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Nuovi scenari per la matematica – Salerno – 29/08/2012

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Presentazione sul tema: "Nuovi scenari per la matematica – Salerno – 29/08/2012"— Transcript della presentazione:

1 Nuovi scenari per la matematica – Salerno – 29/08/2012

2 1. Analisi della proposta: Le medie e la disuguaglianza2. Lapproccio statistico3. Lapproccio geometrico4. Lapproccio algebrico5. Esempi di quesiti di verifica 2

3 Concetto centrale della statistica Medie Confronto media aritmetica vs media geometrica Approccio geometrico Approccio algebrico Disuguaglianza Due livelli di azione Calcolo combinatorio; Probabilità; Statistica descrittiva Dati e Previsioni: analisi Linee Guida e Indicazioni Nazionali 3

4 da trattare anche con lausilio di strumenti informatici devono riguardare situazioni-problema della vita quotidiana o inserite in altre discipline Tali argomenti usare consapevolmente gli strumenti di calcolo; analizzare dati e rappresentarli graficamente; sviluppare deduzioni e ragionamenti dai dati con lausilio di rappresentazioni grafiche. Lo studente deve essere in grado di 4

5 Per le medie no prerequisiti irrinunciabili; Per la verifica della disequazione prerequisiti differenti in funzione dellapproccio scelto Prerequisiti Confronto tra operazioni di tipo diverso: radice e prodotto con somma e divisione. Progressioni aritmetiche e geometriche. Modelli lineari e non lineari. Confronto tra quadrilateri equivalenti (semiperimetro rettangolo e quadrato) Teorema di Pitagora Tipi di medie e andamenti possibili di fenomeni di riferimento. Economia: capitalizzazione semplice e composta. Connessioni con altri argomenti 5

6 Approccio induttivo ( Di medie non ce nè una sola – Problem solving e scoperta guidata: problema pratico calcolo simbolico introduzione moda, media e mediana in modo naturale medie diverse (armonica, geometrica,…) definizioni e formalizzazioni Organizzazione di un percorso e sua collocazione nella progettazione didattica complessiva Livello base: saper riconoscere e utilizzare le diverse medie Livello intermedio: individuare il modello di media più adeguato al contesto problematico Eccellenza: riuscire a dimostrare Prove di verifica 6

7 7 PREREQUISITI Calcolo algebrico Disuguaglianze Ordinamento numerico Proprietà delle potenze COLLEGAMENTI Confronto tra operazioni di tipo diverso: radice e prodotto con somma e divisione Progressioni aritmetiche/geometriche Teorema di Pitagora Modelli lineari e non lineari Economia: capitalizzazione semplice e composta PERCORSO Motivazione allutilità di valori di sintesi di serie di numeri: media di n numeri, scarto quadratico medio Problematiche reali con applicazioni di media aritmetica, geometrica, quadratica, armonica Ogni problema ha una sua media, adeguata alla tipologia del problema proposto

8 Dopo le opportune considerazioni sui valori assumere ammissibili per a e b, è sufficiente considerare che la quantità al primo membro costituisce la media geometrica (semplice) dei valori a e b mentre quella al secondo membro ne è la media aritmetica (semplice) e che tra tali medie sussiste sempre la disuguaglianza indicata. Soluzione Introdurre progressivamente gli elementi fondamentali della statistica descrittiva stimolando gli alunni ad individuarli a partire da semplici problemi su situazioni della vita quotidiana; inizialmente non fornire nomi e definizioni ma guidare la classe allindividuazione di strumenti che possano risolvere problemi posti di volta in volta dal docente. Proposta didattica interattiva sulle medie 8

9 ,08,88,58,188,99,310,511,215,420,424, ,227,126,326,124,522,620,419,615,713,112,510, ,99,08,58,38,28,79,010,112,113,718,823, ,423,627,326,123,621,420,419,214,111,211,110,1 Torino Bari 9 Presentazione di dati relativi alla stessa variabile per due sequenze differenti ESEMPIO: temperatura rilevata nelle 24 ore di un determinato giorno rispettivamente nelle città di Torino e Bari

10 10 Chiedere agli alunni aggiungere ad una delle due serie uno o più valori coincidenti con il valor medio e far ricalcolare il nuovo valor medio, che resta invariato. Guidare alla formulazione della proprietà corrispondente; aggiungere alla serie di numeri un ulteriore gruppo la cui media è uguale a quella dei valori già inseriti; far ricalcolare la media complessiva per scoprire la proprietà corrispondente; aggiungere ad ogni valore un uguale numero a; far ricalcolare la media per portare a scoprire che il suo valore è aumentato della quantità a; condurre alla formulazione della relativa proprietà; moltiplicare ogni valore per un uguale numero b; far ricalcolare la media per condurre a scoprire che il suo valore è b volte quello di partenza; guidare alla formulazione della relativa proprietà della media.

