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di quelle che sono in quanto sono, di quelle che non sono in quanto non sono. (Protagora) Luomo è la misura di tutte le cose:

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Presentazione sul tema: "di quelle che sono in quanto sono, di quelle che non sono in quanto non sono. (Protagora) Luomo è la misura di tutte le cose:"— Transcript della presentazione:

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2 di quelle che sono in quanto sono, di quelle che non sono in quanto non sono. (Protagora) Luomo è la misura di tutte le cose:

3 Argomenti trattati a scuola negli incontri del laboratorio Teoria della misura Determinazione di aree mediante utilizzo della bilancia ed il Teorema di Pick Calcolo di aree mediante quadrettatura Ricerca storica sulle origini della teoria della misura e sulla sua evoluzione nel corso dei secoli Determinazione dellarea del segmento parabolico mediante metodo meccanico di Archimede e metodo di Esaustione Tassellazioni del piano

4 … Eudosso ed il metodo di esaustione Archimede ed il metodo meccanico Cavalieri e gli indivisibili La misura nella fisica moderna Concetto di misura Determinazione di aree mediante utilizzo della bilancia

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6 Cenni biografici Il matematico e astronomo greco Eudosso nacque a Cnido tra il 408 e il 406 a. C. Egli fu una figura fondamentale nello sviluppo della matematica e dellastronomia greca. Fu inizialmente allievo di Platone e poi di Archita di Taranto, da cui fu avviato allo studio del problema della duplicazione del cubo, dei numeri interi e della teoria della musica

7 Metodo di Esaustione Se gli antichi geometri avevano solo suggerito lidea che il cerchio (come le altre figure curvilinee) potesse essere esaurito o colmato da poligoni regolari iscritti intuendo soltanto il concetto di passaggio al limite, Eudosso per la prima volta rende rigoroso il procedimento evitando di ricorrere al concetto di limite stesso. Egli infatti si proponeva di riempire o esaurire (da qui deriva il nome del metodo) larea del cerchio, inscrivendolo e circoscrivendolo con delle figure note tale che larea della figura curvilinea risultasse essere compresa tra larea dei poligoni interni e larea di quelli esterni.

8 Tale metodo fu fondamentale e permise ad Archimede di effettuare, ad esempio, il calcolo dellarea di un segmento parabolico. In termini moderni il metodo di esaustione viene ancora utilizzato nel calcolo integrale, anche se oggigiorno non lo si chiama più «metodo di esaustione di Eudosso», ma più semplicemente calcolo dellintegrale. Il calcolo infinitesimale sposta il suo campo dazione dalla geometria allanalisi.

9 Eudosso, più di 2000 anni fa, fu il primo a sviluppare un calcolo che può definirsi, quindi, la chiave dellanalisi infinitesimale che ebbe il suo completo sviluppo solo con Sir Isaac Newton nel 1600.

10 « Summis ingeniis dux et magister fuit » « Dei più alti ingegni fu guida e maestro » J.L. HeibergJ.L. Heiberg

11 Cominciò così … Archimede, più che essere matematico, fisico e ingegnere, è stato il massimo esponente di una scienza che ignorava le divisioni che l'odierna terminologia spinge a considerare inevitabili. L'opera di Archimede che rappresenta il culmine della scienza antica è il Metodo Meccanico: una lettera scritta da Archimede al suo amico Eratostene, il cui scopo è quello di illustrare il metodo utilizzato da Archimede per scoprire le formule che poi avrebbe dimostrato mediante il metodo di esaustione.

