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1.SStoria del piano Cartesiano 2.EElementi del piano Cartesiano 3.LLe funzioni 4.LLa retta nel piano Cartesiano 5.LLa parabolaINDICE.

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3 1.SStoria del piano Cartesiano 2.EElementi del piano Cartesiano 3.LLe funzioni 4.LLa retta nel piano Cartesiano 5.LLa parabolaINDICE

4 1. S SS S tttt oooo rrrr iiii aaaa d d d d eeee llll p p p p iiii aaaa nnnn oooo C C C C aaaa rrrr tttt eeee ssss iiii aaaa nnnn oooo Euclide Opere Teoremi ed Assiomi Dal piano Euclideo al piano Cartesiano Cartesio Opere

5 2. E EE E llll eeee mmmm eeee nnnn tttt iiii d d d d eeee llll p p p p iiii aaaa nnnn oooo C C C C aaaa rrrr tttt eeee ssss iiii aaaa nnnn oooo Origine degli assi Quadranti Coordinate di un punto Segmenti Rette

6 3. L LL L eeee f f f f uuuu nnnn zzzz iiii oooo nnnn iiii Definizione di funzione Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano Cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

7 4. L LL L aaaa r r r r eeee tttt tttt aaaa n n n n eeee llll p p p p iiii aaaa nnnn oooo C C C C aaaa rrrr tttt eeee ssss iiii aaaa nnnn oooo Definizione retta Equazione retta (forma implicita e forma esplicita) Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

8 5. P PP P aaaa rrrr aaaa bbbb oooo llll aaaa Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

9 IL PIANO CARTESIANO...e la sua storia Cardellini Mattia Masetti Giovanni De Luca Lorenzo Morelli Davide

10 Le origini del piano Cartesiano Il piano Euclideo

11 SOMMARIO EUCLIDEEUCLIDEEUCLIDE OpereOpereOpere Teoremi ed AssiomiTeoremi ed AssiomiTeoremi ed AssiomiTeoremi ed Assiomi Dal piano Euclideo al piano CartesianoDal piano Euclideo al piano CartesianoDal piano Euclideo al piano CartesianoDal piano Euclideo al piano Cartesiano CARTESIOCARTESIOCARTESIO OpereOpereOpere

12 Euclide Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C. Fu un matematico in Grecia. Una minoranza di storici dubita della sua esistenza. Dallaneddoto in Geometria non esistono vie regie si intuisce il carattere riservato e rigoroso. Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.

13 Opere di Euclide Elementi di geometria (13 libri). Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica. I fenomeni, trattato astronomico. Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.

14 E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque. E' sempre possibile prolungare una linea retta. E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque. Assiomi e teoremi di Euclide AB H C D E K

15 Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti. Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto. µ α β µ=α=β=90° A r p

16 In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dellipotenusa. AB C H AH:AC=AC:AB DKE F DK:FK=FK:KE

17 IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi Il punto La retta Semiretta e segmento Langolo P r R A B V

18 A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo? Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali lestremo superiore dellultimo corrisponde allestremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati: Triangoli (tre lati) Quadrilateri (quattro lati) Pentagoni (cinque lati) E così via…

19 Ma... Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento? Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano

20 CARTESIO Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare. Fu un matematico e filosofo francese Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius. Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.

21 Opere di Cartesio Discorso sul metodo Meditationes de prima Philosophia Principia Philosophiae Compendium musicae Trattato delle passioni Cogito, ergo sum

22 Elementi del piano cartesiano Creato da: Bartolucci Filippo Bartolucci Filippo Costantini Giacomo Mattioli Giacomo Mattioli Giacomo Sanchini Pierpaolo Sanchini Pierpaolo

23 Il Piano Cartesiano Si può introdurre il piano cartesiano come sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali.

24 Tra le due rette si distingue lasse delle ascisse o a a a a a ssss ssss eeee d d d d eeee llll llll eeee x x x x(retta orizzontale) e lasse delle ordinate o a a a a a ssss ssss eeee d d d d eeee llll llll eeee y y y y(retta verticale).

25 Elementi del piano cartesiano Origine degli assi Origine degli assi Origine degli assi Origine degli assi Quadranti Quadranti Quadranti Coordinate di un punto Coordinate di un punto Coordinate di un punto Coordinate di un punto Segmenti Segmenti Segmenti Rette Rette Rette

26 Origine degli assi Una retta si dice orientata o asse quando su di essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura u.

27 Quadranti Quadranti Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario: 1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive; 2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva; 3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine; 4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.

28 Coordinate di un punto A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P. Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.

