz 8)Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi 9)Lo Spazio-tempo di Minkowski ed il cono di luce 10)Il quadrivettore quantità di moto e la relazione massa-energia Parte XII: Cenni di teoria della relatività

2 x = x y = yy = y z = z - u z tz = z + u z t t = tt = t R R Le Leggi della Meccanica sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali x t P x t O y z z y O uztuzt Riferimenti Inerziali R ed R: Traslano con velocità u=cost. Trasformazioni di Galilei Il Principio di Relatività di Galilei

3 Le equazioni per (x,y) ed (x',y') sono una diretta conseguenza dell' isotropia dello spazio Le equazioni per t e t esprimono il postulato dellesistenza di un tempo assoluto Vale il Principio di Reciprocità: R R' è la trasformazione inversa di R' R e si ottiene con u - u. Di conseguenza la distinzione R= "in quiete"R'="in moto" è puramente arbitraria: un osservatore 1) solidale con R vede O' allontanarsi con vel. u 2) solidale con R' vede O allontanarsi con vel. -u Il concetto di moto è relativo Postulato della Teoria della Relatività: E impossibile distinguere per mezzo di un esperimento o fenomeno fisico un riferimento inerziale da unaltro Le misure delle distanze in R ed in R' sono eseguite con regoli dalle stesse caratteristiche chimico-fisiche, che si suppone non cambino nei passaggi R R, calibrati una volta per tutte a t=0 Alcuni Commenti

4 Siccome dt=dt, r=r-ut, e la velocità di trascinamento è costante In quieteIn moto Ciò corrisponde alla nostra intuizione, ma è una conseguenza dell ipotesi di tempo assoluto La conseguenza di ciò è che le accelerazioni sono le stesse in ogni riferimento e quindi anche le forze (se le masse restano costanti) In quieteIn moto Quindi se m=m, F=F. In riferimenti non inerziali Il Teorema di addizione delle velocità

5 Le equazioni di MaxwellCostanti universali Le costanti e c dipendono solo dalla scelta del sistema di unità di misura. Quindi è strano che una velocità non dipenda dalla scelta del riferimento Sia che possono essere espresse in termini di c Le predizioni delle equazioni di Maxwell accadono: e.g. onde elettromagnetiche, dipoli oscillanti, etc. Inconsistenza fra lElettromagnetismo e la Meccanica Classica

6 Alcuni risultati dellelettromagnetismo sono: Tutto ciò è palesemente inconsistente con le trasformazioni di Galilei È possibile elaborare Tre ipotesi di consistenza 1)Le onde elettromagnetiche si propagano in un mezzo, l ETERE, che è anche un riferimento "privilegiato", la cui esistenza deve essere provata (Maxwell,1879) 2)Le Trasformazioni di Galilei sono corrette ma lElettromagnetismo è non formulato correttamente (Teorie Emissive, Lorentz-Fitzgerald e altri) 3)Le Trasformazioni di Galilei non sono corrette e la Teoria della Relatività va corretta (Relatività ristretta di Einstein) 1)Non esistono azioni a distanza 2)I campi si propagano per onde la cui velocità di fase nel vuoto è c 3)c è una costante universale 4)I campi non sono invarianti per cambiamento di riferimento, (e.g. in un riferimento solidale con una carica puntiforme questa è ferma e non subisce forze di Lorentz in un campo magnetico perché v=0)

7 Teoria Sistema di riferimento Dipendenza della velocità Connessione spazio- temporale Trasformazioni Teoria classica dellEtere Etere c non dipende dal moto della sorgente spazio e tempo sono indipendenti Trasformazioni di Galilei Teorie emissive Nessun rif. privilegiato c dipende dal moto della sorgente spazio e tempo sono indipendenti Trasformazioni di Galilei Teoria della Relatività Speciale Nessun rif. privilegiato c non dipende dal moto della sorgente spazio e tempo sono interdipendenti Trasformazioni di Lorentz Caratteristiche delle teorie di consistenza

