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Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Gli stati della materia: solidi liquidi e gas 2)Volume e.

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2 Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Gli stati della materia: solidi liquidi e gas 2)Volume e Densità 3)La Pressione 4)Fluidi nel campo della gravità: legge di Stevino 5)Principio dei vasi comunicanti, Principio di Pascal e Principio di Archimede 6)Punto di vista Lagrangiano ed Euleriano 7)Moti laminari e turbolenti 8)Numero di Reynolds e viscosità 9)Equazione di Bernoulli 10)Equazione di Poiseuille *Data la compattezza del corso non è possibile un approfondimento dei concetti. Gli studenti sono indirizzati al corso di Idraulica (II anno) Parte VIII: Cenni di Meccanica dei fluidi*

3 Noi oggi sappiamo che la materia è costituita da atomi, e che a loro volta gli atomi sono costituiti da nuclei, carichi positivamente e nei quali è concentrata praticamente tutta la massa dellatomo, mentre gli elettroni, carichi negativamente e molto più leggeri, sono distribuiti intorno ai nuclei. Gli atomi, grazie alle proprietà degli elettroni, posso legarsi fra loro, dando vita a molecole ed a forme di aggregazione piuttosto complicate, come, ad esempio, i solidi Le dimensioni lineari degli atomi sono moto piccole, dellordine di m Questo comporta che il volume occupato da un atomo è dellordine di m 3 Allora in un pezzetto di materia lungo m, il cui volume è m 3 conterrà un numero di atomi pari a Gli stati di aggregazione della materia

4 In realtà questa è la situazione dei solidi e dei liquidi, per i quali la densità volumica del numero di atomi è abbastanza elevata Il seguente grafico della energia di interazione di un atomo messo nellorigine con un altro posto alla distanza r ci fa capire come due atomi si attirino (debolmente) quando sono lontani e si respingano (fortemente) quando sono troppo vicini Distanza di equilibrio

5 La materia quindi si trova in uno stato condensato quando gli atomi, ovvero i loro nuclei, stanno a determinate distanze (dette di equilibrio) Normalmente accade però che gli atomi o le molecole si muovano. Se tali moti sono essenzialmente vibrazioni attorno alle posizioni di equilibrio normalmente lo stato di aggregazione è lo stato solido. La caratteristica principale dello stato solido è il possedere una forma propria. Questultima affermazione significa che il sistema fisico è in grado di resistere ai cosiddetti sforzi di taglio Un solido può deformarsi un po sotto uno sforzo di taglio, magari la deformazione può essere plastica (invece che elastica) e permanente, magari può pure spezzarsi, ma se prendiamo un sbarra di acciaio e la facciamo sporgere dal tavolo non si piega e non cade

6 Può accadere, però, che le molecole possano traslare e muoversi indipendentemente. In tal caso accade che una molecola si allontani dalla sua posizione di equilibrio, ma in brevissimi istanti (10 -6 secondi), essa può essere sostituita da unaltra quasi nella stessa posizione. Ciò fa sì che mediamente ci sia sempre una molecola ad una distanza di equilibrio, benché quasi mai la stessa molecola. Questo è possibile solo se lattrazione fra gli atomi è ben più debole che nei solidi, e, quindi, è molto più facile tagliare questi sistemi: i fluidi Vedremo presto che i fluidi vanno distinti in gas e liquidi, i primi sono fluidi comprimibili mentre i secondi sono incomprimibili Per qualunque di questi mezzi, tuttavia, un pezzetto di materia piccolo sulla scala macroscopica (10 -8 m) è comunque costituito da un enorme numero di molecole o atomi e lo studio della sua evoluzione spazio-temporale non può effettuarsi mediante la II legge di Newton: posto di conoscere le forze risultanti su ciascuna molecola in ogni istante si dovrebbero risolvere sistemi di milioni di equazioni differenziali in milioni di funzioni incognite

7 Una prima approssimazione che si fa in Fisica Classica per studiare le proprietà fisiche di sistemi così complicati è di pensare la materia (solida, liquida e gassosa) come continua Ciò è giustificato dal fatto che le distanze interatomiche sono, come abbiamo visto, molto più piccole delle scale di distanze cui siamo normalmente interessati se ci interessano le proprietà macroscopiche di un sistema fisico. Assumere che la materia sia continua comporta il pensare che la massa sia distribuita in maniera continua. Questo vuol dire che possiamo sempre pensare di dividere un dato volume macroscopico di materia in tanti volumetti infinitesimi e scoprire che in esso vi è contenuta una quantità di massa infinitesima Massa totale Il Volume e la Densità

