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I poliedri. Abbiamo visto che i solidi si suddividono in… Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente da poligoni Solidi a superficie curva.

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Presentazione sul tema: "I poliedri. Abbiamo visto che i solidi si suddividono in… Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente da poligoni Solidi a superficie curva."— Transcript della presentazione:

1 I poliedri

2 Abbiamo visto che i solidi si suddividono in… Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente da poligoni Solidi a superficie curva se, la sua superficie è parzialmente curva

3 Poliedri regolari Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici

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5 I poliedri non regolari I prismi e le piramidi

6 Un prisma è Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base I poligoni di base danno il nome al prisma

7 Riconosci i prismi

8 Le parti di un prisma Faccia laterale Base Spigolo di base Spigolo laterale Altezza Linsieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE Linsieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb Linsieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE Diagonale

9 Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e laltezza non coincide con uno degli spigoli Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e laltezza coincide con uno degli spigoli Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce laterali sono rettangoli uguali fra loro).

10 Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una operazione chiamata sviluppo sul piano del solido e ci permette di capire come si calcola la misura dellarea di un solido Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene riportando su un piano le facce che lo compongono. Lo sviluppo di un solido consiste nel distendere su una superficie piana tutte le facce, laterali e di base, del solido. La superficie di un solido

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12 Osservando lo sviluppo sul piano del prisma ci accorgiamo che la superficie laterale del prisma coincide con il rettangolo ABCD. Questo rettangolo ha la base AB congruente al perimetro di base del prisma e laltezza AD congruente allaltezza del prisma. Superficie laterale e totale dei prismi A C B D

13 In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene moltiplicando il perimetro del poligono di base del prisma per laltezza: S l = p x h P= S l : h h = S l : p P.s. ricorda dire superficie o dire Area è la stessa cosa

14 Superficie totale La superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e dellarea delle due basi: S t = S l + 2A b Formule inverse S l = S t – 2A b A b = S t - S l

15 Nel risolvere i problemi di geometria solida ti suggerisco di disegnare, oltre al solido, anche il poligono di base solido poligono di base

16 Esempio un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che laltezza del prisma misura 20 cm, calcolane larea della superficie laterale e totale AB = AB= 7cm BC = BC = 4cm BB = 20 cm S l = p x h = P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm S l = 22 x 20 = 440 cm 2 S t = S l + 2 x A b = A b = b x h = 7 x4 = 28 cm 2 S t = x 28 = 496 cm 2

17 Il volume dei prismi Per comprendere la formula che ci permette di calcolare il volume di un prisma, consideriamo il caso di un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni di base di 4 cm e 6 cm e laltezza di 5 cm. Scegliamo come unità di misura il cm 3, calcolare il volume del parallelepipedo significa trovare quanti cubetti con lo spigolo da 1 cm 3, esso può contenere.

18 = 1 cm 3 6 cm 4 cm 5 cm 6 cm4 cm5 cm x = 24 cm x = 120cm 3 In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare larea del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per laltezza del prisma V = A base h da cui A base = V / h h = V/ A base

19 Avvertimento !!!!! Quando devi trovare il Volume dei solidi ricordati che devi stare attento allunità di misura Se V è inAllora P è inE Ps è in dm 3 KgKg/dm 3 cm 3 gg/cm 3 m3m3 tt/m 3

20 Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps) Quindi Ps = P/V Dalle formule inverse P = Ps x V V = P / Ps Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso specifico della sostanza

21 Un prisma particolare Il parallelepipedo È un prisma retto le cui basi sono dei parallelogrammi. Ovviamente anche le facce saranno dei parallelogrammi Nel parallelepipedo retto le diagonali sono quattro e si incontrano in un punto O che li divide a metà In generale per il calcolo dellArea laterale e totale del parallelepipedo valgono le stesse formule dei prismi A E D F I G B C O

22 il parallelepipedo rettangolo Se i poligoni di base sono dei rettangoli abbiamo il parallelepipedo rettangolo, tutte e 6 le facce sono quindi dei rettangoli a due a due congruenti e paralleli. I tre spigoli che escono da uno stesso vertice si chiamano dimensioni del parallelepipedo e sono lunghezza larghezza e altezza V = a b c a = V / bc b = V / ac c = V / a b a b c

23 S laterale = A base 4 = l 2 4 l = S totale = A base 6 = l 2 6 l = Il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti Nel caso del cubo, poiché le facce sono quadrati congruenti sarà sufficiente trovare larea di una faccia e moltiplicarla per 4 per avere larea della superficie laterale e per 6 per avere larea della superficie totale

24 Misura della diagonale di un parallelepipedo retto Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4 diagonali congruenti. C A E D F IG B a b c Consideriamo una diagonale e osserviamo il triangolo ACG. Poiché si tratta di un triangolo rettangolo e la diagonale è ipotenusa del triangolo, possiamo applicare il teorema di Pitagora. diagonale = Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC, AC = AC 2 + CG 2 AB 2 + BC 2 In definitiva la diagonale del parallelepipedo è …. AB 2 + BC 2 + CG 2

25 Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula. Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora Perché? Riflettiamoci insieme d = l La diagonale nel cubo 3 AB 2 + BC 2 + CG 2 l = d / 3 l 2 + l 2 + l 2 l 2 3 = =

26 Esercizio Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e laltezza è di 21 cm (29 cm) La diagonale di un parallelepipedo rettangolo misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura dellaltezza del prisma

27 La piramide

28 Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE faccia laterale

29 Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dellaltezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE

30 Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dellaltezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………………….. 6 isoscele

31 In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema ATTENZIONE!!!! Non confondere lapotema della piramide con lapotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza

32 Come avrai notato lapotema di una piramide coincide con lipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti laltezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta nel poligono. POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL TEOREMA DI PITAGORA PER TROVARE I TRE SEGMENTI? LO HAI NOTATO?!!!!? apotema altezza raggio

33 Trova lapotema di una piramide reqolare quadrangolare, che ha laltezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm) Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare alta 60 cm e con lapotema di 61 cm (22 cm) Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16 cm e lapotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo laterale. (17 cm)

34 Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie laterale è formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base. Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide). Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del poligono di base e per altezza lapotema della piramide.

35 Poiché larea del triangolo è A = (b h) : 2 la superficie laterale è S l = (2p a) : 2 da cui 2p = (2 S l ) : a a = (2 S l ) : 2p La superficie totale si trova come nei prismi

36 Il volume della piramide Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un esperimento. Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa altezza. Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma. Che cosa noti? Poiché il volume del prisma si ottiene V = A base h Il volume della piramide è V = (A base h) : 3


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