8 EsperimentoEtere Staz. no contraz. Etere Staz. contraz. di Lorentz Etere solidale corpi pond. Sorgente originale BalisticaRelatività speciale Aberrazione sì nosì Coeff. Fizeau sì nosìirr.sì Michelson-Morley nosì Michelson-Morley l. s. nosì no sì Kennedy-Thorndike no sì Sorg. e specchi in moto sì nosì De Sitter, stelle binarie sì no sì Massa-velocità nosìnoirr. sì Massa-Energia irr. sì Radiaz.cariche in moto sì irr.no sì Decadimento mesoni irr. sì Trouton-Noble nosì irr. sì Induzione unipolare no irr. sì Legenda: sì= accordo; no=disaccordo; irr.= irrilevante per la teoria Confronto Teorie-Esperimenti

9 Per verificare lesistenza delletere Michelson ideò il seguente esperimento. Se lEtere esiste non può essere solidale con la Terra. Quindi facendo interferire i raggi che percorrono i tratti AS 1 ed AS 2 e ruotando linterferometro deve essere possibile misurare una variazione di frange s1s1 s2s2 l2l2 l1l1 A d L T Esperimento I s1s1 s2s2 l2l2 l1l1 A d L T Esperimento II Lesperimento di Michelson-Morley

10 Se la Terra si muove rispetto a lEtere con velocità v e la direzione di tale moto è AS 2, il tempo t 2 che impiega la luce a percorrere il tratto AS 2 A sarà AA H S1S1 Mentre a percorrere il tratto AS 1 A starà un tempo t 1, perché vi sarà stata un traslazione 2AH=vt 1 del punto A La distanza fra le frange di interferenza dipende dal rapporto fra la differenza di cammino delle due onde e la lunghezza donda

11 Se adesso si ruota linteferometro di 90 gradi (Esp. II), i ruoli di l 1 ed l 2 si invertono La rotazione dovrà dare dunque una variazione di frange legata alla differenza di fase Pertanto ripetendo lesperimento per tantissime differenti rotazioni, a tutte le ore del giorno e della notte, tutti i giorni dellanno, nellarco di molti anni (inclinazione dellasse terrestre) si dovrà apprezzare una differenza nelle frange di interferenza che corrisponderà al momento in cui la direzione del moto terrestre rispetto allEtere sarà parallelo Michelson e Morley non rivelarono MAI variazioni delle frange superiori agli errori sperimentali Pertanto se lEtere esiste è solidale con la Terra Pertanto se lEtere esiste è solidale con la Terra (cioè non esiste)

12 Ci sono evidenze sperimentali e teoriche sufficienti ad ammettere che la velocità di fase delle onde elettromagnetiche è costante Queste evidenze falsificano la teoria dellaRelatività di Galilei, in particolare negano il teorema di addizione delle velocità Per quanto spiacevole e contrario alle nostre intuizioni possa essere la teoria della Relatività di Galilei è inesatta e va ampliata per tenere in conto che c=costante È necessario, pertanto, introdurre un nuovo principio della Teoria della Relatività: c=costante Sulla base dei nuovi principi bisogna cercare le nuove leggi di trasformazione che devono ridursi alle trasformazioni di Galilei per velocità relative piccole rispetto a c In Fisica quello che conta sono i fatti e non le sensazioni, che sono basate sulla nostra esperienza quotidiana per la quale u << c I principi della Relatività di Einstein

13 Pertanto i Principi della Teoria della Relatività di Einstein devono diventare: 1) Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali 2) La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore c in tutti i riferimenti inerziali Come vedremo ciò ha delle conseguenze concettuali drammatiche: bisogna abbandonare il concetto di tempo assoluto Bisogna poi dare delle ricette per la sincronizzazione degli orologi in sistemi in moto relativo

