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Prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmi INDICE 1.DefinizioneDefinizione 2.Proprietà dei logaritmiProprietà dei logaritmi 3.Cambiamento di baseCambiamento di.

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1 prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmi INDICE 1.DefinizioneDefinizione 2.Proprietà dei logaritmiProprietà dei logaritmi 3.Cambiamento di baseCambiamento di base 4.Basi più comuniBasi più comuni 5.Cenni storiciCenni storici

2 prof,.ssa Alessandra Sia Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3 a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Definizione Il logaritmo in base a>0 di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.

3 prof,.ssa Alessandra Sia Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè: Proprietàlog a (bc)=log a b+log a c Dimostrazione Logaritmo del prodotto

4 prof,.ssa Alessandra Sia Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza. Proprietàlog a b x =xlog a b Logaritmo della potenza Dimostrazione

5 prof,.ssa Alessandra Sia Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè Proprietà Log a (b/c)=log a b –log a c Logaritmo del rapporto Dimostrazione

6 prof,.ssa Alessandra Sia Cambiamento di base Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il Logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c. Proprietà. log a b log c b= log a c Dimostrazione

7 prof,.ssa Alessandra Sia Dimostrazione posto log a b=x e log a c=y allora a x =b e a y =c quindi bc=a x a y =a x+y (proprietà delle potenze) log a (bc) = log a a x+y log a (bc) =(x+y )log a a log a a=1 cioè x+y=log a (bc) ma x+y=log a b+log a c c.v.d. log a (bc)=log a b+log a c

8 prof,.ssa Alessandra Sia log a b x =xlog a b Dimostrazione posto log a b=y perciò a y =b e (a y ) x =b x ma (a y ) x =a yx perciò log a b x =xy essendo y= log a b allora log a b x =xlog a c.v.d.

9 prof,.ssa Alessandra Sia Log a (b/c)=log a b –log a c Dimostrazione posto log a (b/c)=loga(bc -1 )= per il logaritmo del prodotto è uguale a = log a b+log a c -1 = per il logaritmo della potenza = log a b-log a c c.v.d.

10 prof,.ssa Alessandra Sia log a b log c b= log a c Dimostrazione posto y=log a b e x=log c b allora a y =b e c x =b quindi c x =a y calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri otteniamo log a c x =log a a y quindi applicando il logaritmo della potenza otteniamo xlog a c=ylog a a cioè xlog a c=y sostituendo a x ed y le relazioni iniziali si ha log c blog a c=log a b

11 prof,.ssa Alessandra Sia Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre: base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log. base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2.

12 prof,.ssa Alessandra Sia Cenni Storici I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.


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