12 Il Metodo Per stupire lamico con la potenza del suo metodo, Archimede gli preannuncia che al termine della sua lettera avrà dimostrato i seguenti due difficili teoremi: DEFINIZIONE. Lunghia cilindrica è quella parte di cilindro che viene staccata tagliando il cilindro stesso con un piano individuato dal centro di una base e da una retta tangente al cerchio che costituisce la base opposta. TEOREMA 1. Sia data ununghia cilindrica il cui cilindro generatore è inscritto in un prisma retto a basi quadrate: il volume di tale unghia è 1/6 del prisma. TEOREMA 2. In un cubo si inscriva un cilindro avente basi inscritte in due quadrati di base opposti e nello stesso cubo si inscriva un secondo cilindro avente basi inscritte in altri due quadrati opposti: il solido comune ai due cilindri è i 2/3 del cubo.

13 Archimede ha utilizzato il metodo meccanico, in particolare, per il calcolo dellarea di un segmento parabolico. DEFINIZIONE. Un segmento parabolico è una regione di piano compresa tra una corda della parabola e larco congiungente i due estremi della corda. PROPOSIZIONE. Larea di un segmento di parabola è i 4/3 dellarea del triangolo inscritto nel segmento ed avente la stessa base e la stessa altezza del segmento.

14 In realtà il risultato difficile ottenuto da Archimede è che larea del segmento di parabola è 1/3 dellarea del triangolo avente come lati: la corda, un secondo lato sulla retta parallela allasse della parabola per uno dei due estremi dellarco e un terzo lato sulla retta tangente alla parabola nellaltro estremo. Di questo problema Archimede ha dato varie dimostrazioni: una di natura intuitiva basata sul teorema della leva, che serviva ad Archimede per avere una idea euristica sul risultato, e altre due assolutamente rigorose basate sul metodo di esaustione.

15 La distribuzione di pesi definita dal triangolo OAB è equivalente alla distribuzione che ha tutto il peso concentrato nel punto K per il quale OK : OA = 1 : 3 ma OA =OC = a dunque, per il teorema della leva, tutto il peso applicato in C sta al peso del triangolo applicato in K come OK sta a OC. Ma il rapporto tra i pesi è uguale al rapporto tra le aree e quindi: Area Parabola : Area triangolo = 1 : 3

16 Bonaventura cavalieri ( ), allievo di Galileo e professore in un liceo di Bologna, fu influenzato da Keplero e da Galileo e spinto da questultimo a occuparsi dei problemi del calcolo infinitesimale. Cavalieri sviluppò le idee di Galileo e di altri sugli indivisibili incorporandole in un metodo geometrico e pubblicò unopera sullargomento intitolata geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635).

17 Perché lo ricordiamo? …ah forse per il metodo degli Indivisibili??! Egli considera unarea come costituita da un numero indefinito di segmenti paralleli equidistanti e un volume come composto da un numero indefinito di aree piane parallele; questi elementi sono detti rispettivamente indivisibili di area e di volume. Cavalieri si rende conto che il numero di indivisibili che costituiscono unarea o un volume deve essere indefinitamente grande, ma non cerca di approfondire questo fatto. In parole semplici, gli indivisibilisti sostenevano, come dice Cavalieri nelle sue Exercitationes geometricae sex (1647), che una retta è composta da punti come un rosario da grani; che un piano è composto da rette come una stoffa da fili e che un volume è composto da aree piane come un libro da pagine. Essi ammettevano tuttavia che gli elementi costituenti fossero in numero infinito.

18 Il metodo o principio di Cavalieri è illustrato dalla seguente proposizione, che può naturalmente essere dimostrata in altri modi. Per provare che il parallelogramma ABCD ha area doppia di quelle dei triangoli ABD o BCD, Cavalieri osservava che, se GD = BE, allora GH = FE. I triangoli ABD e BCD sono perciò composti da un numero uguale di segmenti uguali come GH ed EF e devono perciò avere aree uguali.