8 Ciò consente di introdurre la densità di massa, ovvero la quantità di massa per unità di volume, come il seguente campo scalare La densità di massa è una grandezza fisica intensiva (non dipende dalla estensione) ed è un campo poiché indica una corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio (x,y,z) ed il tempo t, ed i valori assunti dalla densità in quel punto in quellistante. Spesso accade che la distribuzione di massa sia uniforme, quindi la densità assume sempre lo stesso valore (la densità media) in tutti i punti del corpo. Se ciò accade si dice che il corpo è omogeneo. Considerare la densità una funzione del punto consente di studiare i sistemi disomogenei. Spesso accade pure che la densità sia costante al variare del tempo (per un mezzo disomogeneo ciò significa che la densità è diversa punto per punto, ma i diversi valori assunti in ogni punto siano costanti nel tempo). Un tale mezzo è incomprimibile ed è caratterizzato matematicamente dal fatto che la densità non dipende esplicitamente dal tempo

9 Si pensi ad un palloncino. Possiamo pensare di comprimerlo, ovvero di ridurne il volume: siccome la quantità di massa in esso contenuta non fuoriesce, la densità deve aumentare. I gas sono dunque fluidi comprimibili: la densità può cambiare nel tempo. Ma se il palloncino fosse pieno dacqua non sarebbe affatto facile comprimerlo: se ne potrebbe cambiare facilmente la forma, ma non il volume totale I liquidi sono quindi caratterizzati dalla incompressibilità, ovvero la loro densità non dipende esplicitamente dal tempo (in realtà la compressibilità di un liquido è piccola ma non è nulla). Il volume e la densità sono due proprietà macroscopiche di un sistema fisico, e la loro conoscenza è necessaria se vogliamo descrivere (macroscopicamente) il comportamento della materia Esistono molte altre variabili macroscopiche, la cui conoscenza può aiutarci nello studio dei sistemi materiali

10 Se nuotando sottacqua scendessimo troppo in profondità sentitremmo del dolore ai timpani Tuttavia se prendessimo un delicatissimo calice di cristallo di Boemia e lo tenessimo sottacqua esso non si romperebbe La prima osservazione dice che lacqua (e così tutti i liquidi) trasmette delle forze. La seconda evidentemente prova che tali forze devono in qualche modo bilanciarsi (altrimenti il bicchiere si romperebbe). Nel caso dellacqua, visto che i liquidi sono dotati di massa, le forze che vengono esercitate sono evidentemente dovute alla gravità, ma non è chiaro dove esse si applichino Nel caso del palloncino gonfio, non è immediatamente evidente quali sono le forze che consentono alla plastica di dilatarsi ed al palloncino di assumere la propria forma. Anche in questo caso non è molto significativo in quali punti della parete tali forze sono applicate La Pressione

11 È invece importante comprendere che le forze che esercita un fluido si applicano su superfici La pressione è proprio definita come la forza per unità di superficie: Vedremo che nel caso del palloncino la pressione è il risultato dei tantissimi urti che le molecole del gas esercitano sulle pareti. Anche la pressione, dunque, è una variabile macroscopica La pressione si può misurare in diverse unità di misura: 1)1 Pascal=1Newton/m 2 (MKS) 2)1 bar= 10 5 Pascal 3)1 Atmosfera= pressione dellaria a livello del mare= bar=1013 millibar 4)1 Atmosfera= 760 Torr= 760 mm di mercurio

12 Anche la pressione in un fluido è in generale un campo P=P(x,y,z,t)

13 Allinterno di un liquido la pressione non dipende dalla direzione secondo cui agiscono le forze, se il fluido è a riposo Ciò si comprende col fatto che una sottilissima lastra di vetro non si rompe: la pressione su entrambe le facce deve bilanciarsi qualunque sia lorientazione della lastra Questa circostanza è una proprietà dei fluidi che si chiama isotropia (equivalenza di tutte le diverse direzioni), e la pressione, in tal caso, si dice idrostatica Bisogna tuttavia realizzare che lequilibrio (diciamo per ora che il liquido è macroscopicamente immobile) è una condizione importante perché la pressione idrostatica sia la stessa in tutti i punti: se così non fosse, per esempio, differenti strati di liquido sarebbero in moto relativo