29 Lunghezza di un segmento Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente formula: Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente formula: AB = (x a -x b ) 2 + (y a -y b ) 2 B A

30 Punto medio di un segmento Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la seguente formula: Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la seguente formula: A (X a,, y a ) B (x b, y b ) x m = x a +x b 2 y m = y a +y b 2

31 Rette A A ssss ssss eeee x x x x e e e e p p p p aaaa rrrr aaaa llll llll eeee llll eeee A ssss ssss eeee y y y y e e e e p p p p aaaa rrrr aaaa llll llll eeee llll eeee B B iiii ssss eeee tttt tttt rrrr iiii cccc eeee d d d d eeee llll I I I I °°°° e e e e I I I I IIII IIII °°°° q q q q uuuu aaaa dddd rrrr aaaa nnnn tttt eeee B iiii ssss eeee tttt tttt rrrr iiii cccc eeee d d d d eeee llll I I I I IIII °°°° e e e e I I I I VVVV °°°° q q q q uuuu aaaa dddd rrrr aaaa nnnn tttt eeee Allinterno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà):

32 Asse x Lasse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dallasse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sullasse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).

33 Parallele allasse x Le rette parallele allasse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dallasse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :

34 Asse y Lasse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dallasse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sullasse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).

35 Parallele allasse y Le rette parallele allasse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dallasse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :

36 Bisettrice del 1° e 3° quadrante: L equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dellangolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.ascissa ordinata

37 Bisettrice del 2° e 4° quadrante Lequazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dellangolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.ascissa ordinata

38 Ascissa del punto: distanza assoluta del punto dallasse delle ordinate. dallasse delle ordinate. Ordinata del punto: distanza assoluta del punto dallasse delle ascisse. dallasse delle ascisse.

39 Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Nicolini

40 Argomenti trattati Definizione di funzione Rappresentazione di una funzione Funzione sul piano cartesiano Classificazione delle funzioni Riepilogo

41 Definizione di funzione Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y. X Variabile indipendente Y Variabile dipendente

42 Rappresentazione di una funzione FORMA IMPLICITA F(x,y) = 0 FORMA ESPLICITA y = F(x) Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicita

43 x x1x2x3x1x2x3 y1y2y3y1y2y3 y Funzione sul piano cartesiano Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra. y = F (x) A(x 1, y 1 ) B(x 2, y 2 ) C(x 3, y 3 ) Riportiamo i valori sul grafico y x

44 Classificazione delle funzioni Funzioni algebricheFunzioni trascendenti Una funzione trascendente è una funzione non algebrica. Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre ad unequazione algebrica di grado qualsiasi nelle due incognite x e y.

45 Le funzioni algebriche Si classificano in: Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali

46 Funzioni razionali intere Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA Funzioni di grado superiore al primo Funzione di secondo grado È rappresentato da una PARABOLA Funzione di grado superiore al secondo È rappresentata da una CURVA Funzioni di primo grado

47 Funzioni razionali fratte La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x. Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli zeri del denominatore.

48 Funzioni irrazionali Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y. Una funzione irrazionale è del tipo dove g(x) è una funzione razionale definita nellinsieme dei numeri reali. Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.

49 se n è dispari allora il dominio della funzione appartiene allinsieme dei numeri irrazionali. se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la funzione Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte. Il dominio della funzione irrazionale può essere:

50 Le funzioni trascendenti Si classificano in: Funzioni goniometriche Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali

51 Riepilogo Funzioni Algebriche Razionali IntereFratte Irrazionali Trascendenti LogaritmicheGoniometricheEsponenziali

52 La retta nel piano cartesiano

53 Indice: Definizione rettaDefinizione Rappresentazione di una rettaRappresentazione Equazione retta (forma implicita e forma esplicita)Equazione Rette incidenti Rette parallele Situazioni problematiche

54 Definizione di retta La retta è una funzione algebrica razionale, intera di primo grado. indice

55 Rappresentazione di una retta r) y=mx+q x y a m*a+q=b P(a, b) c m*c+q=d Z (c, d) Si riportano i P e Z sul piano cartesiano e si uniscono trovando la retta dellequazione data. P Z r ac b d indice

56 Equazione della retta coefficiente angolare m=-a/b Intercetta q=-c/b Forma esplicita: y=mx+q Forma implicita: ax+by+c=0 indice

57 Coefficiente angolare Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. Se m<0 Se m>0 l angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso. langolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto. Se m=0 m=0 langolo non esiste e la retta è parallela allasse x. indice

58 m<0 y= - 1/3 x+q m= -1/3 -1/3 <0 langolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso indice

59 m>0 y=4x+q m=4 4>0 langolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto y=4x+q indice