19 Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto." Lo stesso principio è incorporato nella proposizione nota oggi con il nome di: Teorema di Cavalieri

20 Gli indivisibili di Cavalieri furono criticati dai suoi contemporanei e Cavalieri tentò di rispondere alle critiche, senza però essere in possesso di una giustificazione rigorosa. A volte sosteneva che il suo era soltanto un metodo pragmatico per evitare di far ricorso al metodo di esaustione. Nonostante le critiche, il metodo degli indivisibili venne applicato intensivamente da molti matematici. Altri, come Fermat, Pascal e Roberval, si servirono del metodo e anche dello stesso suo linguaggio adoperando espressioni come la somma delle ordinate, ma pensavano allarea come a una somma di rettangoli infinitamente piccoli piuttosto che come a una somma di segmenti.

21 W. HEISENBERG ( )E SCHRODINGER ( )

22 Meccanica quantistica La meccanica quantistica è una teoria fisica che si è sviluppata e consolidata nella prima metà del XX secolo, per supplire all'inadeguatezza della meccanica classica relativa alla descrizione del moto delle particelle costituenti la materia.

23 La meccanica quantistica si distingue in maniera radicale dalla meccanica classica in quanto si limita a esprimere la probabilità di ottenere un dato risultato a partire da una certa misurazione, rinunciando così al determinismo assoluto proprio della fisica precedente. Questa condizione di incertezza o indeterminazione non è dovuta a una conoscenza incompleta da parte dello sperimentatore dello stato in cui si trova il sistema fisico osservato, ma è da considerarsi una caratteristica intrinseca, quindi ineliminabile, del sistema e del mondo subatomico in generale.

24 Il paradosso della misura In meccanica quantistica il comportamento di una particella è espresso in termini di funzione donda, e la sua evoluzione nel tempo è descritta perfettamente dallequazione di Schrödinger. Tuttavia, nel momento in cui cerchiamo di misurare la posizione, la quantità di moto o qualunque altra grandezza fisica relativa alla particella, ne perturbiamo il moto. Così facendo, lequazione di Schrödinger non vale più e non siamo più in grado di descrivere il moto della particella.

25 Principio di indeterminazione Il fisico Werner Heisenberg formulò un principio, noto come principio di indeterminazione, il quale afferma che lincertezza sulla posizione di una particella e quella sulla sua quantità di moto sono inversamente proporzionali. Ciò vuol dire che esistono coppie di variabili (dette tra loro coniugate), come posizione e impulso di una particella, il cui valore non può essere neanche in linea di principio conosciuto simultaneamente con precisione arbitraria, indipendentemente dall'accuratezza sperimentale con cui vengono effettuate le misure.

26 Paradosso EPR Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen (paradosso EPR) è un esperimento mentale che dimostra come una misura eseguita su una parte di un sistema quantistico possa propagare istantaneamente (interpretazione di Copenhagen) un effetto sul risultato di un'altra misura, eseguita successivamente su unaltra parte dello stesso sistema quantistico, indipendentemente dalla distanza che separa le due parti. Il paradosso EPR si basa su un fenomeno predetto dalla meccanica quantistica, conosciuto come entanglement quantistico, per mostrare che misure compiute su parti di un sistema fisico separate spazialmente possono avere in apparenza un'influenza istantanea l'una sull'altra.

27 Immaginiamo un sistema, di cui sia nota la quantità di moto p, formato da due atomi. Nel momento in cui questi due atomi si separano, deve essere rispettata ovviamente la legge di conservazione della quantità di moto p1+p2=p. Immagino, dunque, di misurare la quantità di moto p1 della particella 1 con precisione infinita (lo posso fare purché la precisione con cui misuro la sua posizione sia nulla, poiché in questo caso il prodotto fra le incertezze è indeterminato). Allo stesso modo immagino di misurare con precisione infinita la posizione della particella 2. Ci troviamo di fronte ad un paradosso: infatti conosco con incertezza zero la posizione della particella 2, ma allo stesso tempo anche la sua quantità di moto, essendo questa uguale a p-p1. LUNICO MODO PER RISOLVERE IL PARADOSSO E IMMAGINARE CHE QUANDO MISURO P1, ISTANTANEAMENTE PERDO QUALSIASI INFORMAZIONE SULLA PARTICELLA 2.