14 La costanza di c in tutti i riferimenti implica che due eventi simultanei nel sistema in quiete non lo siano per un osservatore in moto londa el.mag. NON raggiunge i punti A e B simultaneamente perché A si avvicina ad O con velocità u, mentre B si allontana da O con velocità -u O d d AB u ABO d d londa el.mag. raggiunge i punti A e B simultaneamente "In quiete""In moto" Un onda è emessa da una sorgente posta nelloriginedel riferimento al tempo t=0 quando O coincide con O Simultaneità e sincronizzazione

15 Il tempo trascorre in maniera differente in riferimenti inerziali diversi Non si può pensare di sincronizzare gli orologi portandoli prima tutti nellorigine O e quindi trasportarli nei punti dello spazio (x,y,z) perché il moto altera lo scorrimento del tempo. Ogni punto dello spazio deve avere il suo proprio orologio, e deve usarsi il fatto che c=costante (II principio della relatività) per sincronizzare tutti gli orologi: un orologio in (x,y,z) è sincronizzato con un orologio in O se segna un tempo quando è raggiunto da unonda partita da O allistante in cui lorologio in O segnava t(O)=0 e se ciò è vero per tutti gli istanti successivi. Spazio e tempo sono quindi intimamente connessi Si deve introdurre il concetto di Evento Puntuale mediante lassegnazione delle quattro variabili (x,y,x,t) Possiamo ora cercare le equazioni di trasformazione per due riferimenti inerziali imponendo che non esista un tempo assoluto ma che la velocità della luce sia una costante Sincronizzazione degli orologi

16 x t x t O y z z y O uztuzt aa Consideriamo due riferimenti inerziali, e cerchiamo dapprima le trasformazioni lungo le direzioni perpendicolari alla direzione del moto di trascinamento Deve essere: y=a(R);y=a(R);=> k=a/a Ora posso invertire le direzioni di x e z e non deve fisicamente cambiar nulla se lo spazio è omogeneo: x -x, y y, z -z; x -x, y y, z -z. A causa dello scambio z -z, z -z il ruolo di R ed R si scambia (si inverte u z ): deve quindi essere pure k=a/a. Ma siccome a e a non dipendono dallo stato di moto di O e O deve essere k 2 =1. Siccome non ho cambiato il segno di y deve essere per forza k=+1 e quindi Ovvero le distanze lungo y (perpendicolare al moto relativo) non cambiano. Pertanto Le Trasformazioni di Lorentz

17 Non può però essere così per z e z (la direzione del moto) e per t e t (non esiste il tempo assoluto) Tali trasformazioni devono essere lineari, perché deve essere sempre possibile scambiare il ruolo di R ed R (Principio di Reciprocità) Proviamo con leggi del tipo: dove i parametri REALI, a e b vanno determinati imponendo c=costante Se allistante t=0 O ed O coincidono e una sorgente emette unonda sferica, le equazioni del fronte donda nei due riferimenti saranno "In quiete""In moto" Sostituendo nellultima equazione a x,y,z e t Ma i fronti donda devono coincidere, quindi per confronto si ottengono le tre equazioni

18 Ricavando b 2 dalla I e a 2 dalla III E riscivendo la II, quadrandola e sostituendo Sostituendo nelle altre La scelta dei segni deve essere consistente col fatto che R è in quiete e R è in moto (a, >0 e b<0) Si ottengono così le famose Trasformazioni di Lorentz

19 R Rispettano il Principio di Reciprocità (scambiare u -u equivale a scambiare il sistema in quiete con quello in moto) Rispettano lisotropia dello Spazio Si riducono alle trasformazioni di Galilei nel limite u<

20 Definendo In pratica differisce da 1 solo per valori di > 0.2, cioe u > m/sec

21 Un osservatore fermo in R vuole misurare la lunghezza d di un regolo fermo in R O z zO d z1z1 z2z2 z1z1 z2z2 uztuzt Losservatore in O deve registrare contemporaneamente rispetto al suo orologio le coordinate z 1 e z 2 "In quiete""In moto" Gli oggetti in moto rispetto ad un osservatore appaiono contratti nella direzione del moto, rispetto al risultato ottenibile da un osservatore FERMO rispetto ad essi Contrazione delle lunghezze