60 m=0 y=0x+q y=q langolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse non esiste poiché la retta è parallela allasse x rQ indice

61 Intercetta Lintercetta è lordinata del punto di intersezione della retta con lasse y. Se q=0 la retta passa per lorigine degli assi Se q0 la retta interseca lasse y in q indice

62 Rette incidenti Due rette sono incidenti se si incontrano in un punto. Rette perpendicolari. s indice

63 Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se incidendosi formano 4 angoli retti. s r s) y=m 1 x-1 r) y=m 2 x+1 indice Se r) s)m1*m2 =-1 v m1=-1/m2

64 Rette parallele Due rette sono parallele quando hanno uguali coefficienti angolari. r) // s) m 1 =m 2 r s r) y=m 1 x+1 s) y=m 2 +3 indice

65 Situazioni problematiche Come trovare il punto di intersezione fra due rette.punto di intersezione Come trovare lequazione di una retta passante per due punti.lequazione di una retta indice

66 Punto di intersezione tra due rette Per trovare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il sistema fra le equazioni delle due rette r) y=m 1 x+q 1 x=x p s) y=m 2 +q 2 y=y p r s P indice

67 Lequazione di una retta passante per due punti Per trovare lequazione di una retta passante per due punti bisogna trovare il coefficiente numerico e lintercetta dellequazione della retta risolvendo il seguente sistema: ya = mx a + q m yb = mx b + q q xa è lascissa del punto A ya è lordinata del punto A xb è lascissa del punto B yb è lordinata del punto B A B indice

68 La Parabola La Parabola Mariana De Biagi Laura Di Lena Martina Tombari Federica Ugolini

69 Introduzione Definizione Forma tipica Rappresentazione grafica Parabole particolari Studio del segno Parabola e disequazioni di 2° grado

70 F(x) Espressione algebrica in x intera: lincognita si trova solo al numeratore fratta: lincognita si trova solo o anche al denominatore irrazionale: lincognita si trova sotto il segno di radice Lineare o di primo grado: RETTA Y=mx+q m,q Di secondo grado: PARABOLA Introduzione

71 Definizione La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE Non ci soffermeremo sulla definizione di fuoco e direttrice per analizzare in modo più approfondito altri aspetti della parabola

72 Forma Tipica STUDIO dei COEFFICIENTI: >0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle ordinate. a <0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle ordinate ci consente di conoscere l ll lasse di simmetria della parabola ordinata del punto di intersezione della parabola con lasse y Asse di Simmetria (nella parabola): retta che divide la parabola in due rami simmetrici b c

73 Rappresentazione Grafica Data una funzione del tipo: >0 a <0 P(0,c) Punti di intersezione con lasse x: Equazione dellasse x sostituzione Equazione risolvente 1) 2) c 3)

74 y=2x 2 +3x-2 1)a=2>0 2)c=-2 P(0,-2) 3) y=2x 2 +3x-2 2x 2 +3x-2=0 y=0 =-2 =½ x y 0Esempio -2 ½

75 Parabole Particolari Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari: 1.y=ax 2 la parabola avrà il vertice coincidente con lorigine degli assi

76 2.y= ax 2 +bx La parabola avrà un punto di intersezione con lasse x coincidente con lorigine degli assi

77 3. y= ax 2 +bx+c dove il trinomio ax 2 +bx+c è un quadrato perfetto. La parabola avrà allora un solo punto in comune con lasse x

78 Studio del segno Data una funzione del tipo: Il trinomio ax 2 +bx+c assume valori diversi al variare della x: >0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sopra lasse x y>0 =0 prenderemo in considerazione i valori sullasse x, ovvero x 1 e x 2. y=0 <0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sotto lasse x y<0 Di conseguenza possiamo dire che: ax 2 +bx+c>0 ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx+c<0 ax 2 +bx+c disequazioni

79 Parabola e disequazioni di 2° grado Data una disequazione di secondo grado del tipo: ax 2 + bx + c >0 1.Prendiamo la parabola associata: y= ax 2 + bx + c 2.Disegniamo la relativa parabola 3.In base al segno richiesto dal testo della disequazione prendiamo in considerazione i rami di parabola 4.Troviamo gli intervalli richiesti

80 Esempio 2x 2 +3x-2>0 1) y=2x 2 +3x-2 2) a=2>0 U c=-2 P(0,-2) y=2x 2 +3x-2 y=0 x 1 =-2 x 2 =½ x 0 y -2 ½ 3) Il segno è > quindi prendiamo in considerazione i rami di parabola sopra lasse x 4) I valori di x che determinano tali rami appartengono agli intervalli: x<-2 V x> ½ 2x 2 +3x-2=0


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