11 11 Una volta calcolata la media aggiungere ad una delle due serie uno o più valori coincidenti con il valor medio e far ricalcolare il nuovo valor medio, che deve rimanere invariato. Guidare alla formulazione della proprietà corrispondente aggiungere alla serie di numeri un ulteriore gruppo la cui media è uguale a quella dei valori già inseriti; far ricalcolare la media complessiva per scoprire che resta invariata e condurre alla formulazione della proprietà corrispondente aggiungere ad ogni valore un uguale numero a; far ricalcolare la media per portare a scoprire che il suo valore è aumentato della quantità a; condurre alla formulazione della relativa proprietà della media moltiplicare ogni valore per un uguale numero b; far ricalcolare la media per condurre a scoprire che il suo valore è b volte quello di partenza; guidare alla formulazione della relativa proprietà della media

12 12 Definire la media e introdurre i diversi casi di media fornire la definizione di media (unica) come il valore che, sostituito a tutti i valori della serie, mantiene inalterato il risultato; applicare il metodo generale di calcolo della media in vari casi, mostrando che il modello non è unico, ma può variare a seconda della situazione (aritmetica, geometrica, quadratica, armonica)

13 13 Sugli indici di dispersione (1) PadreMadreI figlioII figlioIII figlio Proporre due sequenze diverse di numeri, come nel caso delle temperature, ma più brevi, intere e con uguale media; calcolarne le medie mostrando che sono uguali e chiedere quale delle due serie è meglio rappresentata dalla media, ossia per quale delle due la media è meglio rappresentativa dei dati forniti. Esempio: età dei componenti di un gruppo di studenti universitari del primo anno che studiano insieme: età dei componenti di una famiglia: La media è la stessa (19) nei due casi, ma nel primo essa rappresenta molto bene tutti gli elementi, nel secondo è molto poco rappresentativa dei diversi dati inseriti.

14 14 guidare a trovare un criterio per stabilire quando la media è più o meno rappresentativa del fenomeno da cui deriva e introdurre lo scarto semplice; far calcolare la somma degli scarti, dimostrando che quella degli scarti semplici è sempre zero e, quindi, non rappresentativa della dispersione dei dati; far notare che il risultato nullo dipende dalla presenza di valori sia negativi che positivi e che quindi bisogna trasformare gli scarti in valori tutti positivi (elevandoli al quadrato o usando il valore assoluto); far calcolare la somma degli scarti quadratici; calcolare la media degli scarti quadratici. Sugli indici di dispersione (2)

15 15 PREREQUISITI Concetto di misura Teorema di Euclide Triangoli inscritti in una semicircon- ferenza Proprietà della corda COLLEGAMENTI Costruzioni geometriche (secondo teorema di Euclide) Proprietà della corda Triangoli inscritti in una semicircon- ferenza SOLUZIONE Dopo le opportune considerazioni sui valori assumere ammissibili per a e per b (entrambi non negativi), essi possono essere considerati come le proiezioni sullipotenusa dei cateti di un triangolo rettangolo; il triangolo viene inscritto in una semicirconferenza in modo che lipotenusa coincida con il diametro; è il raggio della circonferenza, laltezza h del triangolo è una corda, per cui. Essendo, per il secondo teorema di Euclide, laltezza h medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sullipotenusa, si ha: per cui la disuguaglianza risulta verificata.