14 Per comprendere il dolore ai timpani del sub, consideriamo un cilindro di base A ed altezza h allinterno di un liquido A h Supponiamo che il fluido sia a riposo (il cilindro è fermo) e valutiamo le forze che agiscono sulle sue basi dallalto e dal basso F alto F basso (h, la profondità, cresce muovendosi verso il basso) Fluidi nel campo della gravità

15 In sostanza, nel limite di cilindretti infinitesimi, siccome larea delle basi si elide, otteniamo la seguente equazione differenziale, detta Legge di Stevino, che descrive la variazione della pressione con la profondità Se il fluido è omogeneo =cost., lequazione differenziale può essere integrata a patto di conoscere il valore ad una quota di riferimento (e.g. h=0) Si noti che se P 0 fosse la pressione atmosferica al livello del mare, questa formula ci predice come la pressione diminuisce (h è orientato verso il basso) allaumentare della altitudine. La stessa equazione predice pure come aumenta la pressione nello scendere in profondità sottacqua. Si noti altresì che proprio perché la pressione idrostatica è isotropa, la derivazione precedente è indipendente dalla posizione verticale, orizzontale od obliqua del cilindretto allinterno del fluido, ovvero dellarea di base, dalle dimensioni e dalla forma

16 Non è affatto un principio, ma una conseguenza della Legge di Stevino La pressione atmosferica alla superficie del liquido è la stessa in tutti i suoi punti, ovvero non dipende dalla forma né dallarea della superficie Il principio dei vasi comunicanti Consultare Fig Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

17 Anchesso è una conseguenza della Legge di Stevino Considerando due punti in un liquido a profondità differenti si ha Ne segue che la differenza di pressione fra i due punti, se il fluido è omogeneo ed incomprimibile non può cambiare se per qualche causa esterna cambia la pressione in uno dei due punti Principio di Pascal: Una variazione di pressione applicata ad un qualunque punto di un liquido in quiete viene trasmessa a tutte le parti del liquido Il Principio di Pascal

18 Prendiamo una provetta di vetro di sezione costante piena di mercurio, cioè di un liquido molto più denso dellaria e capovolgiamolo in una bacinella contenente mercurio, la cui superficie libera è soggetta alla pressione dellaria. Il livello del mercurio scenderà. h0h0 h1h1 Il mercurio continuerà a scendere fino a quando la pressione che esercita non eguaglierà la pressione dellaria sulla superficie libera (lasciando il vuoto, P 0 =0) P1P1 P0P0

19 Perché i sassi affondano mentre il legno galleggia? Perché un transatlantico che è fatto dacciaio galleggia? Perché una mongolfiera può sollevarsi in aria? Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso lalto pari al peso del liquido spostato È anchesso una conseguenza della legge di Stevino A h F alto F basso h0h0 h1h1 Il Principio di Archimede

20 Si noti che stavolta le due forze non si equilibrano, perché la densità delloggetto immerso non è la stessa di quella dellacqua Lultima equazione afferma che oltre alla forza peso (ovviamente diretta verso il basso) sul corpo, a causa della pressione idrostatica si esercita una forza diretta verso lalto il cui modulo è proprio il peso del volume di liquido spostato Questa analisi consente di studiare i problemi di galleggiamento, dove, tuttavia, bisogna considerare quanto il corpo penetra nel liquido (per calcolare il volume di liquido spostato) Una nave, che è fatta dacciaio e di aria, evidentemente galleggia perché la spinta di Archimede è maggiore del suo peso. Una mongolfiera si può sollevare in aria perché laria calda contenuta al suo interno è ad una densità minore di quella esterna

21 Si è visto che lo studio della meccanica dei fluidi non si può affrontare, se non ad un prezzo enorme dal punto di vista dei calcoli (p.es. con un supercomputer), seguendo il moto individuale delle moltissime molecole (10 23 per grammomolecola di fluido). Questo ha comportato per lo studio dei fluidi a riposo (idrostatica) lintroduzione di campi, quali la densità di massa, e luso di proprietà macroscopiche invece che le proprietà microscopiche, quali, ad esempio la velocità delle singole molecole Per studiare i fluidi in moto si deve passare dal cosiddetto punto di vista lagrangiano (dal nome del fisico matematico francese Lagrange) al punto di vista euleriano (dal nome del fisico matematico svizzero Euler) Consideriamo un fluido in moto (p. es. lacqua in una condotta): 1)il punto di vista lagrangiano consiste nel seguire il moto di tutte le molecole individualmente e considerare le velocità come proprietà individuali delle singole molecole 2)Il punto di vista euleriano consiste nel separare il concetto di velocità come proprietà di una data particella e nel farlo diventare un campo: la velocità che una qualsiasi particella possiede in un dato punto in un dato istante Punti di vista lagrangiano ed euleriano