28 Un mondo da misurare Ecco i metodi da utilizzare…

29 Come cominciare… …Misurare significa confrontare la grandezza incognita con una grandezza omogenea con essa scelta come unità di misura

30 Si definisce misura di A, il rapporto : a= A/U dove a è il valore della misura, A è la grandezza da misurare, U è lunità di misura. Stabilite due unità di misura diverse Ua e Ub, la misura della grandezza A, riferita alle due unità è : a =A/Ua a=A/Ub Otterremo quindi dei valori differenti a seconda dellunità di misura utilizzata. Tuttavia è possibile introdurre un fattore di conversione, mediante il quale è possibile passare da ununità di misura allaltra. a= a Ua/Ub a=ak dove k=Ua/Ub è il fattore di conversione

31 Bisogna però notare che nelleffettuare il passaggio da ununità di misura ad unaltra nel caso delle aree il fattore di conversione dovrà essere elevato al quadrato (k²) in quanto larea è il prodotto tra i lati…(e quindi tra 2 misure lineari)… Per estensione del concetto il coefficiente relativo al volume dovrà essere elevato al cubo (k³)… K²=Ua²/Ub²

32 È possibile misurare in due differenti modi.. Direttamente Mediante il confronto diretto tra loggetto e lunità di misura Indirettamente Attraverso dei calcoli matematici, come nel caso del calcolo dellarea di un rettangolo mediante il prodotto delle misure dei lati.

33 Quando si effettua una misurazione bisogna tener sempre conto dellerrore (ottenere una misura infinitamente precisa è infatti impossibile)). Generalmente si assume come errore la grandezza minima che lo strumento utilizzato riesce a misurare.

34 Propagazione degli errori Lerrore sulla somma o differenza di 2 misure è dato dalla somma dei 2 errori assoluti : Δ(a+b)=Δa+Δb Lerrore relativo su una misura è dato dal rapporto tra lerrore assoluto e la misura stessa… Quindi lerrore relativo(ε) su un prodotto è dato dalla somma degli errori relativi: ε (ab)=ε(a)+ε(b)

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36 Misura dellarea di una figura attraverso la massa E possibile calcolare larea di una figura sfruttando la massa? La risposta è sì, sfruttando la relazione tra la massa e la densità di due figure: un quadrato regolare, preso come unità campione, e una figura irregolare. Massa= volume densità m=V d Volume= Area spessore V=A s quindi, massa=d A s Avendo preso in esame figure della stessa densità e spessore, la quantità d s è una costante. Indicando con m ed mq ed A ed Aq rispettivamente le masse e le Aree delloggetto incognito e del quadrato campione, si ottiene: m =kA mq= kAq da qui: m/A=mq/Aq A=(Aq/mq)m

37 Utilizzo della bilancia elettronica Per calcolare, quindi, larea di una figura irregolare è necessario conoscerne la massa. A=(Aq/mq)m Per determinare le masse possiamo utilizzare la bilancia elettronica.

38 Utilizzo della bilancia a bracci uguali Per determinare larea, in funzione della massa, possiamo utilizzare anche la bilancia a bracci uguali. Sfruttando questo strumento, bisogna usare il concetto di momento e di leva. Nella bilancia a bracci uguali vale la relazione: F 1 b 1 = F 2 b 2 dove F indica la forza peso esercitata dalla massa e b il braccio. Poiché i bracci sono uguali la relazione diventa: F 1 =F 2 Per trovare larea della figura sconosciuta la poniamo sul primo piatto mentre sul secondo si pongono tante figure campione, di cui è nota larea, fino a raggiungere una condizione di equilibrio.

39 Di conseguenza, essendo larea direttamente proporzionale alla massa, larea della figura irregolare è uguale alla somma delle aree delle figure campione utilizzate.


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