16 16 PREREQUISITI Calcolo algebrico Disugua- glianze Ordinamento numerico COLLEGAMENTI Confronto tra operazioni di tipo diverso: radice e prodotto con somma e divisione Progressioni aritmetiche e geometriche Proprietà delle potenze Modelli lineari e non lineari SOLUZIONE Al primo membro è presente una radice di ordine pari, per cui il prodotto ab deve essere non negativo. Lunico caso da studiare è quello in cui sia a che b sono positivi o nulli. È sufficiente elevare al quadrato entrambi i membri della diseguaglianza, il cui verso resta lo stesso; si ha: In particolare.

17 17 Proposta di quesito Tutti gli studenti che frequentano il terzo anno di una scuola media sono stati sottoposti ad un test di matematica costituito da 10 quesiti. I risultati del test sono riportati in figura. Determinare: a) il numero degli studenti sottoposti al test; b) la moda della distribuzione; c) la mediana della distribuzione; d) il valor medio delle risposte esatte per alunno.

18 18 Si può dedurre dal test il numero degli allievi? È possibile dedurre dal grafico il quesito che ha ottenuto il maggior numero di risposte esatte? Esiste un termine che sintetizza questo valore? Esiste un valore che ripartisce la distribuzione al 50%? Esiste un termine che sintetizza questo valore? In media quante sono le risposte esatte date dagli alunni? Le richieste potrebbero essere sostituite da:

19 19 È richiesto di calcolare: il numero di studenti partecipanti la moda del numero di risposte esatte la mediana del numero di risposte esatte al test il valore medio delle risposte esatte per alunno (si può calcolare anche per quesito). Analisi del testo del quesito

20 20 E possibile determinare il numero di test proposti agli alunni individuando la modalità massima E possibile calcolare il numero di studenti partecipanti sommando le singole frequenze E possibile calcolare la moda del numero di risposte esatte: essa è la modalità (pertanto un valore compreso nel dominio) che si è presentata il maggior numero di volte E possibile calcolare la mediana del numero di risposte esatte al test: esso la modalità corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver ordinato tutti i numeri di risposte esatte fornite (semplice, ma molto lungo), oppure più semplicemente corrispondente al 50% della distribuzione cumulata E possibile calcolare il valore medio delle risposte esatte sia in riferimento al numero di alunni (dividendo il totale di risposte esatte per il numero di alunni) sia al numero di quesiti (dividendo il numero totale di risposte esatte per il numero di quesiti) Analisi del problema

21 21 Dalla dicitura riguardante la variabile (numero risposte esatte) si deduce che si possono fornire da 0 a 10 risposte esatte (11 modalità); quindi, la variabile numero di risposte esatte fornite dai singoli alunni e il loro valore massimo, 10, permette di verificare che il Numero test è 10. Lindicazione sullasse delle ordinate consente di individuare il tipo di grafico: è un grafico a barre verticali di frequenze (assolute) indicanti il numero di alunni che hanno fornito un determinato numero di risposte esatte ai 10 quesiti. Rilevazione di informazioni dallanalisi dei dati riportati nel grafico

22 22 Risoluzione (1) il numero di studenti partecipanti si ottiene sommando le frequenze relative a tutti i numeri di risposte esatte: = 62, quindi il numero di studenti è 62 la moda del numero di risposte esatte è il valore di modalità (pertanto compreso tra 0 e 10) che si è presentata il maggior numero di volte: la frequenza massima è 13, per cui la moda della distribuzione è 6 (numero di risposte esatte che si è presentato più volte). MODA = 6 la mediana del numero di risposte esatte al test è la modalità corrispondente al valore di posizione centrale dopo aver ordinato in ordine crescente tutti i numeri di risposte esatte fornite, ciascuno tante volte quante si sono verificate (si avrebbe 2,2,3,3,3,3,3,3,…), oppure più semplicemente individuando il 50% della distribuzione cumulata (vedi tabella sottostante); risulta MEDIANA = 6

23 23 Risoluzione (2): calcolo della media il totale di risposte esatte è 341, il numero di alunni 62, per cui, essendo, 341/62 = 5,50 il valor medio di risposte esatte per alunno è 5,50 il numero totale risposte esatte (341) diviso il numero di quesiti (10) fornisce il valore della media delle risposte esatte per quesito: 34,1

24 24 I quesiti proposti nel seguito vanno intesi come una panoramica di quesiti di differenti livelli di competenza, da assemblare in funzione del percorso proposto e degli obiettivi da testare.quesiti proposti


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