22 Si pensi allacqua che fluisce in tubo di plastica (p.es. state innaffiando le piante in un giardino). Lacqua fluisce in maniera stazionaria (flusso stazionario), ma se ostruite parzialmente con un dito lapertura del tubo lacqua fluisce più velocemente. La velocità di scorrimento del fluido, che è data dalla velocità delle singole molecole, tuttavia non cambia molto al variare della molecola ma è diversa nei differenti punti del tubo (e.g. dipende dalla sezione) in modulo e direzione

23 Si definisce portata di una condotta la massa di fluido che attraversa una sezione di area unitaria al secondo Questa si può definire in termini del flusso del vettore densità di corrente Che la portata e la densità di corrente siano collegate lo si può vedere così. Per un fluido omogeneo ed incomprimibile la densità è una costante. Se adesso si considera un parallelepipedo di base unitaria (1m 2 ) ed altezza v t, orientato come il vettore densità di corrente v t 1m 2 In t secondi il volume del parallelepipedo si riempie di fluido. La quantità di questo è certamente quella che è passata attraverso unarea unitaria in secondi t

24 È allora evidente che se la densità di corrente è costante su tutta larea unitaria ed è sempre perpendicolare ad essa si ha Abbiamo indicato con M la massa di fluido che in t secondi ha attraversato la sezione unitaria della condotta. Se la densità di corrente non è costante allora bisognerà calcolare lintegrale Lintegrale di superficie del tipo indicato sopra è detto flusso del campo vettoriale Per rappresentare graficamente un campo vettoriale si possono disegnare le linee di flusso, ovvero il luogo dei punti in cui il campo assegnato è tangente Tubo di flusso

25 In dipendenza da certi parametri esterni il moto di un fluido può essere turbolento o stazionario (laminare) Nel caso stazionario il fluido sembra scorrere come un tutto (a strati paralleli), mentre nel caso turbolento si creano vortici e le linee di flusso si chiudono Moti stazionari e moti turbolenti Consultare figura Fishbane Gasiorowicz-Thornton Consultare figura Fishbane Gasiorowicz-Thornton

26 È facile intuire che il flusso stazionario è quello che si realizza con lacqua allinterno di una condotta. In tal caso la portata è costante. Il moto turbolento è quello che si crea normalmente nellatmosfera (cicloni ed anticicloni). Spesso in tali casi non si può parlare neanche di linee di flusso separate. Tuttavia anche nellacqua dei fiumi o dei mari (si pensi allo Stretto di Messina) possono verificarsi moti estremamente turbolenti con mulinelli e gorghi in cui lacqua si muove velocissimamente Per fissare le condizioni secondo le quali un fluido è in moto turbolento o laminare si introduce il cosiddetto numero di Reynolds, che è adimensionale è la densità di massa, v è la velocità, L è una lunghezza caratteristica del moto (p.es. le dimensioni della condotta), mentre è un parametro che si chiama coefficiente di viscosità Se R<2000 il moto è normalmente laminare

27 Riflettiamo che è molto più semplice mettere in moto un fluido poco viscoso come laria che non, p. es., il miele, questo è il motivo per cui la viscosità, un parametro che in qualche modo tiene conto degli attriti interni di un fluido, sta a denominatore Un fluido la cui viscosità è nulla è detto fluido ideale e, ovviamente, non esiste. Il fluido ideale per eccellenza è il Gas Perfetto. In questo modello le molecole sono dei punti materiali che non interagiscono fra loro e con le pareti del contenitore se non tramite degli urti completamente elastici (nessuna attrazione e repulsione) Spesso, però, per alcuni liquidi (p.es. lacqua in un tubo sottile) possono considerarsi quasi ideali Per un fluido ideale vale ovviamente il principio di conservazione dellenergia meccanica. Da questo principio discende direttamente lequazione di Bernoulli

28 Consideriamo un tubo, in cui scorre un liquido ideale ( =0) incomprimibile, alle cui estremità applichiamo due differenti pressioni, P 1 e P 2 h h1h1 h2h2 Consideriamo un volumetto di liquido V che fluisce, insieme a tutto il liquido, dal punto 1 al punto 2 v1v1 v2v2 P1P1 P2P2 Le forze di pressione compiono un lavoro, e durante il suo moto varia lenergia potenziale e lenergia cinetica Lequazione di Bernoulli