22 O z z Ouzuz Un osservatore fermo in O (in moto) misura la distanza temporale fra due eventi Troverà Per la quarta trasformazione di Lorentz (con z=0) Per un osservatore in moto il tempo scorre più lentamente che per un osservatore in quiete (paradosso dei gemelli) Si definisce il tempo proprio di un corpo in moto come il tempo segnato da un orologio solidale col corpo stesso Dilatazione dei tempi

23 È possibile definire una lunghezza pari a x 4 =ct. Siccome c è una costante universale, queste grandezze fisiche, tempo e lunghezza hanno lo stesso significato fisico. (Attenzione 4 è un apice non un esponente!) Un evento puntuale E E(x,y,z,t) può essere quindi definito in termini delle quattro coordinate spazio-temporali E E(x 1 =x,x 2 =y,x 3 =z,x 4 =ct) Nei fatti abbiamo definito uno spazio quadridimensionale, lo Spazio-tempo di Minkowski, nel quale le trasformazioni di Lorentz assumono una forma estremamente più simmetrica Inoltre le quantità sono identiche, quindi invarianti per trasformazione di Lorentz In questo spazio quadridimensionale s gioca il ruolo del modulo del vettore posizione, e quindi le trasformazioni di Lorentz vanno pensate come rotazioni delle coordinate in questo spazio Lo Spazio-Tempo di Minkowski

24 In questo spazio il moto di un punto materiale deve essere pensato come una sequenza di eventi puntuali: cioè il punto materiale in differenti punti spaziale a differenti tempi La legge oraria del moto sarà quindi una traiettoria detta linea universo Per moti solo nella direzione x 3 x4x4 x3x Futuro Passato Altrove Se la velocità della luce è il limite superiore di tutte le velocità, allora tutte le linee-universo sono contenute nelle zone indicate da Passato (x 4 0)e le regioni indicate con Altrove sono irraggiungibili. Il Presente è il punto x 4 =0 e le linee tratteggiate sono le linee-universo dei fotoni che viaggiano alla velocità della luce.

25 In caso di moti "spazialmente bidimensionali le linee-universo dei fotoni descrivono un cono di rotazione detto il cono di luce x3x3 x4x4 x2x2 Futuro Passato Altrove Nel caso di moti tridimensionali il cono di luce è un ipercono quadridimensionale

26 Sono la generalizzazione del concetto di vettore tridimensionale e si definiscono in termini delle componenti lungo i quattro assi spazio-temporali I quadrivettori si trasformano seguendo le trasformazioni di Lorentz e si distingue fra componenti covarianti (pedici) e controvarianti (apici) legate da: Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori la somma dei prodotti delle componenti controvarianti del primo per le corrispondenti covarianti del secondo Di conseguenza il modulo quadro di un quadrivettore, ovvero il prodotto scalare di un quadrivettore per sé stesso è Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso non è quindi definito positivo: Se (A i A i ) >0 si dice che il vettore è di genere spazio; se (A i A i ) <0 si dice che il vettore è di genere tempo; se (A i A i ) =0 si dice che il vettore è di genere luce I quadrivettori

27 Si definisce il quadrivettore velocità come la derivata del quadrivettore posizione rispetto al tempo proprio Si definisce quantità di moto il quadrivettore con e m 0 è la massa a riposo del punto materiale Per piccoli valori di v/c (semplice sviluppo in serie): I quadrivettore velocità e quantità di moto

28 Si definisce energia totale di un punto materiale come somma dellenergia in quiete e dell energia cinetica (caso della particella libera) Confrontando con lespressione della quantità di moto La circostanza che energia e massa siano legate da una costante universale implica la completa equivalenza di questi concetti in fisica relativistica Se calcoliamo il prodotto scalare della quantità di moto per sé stessa Questultima relazione va sotto il nome di relazione di dispersione Relazione massa-energia


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