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Lezione n° 16: 5-6 Maggio 2009 - Teoria dei grafi: definizioni di base - Problema dellalbero ricoprente a costo minimo Anno accademico 2008/2009 Prof.

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1 Lezione n° 16: 5-6 Maggio Teoria dei grafi: definizioni di base - Problema dellalbero ricoprente a costo minimo Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 2 Teoria dei Grafi Concetti fondamentali I grafi sono un mezzo per rappresentare relazioni binarie Ad esempio: l due città connesse da una strada l due calcolatori connessi in una rete telematica l due persone legate da una relazione di parentela (come, padre-figlio) l due persone che condividono una stanza l il collegamento tra due componenti elettronici l unoperazione che deve essere eseguita da una certa macchina l...

3 3 I grafi possono essere usati come strumento per modellare in maniera schematica un vastissimo numero di problemi decisionali. Ad esempio: l determinare il percorso più breve che connette due città l determinare come connettere nella maniera più economica (più efficiente) un insieme di calcolatori in una rete telematica l assegnare un insieme di operazioni ad un insieme di macchine l determinare il percorso più conveniente da far percorrere ad una flotta di veicoli commerciali per effettuare delle consegne e quindi rientrare al deposito l...

4 4 Definizioni fondamentali Grafo non orientato Un grafo non orientato G=(V,E) è dato da una coppia di insiemi finiti: l V={v 1,...,v n } linsieme degli n Nodi di G E={e 1,..,e m } VxV linsieme degli m Archi non orientati di G Ogni arco non orientato di G corrisponde ad una coppia non ordinata di nodi di G e k =(v i,v j ). La presenza di un arco tra una coppia di nodi indica una relazione tra i nodi stessi.

5 5 Un esempio: G=(V,E)

6 6 Definizioni di base: l un arco (v,v) è detto loop due nodi u,v V sono detti adiacenti (u,v) E due archi e,f E sono detti adiacenti e=(v,w) ed f=(v,u) un arco f=(u,v) E si dice incidente su u e su v linsieme di nodi N(v)={z V: z adiacente a v} è detto intorno di v in G linsieme di archi (v)={e E: e incide su v} è detto stella di v in G (v) è detto grado del nodo v

7 7 Grafi e Sottografi H=(W,F) è detto sottografo di G=(V,E) W V e F E H=(W,F) è detto sottografo indotto da W in G=(V,E) W V e (u,v) F implica che u,v W e (u,v) E

8 8 Esempio G=(V,E) sottografo di G

9 9 Esempio G=(V,E) sottografo indotto di G

10 10 Grafi bipartiti e grafi completi G è detto grafo bipartito se esiste una partizione di V=V 1 V 2 tale che: V 1 V 2 = e=(u,v) E se u V 1 allora v V 2 oppure se u V 2 allora v V 1 Esempio grafo bipartito grafo non bipartito

11 11 G è detto completo contiene tutti i possibili archi, ovvero (v) =n-1 v V l il massimo numero di archi di un grafo completo è dato da Esempio grafo completo

12 12 Grafi orientati l G=(V,E) è detto orientato se, dato V={v 1,...,v n }, linsieme degli archi E={e 1,..,e m } è formato da coppie ordinate di nodi. Per un grafo orientato si ha che e i =(v k,v h ) e j =(v h,v k ) e i,e j E Coda Testa Larco e i si dice uscente da v h ed entrante in v k

13 13 Esempio grafo orientato Fs(v)={u V: (v,u) E} è detto stella uscente di v Bs(v)={u V: (u,v) E} è detto stella entrante di v S(v)= Fs(v) Bs(v) è detto stella di v l le definizioni di sottografo e sottografo indotto di un grafo orientato sono analoghe a quelle date per i grafi non orientati

14 14 Grafi connessi e componenti connesse Dato G=(V,E) un nodo v V si dice connesso ad un nodo z V se esiste un cammino (orientato o non) tra v e z in G v V è connesso a v (riflessività) v V è connesso a z V z V è connesso a v V (simmetria) se v V è connesso a z V e z V è connesso a u V v V è connesso a u V (transitività)

15 15 l Linsieme V può essere partizionato in sottoinsiemi C i ={v V:v è connesso a z, z C i } l Il sottografo indotto da C i in G è detto componente connessa di G Se G possiede una sola componente connessa si dice connesso ( v,z V v è connesso a z) Esempio componenti connesse grafo connesso

16 16 Cammini e circuiti euleriani l Un cammino euleriano è un percorso che passa per ogni arco una sola volta l Un circuito euleriano è un cammino euleriano chiuso Esempio circuito euleriano

17 17 Alberi l Un grafo è aciclico se non contiene cicli (orientati o non) l Un albero è un grafo connesso ed aciclico l Ogni grafo aciclico è in generale lunione di alberi e viene detto foresta Esempio grafo aciclico (foresta) grafo non aciclico albero

18 18 Dato G=(V,E), le seguenti affermazioni sono equivalenti: l G è un albero l ogni coppia di nodi di G è connessa da un unico cammino G è aciclico e E = V -1 l G è aciclico e connettendo due nodi non adiacenti con un arco si ottiene un grafo con un unico ciclo G è connesso e E = V -1

19 19 Dato un albero T=(V,E), si dice foglia v V tale che (v) =1 Se V 2 allora esistono almeno due foglie foglie di un albero

20 20 Dato G=(V,E), si dice albero ricoprente (spanning tree) di G un albero T=(W,F) con W=V ed F E (è un sottografo di G) un albero ricoprente

21 21 Il Problema del Minimo Albero Ricoprente (Minimum Spanning Tree Problem) l Si considera un grafo G=(V,E) l Ad ogni arco e i, i=1,...,n di G è associato un costo c i, i=1,...,m Il problema: determinare lalbero ricoprente di G con il minimo costo associato. Esempio


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