29 Calcoliamo separatamente queste variazioni di energia. Energia potenziale: Energia cinetica Lavoro delle forze di pressione Ma siccome il fluido è in moto stazionario ed incomprimibile la portata ai punti 1 e 2 deve essere la stessa Si ottiene per il lavoro

30 Ma il lavoro (esterno) delle forze di pressione deve uguagliare la variazione di energia meccanica totale visto che non ci sono attriti. Cioè Si possono portare a primo membro tutte le quantità col pedice 1 ed a secondo membro tutte le quantità col pedice 2 La quantità si mantiene costante durante il flusso di qualunque volumetto Questequazione può dunque essere usata per risolvere problemi di idraulica, in sistemi in cui si può trascurare lenergia dissipata per attriti interni

31 Sulla base del Principio di Pascal ci aspetteremmo che per un liquido in moto stazionario dentro una condotta la pressione sia la stessa in ogni sezione Il seguente esperimento mostra che così non è per un liquido reale ( >0) Se la pressione fosse la stessa dovunque laltezza del liquido nei cannelli sarebbe uguale (vasi comunicanti) e non ci sarebbe la perdita di carico P-P= P PP Lequazione di Poiseuille

32 È evidente che in questo caso il lavoro delle forze di pressione è trasformato in calore dallattrito viscoso allinterno della condotta Se vogliamo mantenere il liquido in moto dobbiamo allora continuamente applicare una pressione pari alla perdita di carico per fornire al liquido la potenza che viene trasformata in calore. La situazione è la stessa di quella di unautomobile che viaggia alla velocità massima: raggiunta questa velocità a causa degli attriti si fermerebbe se il motore non fornisse lenergia necessaria Se il fluido è in moto laminare (ipotesi giustificata dalla viscosità che abbassa il numero di Reynolds), è lecito pensare il fluido diviso in differenti straterelli che scorrono luno sullaltro, con velocità diversa: il più veloce tende a trascinare il più lento e viceversa. Considerando un tubo a forma di cilindro circolare, gli straterelli avranno la forma di corone cilindriche concentriche. La velocità degli strati crescerà nel muoversi dalle pareti (dove si può pensare che il fluido sia fermo) verso lasse centrale del tubo

33 PP ll a dr r Se il tubo è perfettamente orizzontale le forze che agiranno sulla singola corona cilindrica Saranno: 1) La forza di pressione; 2) la forza acceleratrice della corona interna; 3) la forza deceleratrice della corona più esterna La forza di pressione agente sulla corona cilindrica compresa fra i raggi r e r+dr sarà La forza di attrito agente sulla superficie cilindrica interna sarà proporzionale allarea di contatto ed alla variazione di velocità nel passare da r a r+dr tramite proprio il coefficiente di viscosità

34 Notare che il segno negativo ci vuole perché questa forza tende ad accelerare la corona ma la velocità decresce al crescere di r (la derivata di v rispetto ad r deve essere negativa) Sul mantello esterno agisce una forza rallentatrice che ha la stessa struttura della forza precedente, ma bisogna tenere in conto che cambiando r cambia la velocità ed anche la sua derivata rispetto ad r. Ciò si può fare tramite uno sviluppo in serie: Sommando questi due termini si ottiene a meno di infinitesimi del secondo ordine Nel moto stazionario questa forza deve equilibrare quella dovuta alla differenza di pressione

35 Abbiamo quindi ottenuto una equazione differenziale nella funzione incognita v(r) Questa equazione si può facilmente integrare imponendo le condizioni al contorno per le quali sulla superficie esterna del tubo, r=a, la velocità deve essere minima (nulla) mentre a r=0 la velocità deve essere massima. Integrando una prima volta Integrando una seconda volta

36 Cerchiamo di comprendere il significato del risultato appena ottenuto lequazione di Poiseuille V(r) Lequazione di Poiseuille predice che il profilo delle velocità allinterno della condotta sia parabolico. Ciò corrisponde bene alla nostra intuizione (massimo al centro e nullo al contatto con le pareti interne del tubo. Questa equazione dice inoltre che la velocità di scorrimento è tanto più grande quanto è più grande la variazione di pressione per unità di lunghezza, tanto più grande quanto più larga è la condotta e tanto più piccola quanto più grande è la viscosità del liquido


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