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Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti Superiori Universitari Corso di Matematica A.A.2008/2009.

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Presentazione sul tema: "Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti Superiori Universitari Corso di Matematica A.A.2008/2009."— Transcript della presentazione:

1 Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti Superiori Universitari Corso di Matematica A.A.2008/2009 Docente Ing. Romina Martis

2 Indice 1. Il piano cartesiano (concetti generali) Assi cartesiani ortogonali Il piano cartesiano Coordinate cartesiane di un punto Condizioni di appartenenza di un punto Distanza tra due punti Punto medio Osservazioni 1Corso di Matematica11

3 Il piano cartesiano Corso di Matematica2

4 I luoghi geometrici nel piano cartesiano Un luogo geometrico è una linea del piano i cui punti godono di una particolare proprietà e tale che tutti i punti del piano che godono di quella proprietà giacciono sulla suddetta linea. Corso di Matematica3

5 Il piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo con x e y, orientate nel senso che stabiliamo un verso di percorrenza. Solitamente, disegniamo la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta y verticalmente e orientata dal basso verso l'alto. Corso di Matematica4

6 Assi cartesiani ortogonali Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine. Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi. In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y. Corso di Matematica5

7 Assi cartesiani ortogonali asse delle ascisse (o asse delle x) asse delle ordinate (o asse delle y) Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti(angoli di 90° gradi) detti quadranti. Corso di Matematica6

8 Assi cartesiani ortogonali Per convenzione, diremo I Quadrante quello formato dai due semiassi positivi(- ;0) (0;+ ). Il II, III e IV Quadrante seguiranno il primo in senso antiorario (cioè contrario a quello delle lancette dellorologio). Corso di Matematica7

9 Il piano cartesiano Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione. Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano, o che il piano è riferito a un sistema di assi cartesiani xOy, o che si è fissato un piano cartesiano. Corso di Matematica8

10 Il piano cartesiano Asse y o delle ordinate u II quadrante I quagrante Asse x o delle ascisse O=origine III quadrante IV quadrante Corso di Matematica9

11 Il piano cartesiano, segni Asse y o delle ordinate u II quadrante -,+ I quagrante +,+ O=origine Asse x o delle ascisse III quadrante -,- IV quadrante +,- Corso di Matematica10

12 Punti nel piano cartesiano L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0). I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0). I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0.y). Corso di Matematica11 y(ordinate) x(ascisse) K H P(x,y) O

13 Punti nel piano cartesiano A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. Corso di Matematica12

14 Coordinate cartesiane di un punto Per convenzione diremo che: lascissa di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in cui lasse delle ascisse è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela allasse delle ordinate. y x Corso di Matematica13

15 Coordinate cartesiane di un punto Per convenzione diremo che: lordinata di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in cui lasse delle ordinate è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela allasse delle ascisse. y x Corso di Matematica14

16 Coordinate cartesiane di un punto La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P. Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P. Corso di Matematica15

17 Condizione di appartenenza di un punto ad una curva Ricordando la definizione di luogo geometrico, risulta evidente che: Condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di coordinate date appartenga ad una curva è che le sue coordinate verifichino lequazione della funzione di cui la curva è il diagramma, cioè, sostituendo alla x lascissa e alla y lordinata del punto, sia verificata lequazione della funzione. Corso di Matematica16

18 Condizione di appartenenza di un punto ad una curva La suddetta condizione è sufficiente in quanto, se le coordinate del punto verificano lequazione della funzione, il punto appartiene alla curva; necessaria in quanto tutti i punti della curva verificano, mediante le loro coordinate, lequazione della funzione. Corso di Matematica17

19 Distanza tra due punti Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H si ottiene che: d(P,Q)= (x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 Corso di Matematica18 y(ordinate) x(ascisse) o y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 y 2 - y 1 x 2 - x 1 Q P H

20 Distanza tra due punti: casi particolari 1.I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |x 2 -x 1 |. 2.I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |y 2 -y 1 |. Corso di Matematica18 y(ordinate) x(ascisse) o y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 y 2 - y 1 x 2 - x 1 Q P H

21 Coordinate del punto medio di un segmento Corso di Matematica18 y(ordinate) x(ascisse) o y2y2 y1y1 x2x2 x1x1 y 2 - y 1 x 2 - x 1 Q P H 2 2 M M = ( X M ; Y M )

22 Coordinate del punto medio di un segmento lascissa del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ascisse dei suoi estremi X M =(x 1 +x 2 )/2 lordinata del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ordinate dei suoi estremi Y M = (y 1 +y 2 )/2 M =[(x 1 +x 2 )/2 ; (y 1 +y 2 )/2] Corso di Matematica21

23 OSSERVAZIONI In questa prima lezione della Geometria Analitica, ho ritenuto di dover trattare, sin dalla prima slide, il concetto di funzione e i luoghi geometrici partendo, naturalmente, dalla retta. Lo scopo della geometria analitica getta, se si può dire, un ponte tra lalgebra e la geometria piana facendo corrispondere allente algebrico lente geometrico e viceversa. Corso di Matematica22


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